高中数学人教A版选修2-2(课时训练):1.6微积分基本定理Word版含答案.pdf
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1、1.6微积分基本定理 学习目标 1会利用微积分基本定理求函数的定积分 2直观了解并掌握微积分基本定理的含义 知识链接 1导数与定积分有怎样的联系? 答导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念, 运用它们之间的联系,我们 可以找出求定积分的方法,求导数与定积分是互为逆运算 2在下面图 (1)、图 (2)、图 (3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示? 答根据定积分与曲边梯形的面积的关系知: 图(1)中 S a bf(x)dx, 图(2)中 S a bf(x)dx, 图(3)中 S 0 bf(x)dx a 0f(x)dx. 预习导引 1微积分基本定理 如果 f(x)是区间 a,b上的
2、连续函数,并且F(x)f(x),那么 a bf(x)dxF(b)F(a) 2函数 f(x)与其一个原函数的关系 (1)若 f(x)c(c 为常数 ),则 F(x)cx; (2)若 f(x)x n (n 1),则 F(x) 1 n1 x n1; (3)若 f(x) 1 x,则 F(x)ln_x(x0); (4)若 f(x)e x,则 F(x)ex; (5)若 f(x)a x,则 F(x)a x ln a(a0 且 a1); (6)若 f(x)sin x,则 F(x) cos_x; (7)若 f(x)cos x,则 F(x)sin_x. 要点一求简单函数的定积分 例 1计算下列定积分 (1) 1
3、23dx; (2) 0 2(2x3)dx; (3) 31(4xx2)dx; (4) 1 2(x 1)5dx. 解(1)因为 (3x)3, 所以 1 23dx(3x) 2 1 323 13. (2)因为 (x 23x)2x3, 所以 0 2(2x 3)dx(x23x) 2 0 2232(02 30)10. (3)因为 2x 2x 3 3 4xx2, 所以 31(4xx2)dx 2x2x 3 3 3 1 23 23 3 3 2 1 2 1 3 3 20 3 . (4)因为 1 6 x1 6 (x1) 5, 所以 21(x 1)5dx 1 6(x1) 6 2 1 1 6(21) 61 6(11) 6
4、 1 6. 规律方法(1)用微积分基本定理求定积分的步骤: 求 f(x)的一个原函数F(x); 计算 F(b)F(a) (2)注意事项: 有时需先化简,再求积分; f(x)的原函数有无穷多个,如F(x)c,计算时,一般只写一个最简单的,不再加任意常数 c. 跟踪演练1求下列定积分: (1) 20(3xsin x)dx; (2) 21 ex1 x dx. 解(1) 3 2x 2cos x 3x sin x, 20(3xsin x)dx 3 2x 2cos x 2 0 3 2 2 2cos 2 3 20cos 0 3 2 8 1; (2)(e xln x) ex1 x, 21(ex1 x)dx(
5、)e xln x 2 1 (e 2ln 2)(e0) e2eln 2. 要点二求较复杂函数的定积分 例 2求下列定积分: (1) 41 x(1 x)dx;(2) 202cos 2x 2dx; (3) 41(2x 1 x)dx. 解(1)x(1x)xx, 又 2 3x 3 2 1 2x 2 x x. 41 x(1 x)dx 2 3x 3 2 1 2x 2 4 1 2 34 3 2 1 24 2 2 3 1 2 17 6 . (2)2cos 2x 21cos x,(xsin x) 1cos x, 原式 20(1cos x)dx(xsin x) 2 0 21. (3) 2 x ln 2 2x 2x
6、1 x , 41(2x 1 x)dx 2 x ln 2 2x 4 1 2 4 ln 2 2 4 2 ln 2 2 14 ln 2 2. 规律方法求较复杂函数的定积分的方法: (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被积函数的原函数,当原函数 不易求时, 可将被积函数适当变形后求解,具体方法是能化简的化简,不能化简的变为幂函 数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差 (2)确定积分区间,分清积分下限与积分上限 跟踪演练2计算下列定积分: (1) 30(sin xsin 2x)dx; (2) 0 ln 2ex(1 ex)dx. 解(1)sin xsin 2x 的一个原函数是c
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