高考一轮复习数学教案:5.1--向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积.pdf
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1、高考第一轮复习数学教案集 第五章平面向量 网络体系总览 平面向量 解斜三角形 向量的概念 向量的运算 向量的表示 向量的应用 几何表示 坐标表示 代数运算 几何运算 线段的定比分点 平移 正弦定理 余弦定理 考点目标定位 1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. 2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则. 3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则. 4.了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. 复习方略指南 向量是数学中的重要概念,它广泛应用于生产实践和科学研究中,其重要性逐渐加 强.从近几年高考试题可以看出,主要考查平面向量的加减运算、平
2、面向量的坐标表示、 平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使 用,“平面向量” 将会成为命题的热点,一般选择题、 填空题重在考查平面向量的概念、 数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有: (1)与“定比分点”有关的试题; (2)平面向量的加减法运算及其几何意义; (3)平面向量的数量积及运算律,平面向量的坐标运算,用向量的知识解决几何 问题; (4)正、余弦定理的应用. 复习本章时要注意: (1)向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有 关系,同向且等长的有向线段都表示同一向量. (2)共线向量和平面向量的两条基本定理,揭
3、示了共线向量和平面向量的基本结构, 它们是进一步研究向量的基础. (3)向量的加、减、数乘积是向量的线性运算,其结果仍是向量.向量的数量积结果 是一个实数 .向量的数量积,可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角, 判断相应的两条直线是否垂直. ( 4)向量的运算与实数的运算有异同点,学习时要注意这一点,如数量积不满 足结合律 . (5)要注意向量在几何、三角、物理学中的应用. (6)平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点,复习中要注意培养准 确的运算能力和灵活运用知识的能力. 5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积 知识梳理 1.平面向量的有关概念: (1
4、)向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)表示方法:用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所 指的方向表示向量的方向.用字母 a,b,或用 AB ,BC ,表示 . (3)模:向量的长度叫向量的模,记作 |a|或| AB |. (4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作 0;零向量的方向不确定. (5)单位向量:长度为1 个长度单位的向量叫做单位向量. (6)共线向量:方向相同或相反的向量叫共线向量,规定零向量与任何向量共线. (7)相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2.向量的加法: (1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. (2)法则
5、:三角形法则;平行四边形法则. (3)运算律: a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c). 3.向量的减法: (1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法. (2)法则:三角形法则;平行四边形法则. 4.实数与向量的积: (1)定义:实数与向量 a 的积是一个向量,记作a,规定: |a|=|a|.当 0 时,a 的方向与a 的方向相同;当0 时,a 的方向与a 的方向相反;当=0 时,a 与 a 平行 . (2)运算律:(a)=()a,(+) a=a+a,( a+b) =a+ b. 5.两个重要定理: (1) 向量共线定理: 向量 b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数,
6、使 得 b=a,即 bab=a(a0). (2)平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这 一平面内的任一向量a,有且仅有一对实数1、2, 使 a=1e1+2e2. 点击双基 1.( 2004 年天津,理 3)若平面向量b 与向量 a=(1,2)的夹角是180,且 |b|=3 5 , 则 b 等于 A.( 3,6)B.(3,6) C.(6,3)D.( 6,3) 解析:易知 a 与 b 方向相反,可设 b= (,2) (0) .又|b|=35 = 22 4, 解之得=3 或=3(舍去) .b=( 3,6). 答案: A 2.(2004 年浙江,文 4)已知向量a=
7、(3,4) ,b=(sin,cos) ,且 a b, 则 tan等于 A. 4 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 3 4 解析:由 ab,3cos=4sin. tan= 4 3 . 答案: A 3.若 ABCD 为正方形,E 是 CD 的中点,且 AB =a,AD =b,则 BE 等于 A.b+ 2 1 a B.b 2 1 a C.a+ 2 1 b D.a 2 1 b 解析: BE = AE AB = AD + DE AB = AD + 2 1 AB AB =b 2 1 a. 答案: B 4.e1、e2是不共线的向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,则 a 与 b 共线的充要条件是实数
8、 k 等于 A.0 B.1 C.2 D.1 解析: a 与 b 共线存在实数m,使 a=mb, 即 e1+ke2=mke1+me2.又 e1、e2不共线, . 1 km mk, k=1. 答案: D 5.若 a=“向东走8 km ” ,b=“向北走 8 km ” ,则 a+b|=_,a+b 的方向是 _. 解析: |a+b|=6464=82 (km). 答案: 82km 东北方向 典例剖析 【例 1】 已知向量a、b 满足 |a|=1,|b|=2,|ab|=2,则|a+b|等于 A.1 B.2C.5D.6 剖析:欲求 |a+b|,一是设出a、b 的坐标求,二是直接根据向量模计算. 解法一:设a
9、=(x1, y1) ,b=(x2,y2) ,则 x12+y12=1,x22+y2 2=4, a b=(x1 x2, y1y2) , ( x1x2) 2+(y1y2)2=4. x122x1x2+x22+y12 2y1y2+y22=4. 12x1x22y1y2=0.2x1x2+2y1y2=1. ( x1+x2) 2+(y1+y2)2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6. |a+b|=6 . 解法二: |a+b|2+|a b|2=2(|a|2+|b|2) , |a+b|2=2(|a| 2+|b|2) |ab|2 =2(1+4) 22=6. |a+b|=6 .故选 D. 深化拓展 此题也可以利
10、用“解斜三角形”的方法进行处理. 【例 2】 如图,G 是 ABC 的重心,求证: GA + GB +GC =0. A BC D G E 剖析:要证 GA + GB + GC =0,只需证 GA + GB = GC ,即只需证 GA +GB 与 GC 互 为相反的向量 . 证明:以向量GB 、GC 为邻边作平行四边形GBEC,则 GB + GC = GE =2GD .又由 G 为 ABC 的重心知 AG =2GD ,从而 GA=2GD . GA + GB + GC =2GD +2 GD =0. 评述:向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义,能进一 步加深对“向量”的认识,
11、并能体会用向量处理问题的优越性. 深化拓展 此题也可用向量的坐标运算进行证明. 【例 3】 设 OA 、 OB 不共线,点 P 在 AB 上,求证: OP =OA +OB 且+ =1,、R. 剖析: 点 P 在 AB 上,可知 AP 与 AB 共线,得 AP =t AB .再用以 O 为起点的向量 表示 . 证明: P 在 AB 上, AP 与 AB 共线 . AP =t AB . OP OA =t( OB OA ). OP = OA+tOB t OA=(1t) OA+tOB . 设 1t=,t=,则 OP =OA+OB 且+=1,、R. 评述:本例的重点是考查平面向量的基本定理,及对共线向量
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- 高考 一轮 复习 数学教案 5.1 向量 概念 加法 减法 实数
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