高中数学人教A版选修2-1章末综合测评3Word版含答案.pdf
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1、章末综合测评 (三)空间向量与立体几何 (时间 120分钟,满分 150 分) 一、选择题 (本大题共 12小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,下列结论不正确的是 () A.AB C1D1 B.AB BC 0 C.AA1 B1D1 0 D.AC1 A1C 0 【解析】如图,AB C1D1 ,AB BC ,AA1 B1D1,故 A,B,C 选项均正确 【答案】D 2在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,A1E 1 4 A1C1 ,AE xAA1 y(AB AD ),则() Ax1,y1
2、 2 Bx1,y 1 3 Cx1 2,y1 Dx1,y 1 4 【解析】AE AA1 A1E AA1 1 4A1C1 AA1 1 4AC AA1 1 4(AB AD ), x1,y1 4.应选 D. 【答案】D 3已知 A(2,4,1),B(1,5,1),C(3,4,1),D(0,0, 0),令 aCA ,bCB ,则 ab为() A(5,9,2) B(5,9,2) C(5,9,2) D(5,9,2) 【解析】aCA (1,0,2),bCB (4,9,0), ab(5,9,2) 【答案】B 4 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中, 若AC1 aAB 2bAD 3cA1A , 则 abc
3、的值等于 () 【导学号: 18490123】 A. 1 6 B. 5 6 C.7 6 D 1 6 【解析】AC1 AB AD AA1 aAB 2bAD 3cA1A ,a1, b1 2,c 1 3.abc 1 6. 【答案】D 5与向量 a(1,3,2)平行的一个向量的坐标是() A. 1 3,1,1 B(1,3,2) C. 1 2, 3 2 ,1D.( ) 2,3,2 2 【解析】a(1,3,2)2 1 2 , 3 2,1 . 【答案】C 6已知向量 a,b 是平面 内的两个不相等的非零向量,非零向 量 c 在直线 l 上,则“ c a0,且 c b0”是 l的() A充分不必要条件B必要不
4、充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【解析】若 l ,则 l 垂直于 内的所有直线,从而有c a0, c b0.反之,由于 a,b是否共线没有确定,若共线,则结论不成立; 若不共线,则结论成立 【答案】B 7已知ABC 的三个顶点为 A(3,3,2),B(4,3,7),C(0,5, 1),则 BC 边上的中线长为 () A2B3 C4D5 【解析】设 BC 的中点为 D,则 D(2,1,4), AD (1,2,2), |AD |(1)2(2)2223,即 BC 边上的中线长为 3. 【答案】B 8若向量 a(x,4,5),b(1,2,2),且 a 与 b 的夹角的余 弦值为 2 6 ,
5、则 x() A3 B3 C11 D3 或11 【解析】因为 a b(x,4,5)(1,2,2)x810x2, 且 a 与 b的夹角的余弦值为 2 6 , 所以 2 6 x2 x 24252 144 ,解 得 x3 或11(舍去),故选 A. 【答案】A 9.如图 1,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,ABBC2,AA11,则 BC1与平面 BB1D1D 所成的角的正弦值为 () 图 1 A. 6 3 B.2 5 5 C. 15 5 D. 10 5 【解析】以 D 点为坐标原点,以 DA,DC,DD1所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系(图略),则 A(2,0,0),B
6、(2,2, 0),C(0,2,0),C1(0,2,1), BC1 (2,0,1),AC (2,2,0),且AC 为平面 BB1D1D 的 一个法向量 cosBC1 ,AC BC1 AC |BC1 |AC | 4 58 10 5 . sinBC 1,AC |cosBC 1,AC | 10 5 , BC1与平面 BB1D1D 所成的角的正弦值为 10 5 . 【答案】D 10已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,AA12AB,则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于 () A.2 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 1 3 【解析】以 D 为坐标原点, 建立空间直角坐标系, 如图,设
7、AA1 2AB2,则 D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2), 则DC (0,1,0),DB (1,1,0),DC1 (0,1,2)设平面BDC1 的法向量为 n(x,y,z),则 nDB ,nDC1 ,所以有 xy0, y2z0, 令 y2,得平面 BDC1的一个法向量为 n(2,2,1)设 CD 与平面 BDC1所成的角为 ,则 sin |cosn,DC | n DC |n|DC | 2 3. 【答案】A 11已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中,若点 F 是侧面 CD1的中心, 且AF AD mAB nAA1 ,则 m,n 的值分别为 () A.1
8、2, 1 2 B 1 2, 1 2 C 1 2, 1 2 D. 1 2, 1 2 【解析】由于AF AD DF AD 1 2(DC DD1 )AD 1 2AB 1 2 AA1 ,所以 m 1 2 ,n 1 2,故选 A. 【答案】A 12 在矩形 ABCD 中,AB3, AD4, PA平面 ABCD, PA 4 3 5 , 那么二面角 A-BD-P 的大小为 () A30B45 C60D75 【解析】如图所示,建立空间直角坐标系, 则PB 3,0, 4 5 3 , BD (3,4,0) 设 n(x,y,z)为平面 PBD 的一个法向量,则 n PB 0, n BD 0, 得 (x,y,z) 3
9、,0, 4 5 3 0, (x,y,z) (3,4,0)0. 即 3x4 5 3z0, 3x4y0. 令 x1,则 n 1, 3 4, 5 4 3 . 又 n1 0,0, 4 5 3 为平面 ABCD 的一个法向量, cosn1,n n1n |n1|n| 3 2 .所求二面角为 30. 【答案】A 二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在 题中的横线上 ) 13若 a(2x,1,3),b(1,2y,9),且 a 与 b为共线向量, 则 x_,y_. 【导学号: 18490124】 【解析】由题意得 2x 1 1 2y 3 9,x 1 6,y 3 2. 【答案】
10、 1 6 3 2 14 ABC的三个顶点坐标分别为A(0, 0, 2), B 3 2 ,1 2, 2 , C(1,0, 2),则角 A 的大小为 _ 【解析】AB 3 2 , 1 2,0 , AC (1, 0, 0), 则 cos A AB AC |AB |AC | 3 2 11 3 2 ,故角 A 的大小为 30. 【答案】30 15在空间直角坐标系Oxyz中,已知 A(1,2,3),B(2,1, 1),若直线 AB 交平面 xOz于点 C,则点 C 的坐标为 _ 【解析】设点 C 的坐标为 (x,0,z),则AC (x1,2,z3), AB (1,3, 4),因为AC 与AB 共线,所以
11、x1 1 2 3 z3 4 , 解得 x 5 3, z 1 3, 所以点 C 的坐标为 5 3,0, 1 3 . 【答案】 5 3,0, 1 3 16.如图 2,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方 形,S到 A,B,C,D 的距离都等于 2. 图 2 给出以下结论: SA SB SC SD 0;SA SB SC SD 0; SA SB SC SD 0;SA SB SC SD ;SA SC 0,其中正 确结论的序号是 _ 【解析】容易推出: SA SB SC SD BA DC 0,所以正 确;又因为底面ABCD 是边长为 1 的正方形, SASBSCSD2, 所以
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