高中数学人教A版选修2-2(课时训练):2.1合情推理与演绎推理2.1.1Word版含答案.pdf
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1、2.1合情推理与演绎推理 2.1.1合情推理 学习目标 1了解合情推理在数学发现中的作用 2了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理 知识链接 1由合情推理得到的结论可靠吗? 答一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,例如,费马猜想就 被数学家欧拉推翻了 2归纳推理和类比推理的结论一定正确吗? 答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然性的,而 是或然性的, 结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研 究中的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠 预习导引 1归纳推理和类比推理 定义特征 归纳推理
2、 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具 有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理 归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出 另一类对象也具有这些特征的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 2.合情推理的含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类 比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理 3合情推理的过程 从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想 要点一归纳推理的应用 例 1观察如图所示的“三角数阵” 1第1 行 22
3、第2 行 343第3 行 4774第4行 5 1114115第5 行 记第 n(n 1)行的第 2 个数为 an(n2,nN *),请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成 下列各题: (1)第 6 行的 6 个数依次为 _、 _、 _、 _、 _、 _; (2)依次写出a2、 a3、a4、a5; (3)归纳出 an1与 an的关系式 解由数阵可看出, 除首末两数外, 每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和,且每 一行的首末两数都等于行数 (1)6,16,25,25,16,6 (2)a22,a34,a47,a511 (3)a3a22,a4a33,a5a44 由此归纳: an1ann. 规律方
4、法对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行、 每列数的特征, 又要对上、 下行,左、 右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解 跟踪演练1根据下列条件,写出数列中的前4 项,并归纳猜想它的通项公式 (1)a13,an1 2an1; (2)a1a,an1 1 2an; (3)对一切的nN *, a n0,且 2Snan1. 解(1)由已知可得a13221, a22a112 3172 31, a32a212 71152 41, a42a312 151 312 51. 猜想 an2n 11,nN* . (2)由已知可得a1a, a2 1 2a1 1 2a , a3 1 2 a2 2 a 32a,
5、 a4 1 2a3 32a 43a. 猜想 an n1 n2 a n n1 a (nN *) (3)2 Snan1, 2 S1a11,即 2a1 a1 1, a11.又 2 S2a21, 2a1a2a21, a2 22a23 0. 对一切的nN *,a n0, a23. 同理可求得a35,a47, 猜想出 an2n1(nN *) 要点二类比推理的应用 例 2如图所示,在ABC 中,射影定理可表示为ab cos Cc cos B,其中 a,b,c 分别 为角 A,B, C 的对边类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想 解 如右图所示,在四面体PABC 中,设 S1,S2,S3,S分别表示 PA
6、B, PBC, PCA, ABC 的面积, , , 依次表示面PAB,面 PBC,面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小 我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为SS1 cos S2 cos S3 cos . 规律方法(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要,选择适当的类比对象,可以从 几何元素的数目、位置关系、 度量等方面入手由平面中的相关结论可以类比得到空间中的 相关结论 (2)平面图形与空间图形类比 平面图形空间图形 点线 线面 边长面积 面积体积 线线角二面角 三角形四面体 跟踪演练2已知 P(x0,y0)是抛物线 y 22px(p0)上的一点,过 P 点的切线方程
7、的斜率可通 过如下方式求得:在y22px 两边同时对x 求导,得 2yy 2p,则 y p y ,所以过 P 的切 线的斜率 k p y0 .类比上述方法求出双曲线x 2y 2 2 1 在 P(2, 2)处的切线方程为_ 答案2xy20 解析将双曲线方程化为y22(x21), 类比上述方法两边同时对x 求导得 2yy4x, 则 y 2x y ,即过 P 的切线的斜率k 2x0 y0 ,由于 P(2,2),故切线斜率k 22 2 2,因此切线方 程为 y22(x2),整理得2x y20. 要点三平面图形与空间图形的类比 例 3三角形与四面体有下列相似性质: (1)三角形是平面内由直线段围成的最简
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