高中数学人教A版选修2-2(课时训练):2.2直接证明与间接证明2.2.1Word版含答案.pdf
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1、2.2直接证明与间接证明 2.2.1综合法和分析法 学习目标 1理解综合法和分析法的思考过程、特点,会用综合法和分析法证明数学问题 2了解直接证明的两种基本方法 综合法和分析法 知识链接 1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理? 答综合法与分析法的推理过f 程是演绎推理, 因为综合法与分析法的每一步推理都是严密 的逻辑推理,从而得到的每一个结论都是正确的,不同于合情推理中的“猜想” 2必修五中基本不等式 ab 2 ab(a0,b0)是怎样证明的? 答要证 a b 2 ab, 只需证 ab2ab, 只需证 ab2ab0, 只需证 (ab)20, 因为 (ab)20 显然成立,所以原不等
2、式成立 预习导引 1综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法 2分析法 分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后, 把要证明的结论 归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 要点一综合法的应用 例 1在 ABC 中,三个内角A、B、C 对应的边分别为a、b、c,且 A、B、C 成等差数列, a、b、c 成等比数列,求证:ABC 为等边三角形 证明由 A、B、C 成等差数列,有2BA C. 因为 A、B、 C 为 ABC 的内角,所以ABC. 由,得B 3
3、. 由 a、b、c 成等比数列,有b2ac. 由余弦定理及, 可得 b2a2c22accos Ba2 c2 ac. 再由,得a 2c2acac, 即(ac)20,因此 ac, 从而有 AC. 由,得ABC 3.所以 ABC 为等边三角形 规律方法利用综合法证明问题的步骤: (1)分析条件选择方向:仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件),分析已知与结论之间的联 系与区别,选择相关的公理、定理、公式、结论,确定恰当的解题方法 (2)转化条件组织过程:把题目的已知条件,转化成解题所需要的语言,主要是文字、 符号、 图形三种语言之间的转化,组织过程时要有严密的逻辑,简洁的语言,清晰的思路 (3)适当调
4、整回顾反思:解题后回顾解题过程,可对部分步骤进行调整,并对一些语言进行 适当的修饰,反思总结解题方法的选取 跟踪演练1已知 a,b 是正数,且ab 1,求证: 1 a 1 b4. 证明法一a,b 是正数且a b1, ab2 ab,ab 1 2, 1 a 1 b ab ab 1 ab4. 法二a, b 是正数, ab 2 ab0, 1 a 1 b2 1 ab0, (ab) 1 a 1 b 4. 又 ab1, 1 a 1 b4. 法三 1 a 1 b ab a ab b 1b a a b122 b a a b4.当且仅当 a b 时,取 “”号 要点二分析法的应用 例 2设 a, b 为实数,求证
5、:a 2 b22 2 (ab) 证明当 ab 0 时,a 2b20, a2b2 2 2 (ab)成立 当 ab0 时,用分析法证明如下: 要证a 2 b22 2 (ab), 只需证 (a2b2)2 2 2 ab 2, 即证 a2b2 1 2(a 2b22ab),即证 a2b22ab. a2b2 2ab 对一切实数恒成立, a2b2 2 2 (ab)成立综上所述,不等式得证 规律方法用分析法证明不等式时应注意 (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理 论; (2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得 到的充分条件是
6、已知(或已证 )的不等式; (3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证明 ” 、“只需证明 ”、“即证明 ” 等词语 跟踪演练2已知 a,b 是正实数,求证: a b b a ab. 证明要证 a b b a ab, 只要证 a abbab (ab) 即证 (abab)(ab)ab(ab), 因为 a, b是正实数, 即证 a babab, 也就是要证ab2 ab, 即(ab)20. 该式显然成立,所以 a b b a ab. 要点三综合法和分析法的综合应用 例 3已知 a、b、 c 是不全相等的正数,且0abc. 由公式 ab 2 ab0, bc 2 bc0, ac 2 ac0,
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