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1、辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科) 一、选择题:本大题共12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)若集合 A= x| x22x30 ,集合 B=x| x1 ,则 AB等于() A (1,3) B (, 1)C (1,1)D (3,1) 2 (5 分)已知i 为虚数单位,复数的共扼复数在复平面内对应的点位于 () A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限 3 (5 分)已知平面向量,且,则实数 x 的 值为() ABCD 4 (5 分)已知 tan =2,则的值为() ABC D 5 (5 分)已知一个算法的程序框图如图
2、所示,当输出的结果为0 时,输入的 x 的值为() A3 B3 或 9 C 3 或9 D9 或3 6 (5 分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是() ABCD 7 (5 分)在等差数列 an 中,若 Sn为前 n 项和,2a7=a8+5,则 S11的值是() A55 B11 C 50 D60 8 (5 分)甲、乙、丙三人中,一人是教师、一人是记者、一人是医生已知: 丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小根据以上情况, 下列判断正确的是() A甲是教师,乙是医生,丙是记者 B甲是医生,乙是记者,丙是教师 C甲是医生,乙是教师,丙是记者 D甲是记者,乙是医生,丙是教师
3、 9 (5 分)已知函数,以下命题中假命题是() A函数 f(x)的图象关于直线对称 B是函数 f(x)的一个零点 C函数 f(x)的图象可由 g(x)=sin2x的图象向左平移个单位得到 D函数 f(x)在上是增函数 10 (5 分)设函数 f(x)=xe x+1,则( ) Ax=1为 f(x)的极大值点Bx=1为 f(x)的极小值点 Cx=1 为 f(x)的极大值点Dx=1 为 f(x)的极小值点 11 (5 分)已知双曲线,O为坐标原点, F为双曲线 的右焦点,以 OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A,若,则双 曲线 C的离心率为() A2 BC D 12 (5 分)设函数 f(x)
4、是定义在 R上的偶函数,且f(x+2)=f(2x) ,当 x 2,0 时,则在区间( 2,6)内关于 x 的方程 f(x) log8(x+2)=0解的个数为() A1 B2 C 3 D4 二、填空题(每题5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13(5 分) 设变量 x, y 满足约束条件:, 则 z=x3y 的最小值为 14 (5 分)已知抛物线y 2=4x 的一条弦 AB 恰好以 P(1,1)为中点,则弦 AB 所在直线方程是 15 (5 分)在数列 an中,a1=1,a2=2,an+1=3an2an1(n2) ,则 an= 16 (5 分)已知正四棱锥 SABCD中,那么当该棱锥的
5、体积最大时, 它的高为 三、解答题(本大题共5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17(12 分) 在ABC中,角 A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足, (1)求 ABC的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值 18 (12 分)高中生在被问及 “ 家,朋友聚集的地方,个人空间 ” 三个场所中 “ 感到 最幸福的场所在哪里? ” 这个问题时,从中国某城市的高中生中,随机抽取了55 人,从美国某城市的高中生中随机抽取了45 人进行答题中国高中生答题情况 是:选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占美国高中生答题情 况是:朋友聚集的地方占、家占
6、、个人空间占 ()请根据以上调查结果将下面22 列联表补充完整;并判断能否有95%的 把握认为 “ 恋家(在家里感到最幸福)” 与国别有关; 在家里最幸福在其它场所幸福合计 中国高中生 美国高中生 合计 ()从被调查的不 “ 恋家” 的美国学生中,用分层抽样的方法选出4 人接受进一 步调查,再从 4 人中随机抽取 2 人到中国交流学习,求2 人中含有在 “ 个人空间 ” 感到幸福的学生的概率 附:,其中 n=a+b+c+d P(k2k0)0.0500.0250.0100.001 k03.8415.0246.63510.828 19 (12 分)如图,在四棱锥PABCD中,PD底面 ABCD ,
7、ABCD ,AB=2, CD=3 ,M 为 PC上一点,且 PM=2MC (1)求证: BM平面 PAD ; (2)若 AD=2,PD=3 ,求三棱锥 PADM 的体积 20 (12 分)已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点 在椭圆上,且有 (1)求椭圆 C的标准方程; (2)过 F2的直线 l 与椭圆交于 A、B两点,求 AOB面积的最大值 21 (12 分)已知函数 f(x)=(x+1) 23alnx,aR (1)求函数 f(x)图象经过的定点坐标; (2)当 a=1 时,求曲线 f(x)在点( 1,f(1) )处的切线方程及函数f(x)单 调区间; (3)若对任意 x 1,e ,f(
8、x)4 恒成立,求实数a 的取值范围 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 选 修 4-4:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy中,已知曲线 C1的参数方程为(t 为参数) ,曲线 C2的直角坐标方程为x2+(y2) 2=4以直角坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l 的极坐标方程为 =, (0 ) (1)求曲线 C1、C2的极坐标方程; (2)设点 A、B为射线 l 与曲线 C1、C2除原点之外的交点,求 | AB| 的最大值 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)=| xa|+ 3x,其中 a
9、R (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)3x+| 2x+1| 的解集; (2)若不等式 f(x)0 的解集为 x| x1 ,求 a 的值 2018 年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)若集合 A= x| x22x30 ,集合 B=x| x1 ,则 AB等于() A (1,3) B (, 1)C (1,1)D (3,1) 【解答】 解:A=x| x22x30 = x| 1x3 ,集合 B= x| x1, 则 AB= x| 1x1 =(1
10、,1) , 故选: C 2 (5 分)已知i 为虚数单位,复数的共扼复数在复平面内对应的点位于 () A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限 【解答】 解:=, 复数的共扼复数为,在复平面内对应的点的坐标为() , 位于第二象限 故选: B 3 (5 分)已知平面向量,且,则实数 x 的 值为() ABCD 【解答】 解:根据题意,向量, 则 =(3,x) , 又由,则( )? =(3)1+(x)=0, 解可得 x=2, 故选: B 4 (5 分)已知 tan =2,则的值为() ABC D 【解答】 解: tan=2 ,则=1+ =1+ +=+=, 故选: C 5 (5 分)已知一个算法
11、的程序框图如图所示,当输出的结果为0 时,输入的 x 的值为() A3 B3 或 9 C 3 或9 D9 或3 【解答】 解:输出才结果为零,有y=0 由程序框图可知,当: y=() x8=0时,解得选 x=3; 当 y=2log3x=0,解得 x=9 综上,有 x=3,或者 9 故选: B 6 (5 分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是() ABCD 【解答】 解:由四棱锥的三视图得到该四棱锥是PABCD , 其中,底面 ABCD是边长为 2 的正方形, PC 平面 ABCD ,如图, PB=PD=2, 该四棱锥的侧面积是: S=SPBC+SPDC+SPAB+SPCD = =4
12、+4 故选: A 7 (5 分)在等差数列 an 中,若 Sn为前 n 项和,2a7=a8+5,则 S11的值是() A55 B11 C 50 D60 【解答】 解:设等差数列 an 的公差为 d,2a7=a8+5,2a1+12d=a1+7d+5, a1+5d=5=a6, 则 S11=11a6=55 故选: A 8 (5 分)甲、乙、丙三人中,一人是教师、一人是记者、一人是医生已知: 丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小根据以上情况, 下列判断正确的是() A甲是教师,乙是医生,丙是记者 B甲是医生,乙是记者,丙是教师 C甲是医生,乙是教师,丙是记者 D甲是记者,乙是医生,丙
13、是教师 【解答】 解:由甲的年龄和记者不同,记者的年龄比乙小,得到丙是记者, 从而排除 B和 D; 由丙的年龄比医生大,得到乙不是医生,从而乙是教师,甲是医生 故选: C 9 (5 分)已知函数,以下命题中假命题是() A函数 f(x)的图象关于直线对称 B是函数 f(x)的一个零点 C函数 f(x)的图象可由 g(x)=sin2x的图象向左平移个单位得到 D函数 f(x)在上是增函数 【解答】 解:对于 A,当 x=时,函数 f(x)=sin(2+)=1为最大值, f(x)的图象关于直线对称, A 正确; 对于 B,当 x=时,函数 f(x)=sin(2+)=0, x=是函数 f(x)的一个
14、零点, B正确; 对于 C,函数 f(x)=sin(2x+)=sin2(x+) , 其图象可由 g(x)=sin2x的图象向左平移个单位得到, C错误; 对于 D,x 0, 时,2x+, , 函数 f(x)=sin(2x+)在上是增函数, D正确 故选: C 10 (5 分)设函数 f(x)=xe x+1,则( ) Ax=1为 f(x)的极大值点Bx=1为 f(x)的极小值点 Cx=1 为 f(x)的极大值点Dx=1 为 f(x)的极小值点 【解答】 解:由于 f(x)=xe x,可得 f (x)=(x+1)ex, 令 f (x)=(x+1)ex=0 可得 x=1, 令 f (x)=(x+1)
15、ex0 可得 x1,即函数在( 1,+)上是增函数 令 f (x)=(x+1)ex0 可得 x1,即函数在(, 1)上是减函数 所以 x=1 为 f(x)的极小值点 故选: D 11 (5 分)已知双曲线,O为坐标原点, F为双曲线 的右焦点,以 OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A,若,则双 曲线 C的离心率为() A2 BC D 【解答】 解:由直径所对的圆周角为直角,可得 OAF=90 , 在OAF中, 可得 AF=OFcos30 =c, 由 AF为焦点( c,0)到渐近线 bxay=0的距离, 即为=b, 即有 b=c, e=2, 故选 A 12 (5 分)设函数 f(x)是定义在
16、 R上的偶函数,且f(x+2)=f(2x) ,当 x 2,0 时,则在区间( 2,6)内关于 x 的方程 f(x) log8(x+2)=0解的个数为() A1 B2 C 3 D4 【解答】 解:对于任意的 xR,都有 f(2+x)=f(2x) , f(x+4)=f 2+(x+2) =f (x+2)2 =f(x) , 函数 f(x)是一个周期函数,且T=4 又当 x 2,0 时,f(x)=()x1,且函数 f(x)是定义在 R 上的偶 函数, 且 f(6)=1,则函数 y=f(x)与 y=log 8(x+2)在区间( 2,6)上的图象如下 图所示: 根据图象可得 y=f(x)与 y=log 8(
17、x+2)在区间( 2,6)上有 3 个不同的交点 故选: C 二、填空题(每题5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件:,则 z=x3y 的最小值为 10 【解答】 解:画出约束条件:可行域如下图, 由 z=x3y 得 y=x; 平移直线 y=x, 由图象可知当直线经过点B时, 直线 y=x的截距最大,此时z最小, 由解得, B(1,3) ; 故此时 z=133=10; 故答案为: 10 14 (5 分)已知抛物线y 2=4x 的一条弦 AB 恰好以 P(1,1)为中点,则弦 AB 所在直线方程是2xy1=0 【解答】 解:设 A(x1,y1)
18、 ,B(x2,y2) , 代入抛物线方程得y12=4x1, y22=4x2, 整理得 k=2, 则弦 AB所在直线方程为 y1=2(x1) , 即为 2xy1=0 故答案为: 2xy1=0 15 (5 分)在数列 an 中,a1=1,a2=2,an+1=3an2an1(n2) ,则 an=2n 1 (nN * ) 【解答】 解: an+1=3an2an1(n2) , an+1an=2an2an1=2(anan1) (n2) , 可得: a3a2=2(a2a1) a4a3=2(a3a2) an+1an=2(anan1) 相加可得: an+1a2=2(ana1) ,可得: an+12=2(an1)
19、 ,即: an+1=2an, 数列 an 是等比数列, nN*, 故答案为: 2n 1(nN* ) 16 (5 分)已知正四棱锥 SABCD中,那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为6 【 解 答 】 解 : 设 正 四 棱 锥S ABCD 的 底 面 边 长 为a , 则 高 h=, 体积 V= a2h=, 设 y=108a 4 a 6, 则 y=432a 33a5, 由 y=432a 33a5=0,解得 a=0或 a=12, 当 a=12时,体积最大, 此时 h=6, 故答案为: 6 三、解答题(本大题共5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17(12 分)
20、在ABC中,角 A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足, (1)求 ABC的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值 【解答】 解: (1)因为, 所以, 又由得 bccosA=3 ,所以 bc=5 因此 (2)由( 1)知, bc=5,又 b+c=6, 由余弦定理,得,所以 18 (12 分)高中生在被问及 “ 家,朋友聚集的地方,个人空间 ” 三个场所中 “ 感到 最幸福的场所在哪里? ” 这个问题时,从中国某城市的高中生中,随机抽取了55 人,从美国某城市的高中生中随机抽取了45 人进行答题中国高中生答题情况 是:选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占美国高中生答题情
21、况是:朋友聚集的地方占、家占、个人空间占 ()请根据以上调查结果将下面22 列联表补充完整;并判断能否有95%的 把握认为 “ 恋家(在家里感到最幸福)” 与国别有关; 在家里最幸福在其它场所幸福合计 中国高中生 美国高中生 合计 ()从被调查的不 “ 恋家” 的美国学生中,用分层抽样的方法选出4 人接受进一 步调查,再从 4 人中随机抽取 2 人到中国交流学习,求2 人中含有在 “ 个人空间 ” 感到幸福的学生的概率 附:,其中 n=a+b+c+d P(k 2k 0) 0.0500.0250.0100.001 k03.8415.0246.63510.828 【解答】 解: ()由已知得, 在
22、家里最幸福在其它场所幸福合计 中国高中生223355 美国高中生93645 合计3169100 =, 有 95%的把握认为 “ 恋家” 与否与国别有关; ()用分层抽样的方法抽出4 人, 其中在 “ 朋友聚焦的地方 ” 感到幸福的有 3 人, 在“ 个人空间 ” 感到幸福的有 1 人,分别设为 a1,a2,a3,b; = (a1,a2) , (a1,a3) , (a1,b) , (a2,a3) , (a2,b) , (a3,b) ,n=6; 设“ 含有在 “ 个人空间 ” 感到幸福的学生 ” 为事件 A, A=(a1,b) , (a2,b) , (a3,b) ,m=3; 则所求的概率为 19
23、(12 分)如图,在四棱锥PABCD中,PD底面 ABCD ,ABCD ,AB=2, CD=3 ,M 为 PC上一点,且 PM=2MC (1)求证: BM平面 PAD ; (2)若 AD=2,PD=3 ,求三棱锥 PADM 的体积 【解答】 (1)证明:法一、过M 作 MNCD交 PD于点 N,连接 AN PM=2MC, 又,且 ABCD, ABMN,AB=MN,则四边形 ABMN为平行四边形, BMAN 又BM?平面 PAD ,AN? 平面 PAD , BM平面 PAD 法二、过点 M 作 MNCD于点 N,N 为垂足,连接 BN 由题意, PM=2MC ,则 DN=2NC , 又DC=3
24、,DN=2,AB=DN ,ABDN, 四边形 ABND为平行四边形,则BNAD PD 平面 ABCD ,DC ? 平面 ABCD ,PDDC 又 MNDC,PDMN 又BN? 平面 MBN,MN? 平面 MBN,BNMN=N; AD? 平面 PAD ,PD? 平面 PAD ,ADPD=D ; 平面 MBN平面 PAD BM? 平面 MBN,BM平面 PAD ; (2)解:过 B作 AD的垂线,垂足为E PD 平面 ABCD ,BE ? 平面 ABCD ,PDBE 又AD? 平面 PAD ,PD? 平面 PAD ,ADPD=D BE 平面 PAD 由(1)知, BM平面 PAD , M 到平面
25、PAD的距离等于 B 到平面 PAD的距离,即 BE 在ABC中,AB=AD=2 , 20 (12 分)已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点 在椭圆上,且有 (1)求椭圆 C的标准方程; (2)过 F2的直线 l 与椭圆交于 A、B两点,求 AOB面积的最大值 【解答】 解: (1)由,得, 将代入,得 b2=1 椭圆 C的方程为; (2)由已知,直线 l 的斜率为零时,不合题意; 设直线方程为 x1=my,点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立,得( m2+2)y2+2my1=0, 由韦达定理,得, = = =, 当且仅当,即 m=0 时,等号成立 AOB面积的最大值为 21
26、 (12 分)已知函数 f(x)=(x+1)23alnx,aR (1)求函数 f(x)图象经过的定点坐标; (2)当 a=1 时,求曲线 f(x)在点( 1,f(1) )处的切线方程及函数f(x)单 调区间; (3)若对任意 x 1,e ,f(x)4 恒成立,求实数a 的取值范围 【解答】 解: (1)当 x=1 时,ln1=0,所以 f(1)=4, 所以函数 f(x)的图象无论 a 为何值都经过定点( 1,4) (2)当 a=1时,f(x)=(x+1)23lnxf(1)=4,f(1)=1, 则切线方程为 y4=1(x1) ,即 y=x+3 在 x(0,+)时,如果, 即时,函数 f(x)单调
27、递增; 如果, 即时,函数 f(x)单调递减 (3),x0 当 a0 时,f(x)0,f(x)在 1,e 上单调递增 f(x)min=f(1)=4,f(x) 4 不恒成立 当 a0 时,设 g(x)=2x 2+2x3a,x0 g(x)的对称轴为,g(0)=3a0, g(x)在( 0,+)上单调递增,且存在唯一x0(0,+) , 使得 g(x0)=0 当 x(0,x0)时,g(x)0,即 f(x)0,f(x)在(0,x0)上单调递减; 当 x(x0,+)时, g(x)0,即 f(x)0,f(x)在(x0,+)上单调 递增 f(x)在 1,e 上的最大值 f(x)max=max f(1) ,f(e
28、) ,得( e+1)23a4, 解得 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 选 修 4-4:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy中,已知曲线 C1的参数方程为(t 为参数) ,曲线 C2的直角坐标方程为x2+(y2) 2=4以直角坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l 的极坐标方程为 =, (0 ) (1)求曲线 C1、C2的极坐标方程; (2)设点 A、B为射线 l 与曲线 C 1、C2除原点之外的交点,求 | AB| 的最大值 【解答】 解(1)由曲线 C1的参数方程(t 为参数)消去参数t 得 x2+
29、 (y1)2=1, 即 x2+y22y=0, 曲线 C1的极坐标方程为 =2sin 由曲线 C2的直角坐标方程 x2+(y2)2=4,得 x2+y24y=0, 曲线 C2的极坐标方程 =4sin (2)联立,得 A(2sin , ) ,| OA| =2sin , 联立,得 B(4sin , ) ,| OB | =4sin | AB| =| OB | | OA| =2sin 0 ,当时,| AB| 有最大值 2 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)=| xa|+ 3x,其中 aR (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)3x+| 2x+1| 的解集; (2)若不等式 f(x)0 的解集为 x| x1 ,求 a 的值 【解答】 解: (1)a=1时,f(x)=| x1|+ 3x 由 f(x)| 2x+1|+ 3x,得| x1| | 2x+1| 0, 故| x1| | 2x+1| ,解得: 2x0, 不等式的解集为 x| 2x0 (2)由| xa|+ 3x0,可得,或 即,或 当 a0 时,不等式的解集为 由,得 a=2 当 a=0时,解集为 0 ,不合题意 当 a0 时,不等式的解集为 由,得 a=4 综上, a=2,或 a=4
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