高中数学人教A版必修四课时训练:2.5平面向量应用举例2.5.1Word版含答案.pdf
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1、2.5 平面向量应用举例 25.1 平面几何中的向量方法 课时目标经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程,体 会向量是一种处理几何问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力 1向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线 )的等价条件: ab(b0)? _? _. (2)证明垂直问题, 如证明四边形是矩形、正方形等, 常用向量垂直的等价条件:非零向量a, b,ab? _? _. (3)求夹角问题,往往利用向量的夹角公式cos _. (4)求线段的长度或证明线段相等,可以利用向量的线性运算、向量模的公式:|a|_ 2直线的方向向量
2、和法向量 (1) 直线 AxBy C0 的方向向量为_,法向量为 _ (2) 直线 ykx b 的方向向量为 _,法向量为 _ 一、选择题 1点 O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足 OA OB OB OC OC OA ,则点 O 是 ABC 的() A三个内角的角平分线的交点 B三条边的垂直平分线的交点 C三条中线的交点 D三条高的交点 2已知直线l1:3x4y120,l2:7xy280,则直线 l1与 l2的夹角是 () A30B45 C135D150 3若 O 是 ABC 所在平面内一点,且满足|OB OC |OB OC 2OA |,则 ABC 的形状 是() A等腰三角形B直角三
3、角形 C等腰直角三角形D等边三角形 4已知点 A(3,1),B(0,0),C(3,0),设 BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E,那么有 BC CE ,其中 等于 () A2 B.1 2 C 3 D 1 3 5已知非零向量AB 与AC 满足 AB |AB | AC |AC | BC 0 且 AB |AB | AC |AC | 1 2,则 ABC 的形状是 ( ) A三边均不相等的三角形B直角三角形 C等腰 (非等边 )三角形D等边三角形 6在 ABC 中,已知A(4,1)、B(7,5)、C(4,7),则 BC 边的中线AD 的长是 () A25 B.5 2 5 C35 D.7 2 5
4、题号123456 答案 二、填空题 7已知平面上三点A、B、C 满足 |AB |3,|BC |4,|CA |5.则AB BC BC CA CA AB _. 8设平面上有四个互异的点A、B、 C、D,已知 (DB DC 2DA ) (AB AC )0,则 ABC 的形状一定是 _ 9如图,在 ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB、AC 于不同的两 点 M、N,若 AB mAM ,AC nAN ,则 mn 的值为 _ 10在直角坐标系xOy 中,已知点A(0,1)和点 B( 3,4),若点 C 在 AOB 的平分线上且|OC | 2,则 OC _. 三、解答题 11在
5、 ABC 中, A(4,1), B(7,5),C(4,7),求 A 的平分线的方程 12 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点, PFCE 为矩形求证:PAEF 且 PAEF. 能力提升 13已知点 O,N,P 在 ABC 所在平面内,且|OA |OB |OC |,NA NB NC 0,PA PB PB PC PC PA ,则点 O,N, P 依次是 ABC 的() A重心、外心、垂心B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心D外心、重心、内心 14求证: ABC 的三条高线交于一点 1利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平 面几何问题时, 有两种思路:
6、一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量,一种 思路是建立坐标系,求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得 几何命题的证明 2在直线l:Ax ByC0(A 2B20)上任取两点 P1(x1,y1),P2(x2, y2),则 P1P2 ( R 且 0)也是直线l 的方向向量所以,一条直线的方向向量有无数多个,它们都共线同理, 与直线 l:AxByC0(A2B2 0)垂直的向量都叫直线l 的法向量一条直线的法向量也 有无数多个熟知以下结论,在解题时可以直接应用 ykxb 的方向向量v(1,k),法向量为n(k, 1) AxByC0(A2B2 0)的方向向量v(B, A)
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