高中数学人教A版选修2-2(课时训练):全册课堂导学全文Word版含答案.pdf
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1、11变化率与导数 11.1变化率问题 11.2导数的概念 学习目标 1会利用导数的定义求函数在某点处的导数 2会求函数在某一点附近的平均变化率 3了解导数概念的实际背景 知识链接 很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢从数 学的角度,如何描述这种现象呢? 答气球的半径 r(单位: dm)与体积 V(单位: L)之间的函数关系是r(V) 3 3V 4 , (1)当 V 从 0 增加到 1 L 时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62 (dm), 气球的平均膨胀率为 r 1 r 0 10 0.62(dm/L) (2)当 V 从 1 L
2、 增加到 2 L 时,气球半径增加了r(2)r(1)0.16 (dm), 气球的平均膨胀率为 r 2 r 1 21 0.16(dm/L) 可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小了 预习导引 1函数的变化率 定义实例 平均 变化率 函数 yf(x)从 x1到 x2的平均变化率为 f x2f x1 x2x1 , 简记作: y x 平均速度;曲线割线的斜率 瞬时 变化率 函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率是函数f(x)从 x0到 x0 x 的平均变化率在 x0 时的极限,即 lim x0 f x0 x f x0 x lim x0 y x. 瞬时速度:物体在某一时刻的速度;切线斜
3、 率 2.函数 f(x)在 xx0处的导数 函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率 lim x0 y xlim x0 f x0 x f x0 x 称为函数 yf(x)在 xx0处的导数,记作 f(x0)或 y|xx0, 即 f(x0)lim x0 y xlim x0 f x0 x f x0 x . 要点一求平均变化率 例 1已知函数 h(x)4.9x 26.5x10. (1)计算从 x1 到 x1 x 的平均变化率,其中 x 的值为 2;1;0.1;0.01. (2)根据(1)中的计算,当 | x|越来越小时,函数h(x)在区间 1,1 x上的平均变化率有怎样的变化趋势? 解(1) yh(1
4、 x)h (1)4.9 ( x)23.3 x, y x4.9 x3.3. 当 x2 时, y x4.9 x3.313.1; 当 x1 时, y x4.9 x3.38.2; 当 x0.1 时, y x4.9 x3.33.79; 当 x0.01 时, y x4.9 x3.33.349. (2)当| x|越来越小时,函数f(x)在区间 1,1 x上的平均变化率逐渐变大,并接近于3.3. 规律方法求平均变化率的主要步骤: (1)先计算函数值的改变量 yf(x2)f(x1) (2)再计算自变量的改变量 xx2x1. (3)得平均变化率 y x f x2f x1 x2x1 . 跟踪演练 1求函数 yf(x
5、)3x22 在区间 x0,x0 x上的平均变化率,并求当x02, x0.1 时平均变化率的值 解函数 yf(x)3x22 在区间 x0,x0 x上的平均变化率为 f x0 x f x0 x0 x x0 3 x 0 x 22 3x2 02 x 6x0x3 x 2 x 6x03 x. 当 x02, x0.1 时,函数 y3x22 在区间 2,2.1上的平均变化率为 6230.112.3. 要点二物体运动的瞬时速度 例 2高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位: s)之间的关系式为h(t)4.9t26.5t 10,求运动员在 t 65 98 s时的瞬时速度,并解释
6、此时的运动状况 解令 t0 65 98, t 为增量则 h t0 t h t0 t 4.9 65 98 t 26.5 65 98 t 10 t 4.9 65 98 26.565 9810 t 4.9 t 65 49 t 6.5 t t 4.9 65 49 t 6.5, lim t0 h t0 t h t0 t lim t0 4.9 65 49 t 6.5 0, 即运动员在 t065 98 s时的瞬时速度为0 m/s. 说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处 规律方法求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近 ”的方法得到的,其求解步骤如下: (1)由物体运动的位移s与时间 t 的函数关系式求出位
7、移增量 ss(t0 t)s(t0); (2)求时间 t0到 t0 t 之间的平均速度v s t ; (3)求lim t0 s t的值,即得 tt0 时的瞬时速度 跟踪演练 2一质点按规律 s(t)at21 作直线运动 (位移单位: m,时间单位: s),若该质点在 t2 s时的瞬时速度为 8 m/s, 求常数 a的值 解 ss(2 t)s(2) a(2 t) 21a 221 4a ta( t)2, s t 4aa t. 在 t2 s时,瞬时速度为 lim x0 s t 4a,即 4a8,a2. 要点三函数在某点处的导数 例 3求函数 f(x)3x22x 在 x1 处的导数 解 y3(1 x)2
8、2(1 x)(31221)3( x)24 x, y x 3 x 24 x x 3 x4, y|x1 lim x0 y xlim x0 (3 x4)4. 规律方法求一个函数 yf(x)在 xx0处的导数的步骤如下: (1)求函数值的变化量 yf(x0 x)f(x0); (2)求平均变化率 y x f x0 x f x0 x ; (3)取极限,得导数 f(x0)lim x0 y x. 跟踪演练 3利用导数的定义求函数f(x)x23x 在 x2 处的导数 解由导数的定义知,函数在x2 处的导数 f(2) lim x0 f 2 x f 2 x ,而 f(2 x)f(2) (2 x)23(2 x)(22
9、32) ( x) 2 x, 于是 f(2) lim x0 x 2 x x lim x0 ( x1)1. 1如果质点 M 按规律 s3t 2 运动,则在一小段时间 2,2.1中相应的平均速度是 () A4 B4.1 C0.41 D3 答案B 解析v 32.1 2 32 2 0.1 4.1. 2函数 f(x)在 x0处可导,则 lim x0 f x0h f x0 h () A与 x0、h 都有关 B仅与 x0有关,而与 h 无关 C仅与 h 有关,而与 x0无关 D与 x0、h 均无关 答案B 3已知函数 f(x)2x 21 的图象上一点 (1,1)及邻近一点 (1 x,1 y),则 y x等于(
10、 ) A4 B4x C42 xD42( x) 2 答案C 解析 yf(1 x)f(1)2(1 x)2112( x)24 x, y x2 x4. 4已知函数 f(x) 1 x,则 f(1)_. 答案1 2 解析f(1) lim x0 f 1 x f 1 x lim x0 1 1 x1 x lim x0 1 1 x 11 x 1 2. 利用导数定义求导数三步曲: (1)作差求函数的增量 yf(x0 x)f(x0); (2)作比求平均变化率 y x f x0 x f x0 x ; (3)取极限得导数 f(x0)lim x0 y x, 简记为一差,二比,三极限. 一、基础达标 1函数 yf(x)在 x
11、0到 x0 x 之间的平均变化率 f x0 x f x0 x 中, x 不可能是 () A大于 0 B小于 0 C等于 0 D大于 0 或小于 0 答案C 2 如图,函数 yf(x)在 A,B 两点间的平均变化率是 () A1 B 1 C2 D2 答案B 解析 y x f 3 f 1 31 13 2 1. 3如果某物体的运动方程为s2(1t 2) (s 的单位为 m,t 的单位为 s),那么其在 1.2 s末的瞬时速度为 ( ) A4.8 m/s B 0.88 m/s C0.88 m/s D4.8 m/s 答案A 解析物体运动在 1.2 s末的瞬时速度即为s在 1.2 处的导数,利用导数的定义
12、即可求得 4设函数 f(x)可导,则 lim x0 f 13 x f 1 3 x 等于() Af(1) B3f(1) C1 3f(1) Df(3) 答案A 解析lim x0 f 13 x f 1 3 x f(1) 5已知函数 y 2 x3,当 x 由 2 变到 1.5 时,函数的增量 y_. 答案 1 3 解析 yf(1.5)f(2) 2 1.53 2 23 4 31 1 3. 6一做直线运动的物体,其位移s与时间 t 的关系是 s3tt 2,则物体的初速度是 _ 答案3 解析v初s|t0lim x0 s 0 t s 0 t lim x0 (3 t)3. 7利用定义求函数y2x 25 在 x2
13、 处的瞬时变化率 解因为在 x2 附近, y2(2 x) 25(2225)8 x2( x)2, 所以函数在区间 2,2 x内的平均变化率为 y x 8 x2 x 2 x 82 x.故函数 y 2x 25 在 x2 处的瞬时变化率为 lim x0 (82 x)8. 二、能力提升 8. 甲、乙两厂污水的排放量W与时间 t 的关系如图所示,治污效果较好的是() A甲B乙 C相同D不确定 答案B 解析在 t0处,虽然 W1(t0)W2(t0), 但是,在 t0 t 处,W1(t0 t)0, 对于任意实数 x, 有 f(x)0, 则 f 1 f 0 的最小值为 _ 答案2 解析由导数的定义, 得 f(0
14、)lim x0 f x f 0 x lim x0 a x 2b x cc x lim x0 a( x)bb0. 又 b 24ac0 a0 ,ac b 2 4 ,c0. f 1 f 0 abc b b2 ac b 2b b 2. 11求函数 yf(x)2x 24x 在 x3 处的导数 解 y2(3 x)24(3 x)(23243) 12 x2( x)24 x2( x)216 x, y x 2 x 216 x x 2 x16. y|x3 lim x0 y xlim x0 (2 x16)16. 12若函数 f(x)ax 2c,且 f(1)2,求 a 的值 解f(1 x)f(1)a(1 x) 2cac
15、 a( x)22a x. f(1)lim x0 f 1 x f 1 x lim x0 a x 22a x x lim x0 (a x2a)2a,即 2a2,a1. 三、探究与创新 13已知 f(x)x 2,g(x)x3,求满足 f(x)2g(x)的 x 的值 解由导数的定义知, f(x) lim x0 x x 2x2 x 2x, g(x)lim x0 x x 3x3 x 3x 2. f(x)2g(x),2x23x2. 即 3x 22x20,解得 x1 7 3 或 x 1 7 3 . 11.3导数的几何意义 学习目标 1了解导函数的概念;了解导数与割线斜率之间的关系 2理解曲线的切线的概念;理解
16、导数的几何意义 3会求曲线上某点处的切线方程,初步体会以直代曲的意义 知识链接 如果一个函数是路程关于时间的函数,那么函数在某点处的导数就是瞬时速度,这是函数的实际意义,那么从函数的图象 上来考查函数在某点处的导数,它具有怎样的几何意义呢? 答 设函数 yf(x)的图象如图所示,AB是过点 A(x0, f(x0)与点 B(x0 x, f(x0 x)的一条割线,此割线的斜率是 y x f x0 x f x0 x . 当点 B 沿曲线趋近于点 A 时,割线 AB绕点 A 转动,它的极限位置为直线AD,这条直线 AD 叫做此曲线在点A 处的切线于是, 当 x0 时,割线 AB 的斜率无限趋近于过点A
17、 的切线 AD 的斜率 k,即 kf(x0) lim x0 f x0 x f x0 x . 预习导引 1导数的几何意义 函数 yf(x)在点 xx0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线的斜率也就是说,曲线yf(x)在点 P(x0, f(x0)处的切线的斜率是f(x0)相应地,切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0) 2函数的导函数 当 xx0时,f(x0)是一个确定的数,则当x 变化时, f(x)是 x 的一个函数,称f(x)是 f(x)的导函数 (简称导数 )f(x)也记 作 y,即 f(x)y lim x0 f x x f x x . 要点一过曲线上一点的
18、切线方程 例 1若曲线 yx33ax 在某点处的切线方程为y3x1,求 a 的值 解yx 33ax. y lim x0 x x 33a x x x33ax x lim x0 3x 2 x3x x2 x33a x x lim x0 3x 23x x( x)23a3x23a. 设曲线与直线相切的切点为P(x0,y0), 结合已知条件,得 3x 2 03a3, x 3 03ax0y03x01, 解得 a1 3 2 2 , x0 3 4 2 . a1 3 2 2 . 规律方法一般地,设曲线C 是函数 yf(x)的图象, P(x0,y0)是曲线 C 上的定点,由导数的几何意义知k lim x0 y xl
19、im x0 f x0 x f x0 x ,继而由点与斜率可得点斜式方程,化简得切线方程 跟踪演练 1求曲线 y1 x在点 2, 1 2 处的切线方程 解因为 lim x0 f 2 x f 2 x lim x0 1 2 x 1 2 x lim x0 1 2 2 x 1 4.所以这条曲线在点 2,1 2 处的切线斜率为 1 4,由直线的点斜式方程可得切线方程为 y1 2 1 4(x2),即 x4y40. 要点二求过曲线外一点的切线方程 例 2已知曲线 y2x 27,求: (1)曲线上哪一点的切线平行于直线4xy20? (2)曲线过点 P(3,9)的切线方程 解ylim x0 y x lim x0
20、2 x x 27 2x27 x lim x0 (4x2 x)4x. (1)设切点为 (x0,y0),则 4x04,x01,y05, 切点坐标为 (1,5) (2)由于点 P(3,9)不在曲线上 设所求切线的切点为A(x0,y0),则切线的斜率k4x0, 故所求的切线方程为yy04x0(xx0) 将 P(3,9)及 y02x207 代入上式, 得 9(2x207)4x0(3x0) 解得 x02或 x04,所以切点为 (2,1)或(4,25) 从而所求切线方程为8xy150 或 16xy390. 规律方法若题中所给点 (x0,y0)不在曲线上,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求
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