高中数学人教A版选修2-2(课时训练):2.3数学归纳法(一)Word版含答案.pdf
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1、2.3数学归纳法 (一) 学习目标 1能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 2了解数学归纳法的原理 知识链接 1对于数列 an ,已知 a11,an1 an 1 an(nN * ),求出数列前4 项,你能得到什么猜想? 你的猜想一定是正确的吗? 答a11,a21 2,a3 1 3,a4 1 4.猜想数列的通项公式为 an 1 n.不能保证猜想一定正确,需 要严密的证明 2多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件? 答(1)第一块骨牌倒下;(2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下条件 (2)事实上给出了一个递推关系,换言之就是假设第K 块倒下,则相邻的第K 1 块也倒下 3类比问题2
2、 中的多米诺骨牌游戏的原理,想一想如何证明问题1 中的猜想? 答(1)当 n1 时,猜想成立;(2)若当 nk 时猜想成立,证明当nk1 时猜想也成立 预习导引 1数学归纳法 证明一个与正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行: (归纳奠基 )证明当 n 取第一个值n0(n0N *)时命题成立; (归纳递推 )假设当 nk(kn0,k N * )时命题成立,证明当n k1 时命题也成立 2应用数学归纳法时注意几点: (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题 (2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可 (3)步骤的证明必须以“假设当nk(kn0,kN *)时命题成立”为条件 要点
3、一正确判断命题从nk 到 nk1 项的变化 例 1已知 f(n)1 1 2 1 3 1 n(nN * ),证明不等式f(2 n ) n 2时, f(2 k1)比 f(2k)多的项数是 _ 答案2k 解析观察 f(n)的表达式可知,右端分母是连续的正整数, f(2 k)11 2 1 3 1 2 k,而 f(2 k1) 11 2 1 3 1 2 k 1 2 k1 1 2 k2 1 2 k2k. 因此 f(2 k1)比 f(2k)多了 2k 项 规律方法在书写f(k1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k1)中的最后一 项除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚 跟踪演练1设 f(
4、n)1 1 2 1 3 1 3n1(n N * ),那么 f(n1)f(n)等于 _ 答案 1 3n 1 3n1 1 3n2 解析f(n)1 1 2 1 3 1 3n 1 , f(n1)1 1 2 1 3 1 3n1 1 3n 1 3n1 1 3n2, f(n1)f(n) 1 3n 1 3n1 1 3n2. 要点二证明与自然数n 有关的等式 例 2已知 nN *,证明: 11 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n. 证明(1)当 n1 时,左边 1 1 2 1 2,右边 1 2, 等式成立; (2)假设当 nk(k 1,且 kN * )时等式成立,即: 1 1
5、 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 k1 1 k2 1 2k. 则当 n k1 时, 左边 11 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 2 k1 1 1 2 k1 1 k1 1 k2 1 2k 1 2k1 1 2 k1 1 k2 1 k3 1 2k 1 2k1 1 k1 1 2 k1 1 k 1 1 1 k1 2 1 k 1 k 1 2 k1 右边; 所以当 nk1 时等式也成立 由(1)(2) 知对一切nN *等式都成立 规律方法(1)用数学归纳法证明命题时,两个步骤缺一不可,且书写必须规范; (2)用数学归纳法证题时,要把nk 时的命题当作条件,在证nk1 命题成立时须
6、用上假 设要注意当nk1 时,等式两边的式子与nk 时等式两边的式子的联系,弄清楚增加 了哪些项,减少了哪些项,问题就会顺利解决 跟踪演练2用数学归纳法证明: 当 n2,nN *时, 11 4 11 9 1 1 16 1 1 n 2 n1 2n . 证明(1)当 n2 时,左边 1 1 4 3 4,右边 21 22 3 4, n2 时等式成立 (2)假设当 nk(k 2,kN *)时等式成立, 即 1 1 4 11 9 1 1 16 1 1 k 2 k1 2k , 那么当 nk1 时, 1 1 4 11 9 1 1 16 1 1 k 21 1 k1 2 k1 2k 1 1 k1 2 k1 21
7、 2k k1 k2 2 k 1 k1 1 2 k 1 . 当 n k1 时,等式也成立 根据 (1)和(2)知,对任意n2,nN * ,等式都成立 要点三证明与数列有关的问题 例 3某数列的第一项为1,并且对所有的自然数n2,数列的前n 项之积为n2. (1)写出这个数列的前五项; (2)写出这个数列的通项公式,并加以证明 解(1)已知 a1 1,由题意得a1 a222, a222, a1 a2 a3 3 2, a 3 3 2 2 2. 同理可得a44 2 3 2,a5 5 2 4 2. 因此这个数列的前五项为1,4, 9 4, 16 9 ,25 16. (2)观察这个数列的前五项,猜测数列的
8、通项公式应为: an 1n1 , n 2 n1 2n2 , 下面用数学归纳法证明当n2 时, an n 2 n1 2. 当 n 2时, a2 2 2 21 22 2, 所以等式成立 假设当nk(k2,kN)时,结论成立, 即 ak k 2 k1 2, 则当 n k1 时, a1 a2 ak1(k1)2, a1 a2 ak1(k1)2. ak1 k1 2 a1 a2 ak1 ak k1 2 k 1 2 k1 2 k 1 1 2 k1 2 k1 1 2, 所以当 nk1 时,结论也成立 根据可知,当n2 时,这个数列的通项公式是 an n 2 n1 2, an 1n1 , n 2 n1 2n 2
9、. 规律方法(1)数列 an 既不是等差数列, 又不是等比数列,要求其通项公式,只能根据给出 的递推式和初始值,分别计算出前几项,然后归纳猜想出通项公式an,并用数学归纳法加 以证明 (2)数学归纳法是重要的证明方法,常与其他知识结合,尤其是数学中的归纳,猜想并证明 或与数列中的不等式问题相结合综合考查,证明中要灵活应用题目中的已知条件,充分考虑 “假设 ”这一步的应用,不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法 跟踪演练3数列 an满足: a1 1 6,前 n 项和 Sn n n1 2 an, (1)写出 a2,a3,a4; (2)猜出 an的表达式,并用数学归纳法证明 解(1)令 n2,得 S2
10、 2 21 2 a2, 即 a1a23a2,解得 a2 1 12. 令 n3,得 S3 3 3 1 2 a3, 即 a1a2a36a3,解得 a3 1 20. 令 n4,得 S4 4 4 1 2 a4, 即 a1a2a3a410a4,解得 a4 1 30. (2)由(1)的结果猜想an 1 n1 n2 ,下面用数学归纳法给予证明: 当 n 1时, a1 1 6 1 11 12 ,结论成立 假设当nk(kN * )时,结论成立,即ak 1 k 1 k 2 , 则当 n k1 时, Sk k k1 2 ak, Sk1 k1k2 2 ak1, 与相减得ak1 k 1 k 2 2 ak1 k k1 2
11、 ak, 整理得 ak1 k1 k3a kk1 k3 1 k1 k2 1 k2 k3 1 k1 1 k1 2 , 即当 n k1 时结论也成立 由、知对于nN * ,上述结论都成立 1若命题 A(n)(nN *)在 n k(kN*)时命题成立,则有 nk1 时命题成立现知命题对n n0(n0N *)时命题成立,则有 () A命题对所有正整数都成立 B命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于 n0的正整数都成立 C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于 n0的正整数都成立 D以上说法都不正确 答案C 解析由已知得nn0(n0N *)时命题成立, 则有 nn 0 1 时命题成立;
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