高考一轮复习数学教案:9.2-直线与平面平行.pdf
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1、9.2 直线与平面平行 知识梳理 1.直线与平面的位置关系有且只有三种,即直线与平面平行、直线与平面相交、直线 在平面内 . 2.直线与平面平行的判定:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这 条直线与这个平面平行. 3.直线与平面平行的性质:如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与已 知平面相交,那么这条直线与交线平行. 点击双基 1.设有平面、和直线 m、n,则 m的一个充分条件是 A.且 mB.=n 且 mn C.m n 且 nD.且 m 答案: D 2.( 2004 年北京,3)设 m、n 是两条不同的直线,、是三个不同的平面. 给出下列四个命题,其中正确命题的序号是
2、 若 m,n,则 mn若,m,则 m 若 m,n,则 mn 若,则 A.B.C.D. 解析:显然正确 .中 m 与 n 可能相交或异面 .考虑长方体的顶点,与可以相 交. 答案: A 3.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系 是 A.异面B.相交C.平行D.不能确定 解析:设=l,a,a, 过直线 a 作与、都相交的平面, 记=b,=c, 则 ab 且 ac, bc. 又 b,=l,bl.al. a b c l 答案: C 4.(文)设平面平面,A、C,B、D,直线 AB 与 CD 交于点 S, 且 AS=8,BS=9,CD=34,当 S在、之间时,SC=
3、_,当 S 不在、之间时,SC=_. 解析: ACBD, SAC SBD,SC=16,SC=272. 答案: 16 272 (理)设 D 是线段 BC 上的点,BC平面,从平面外一定点 A(A 与 BC 分居 平面两侧)作AB、AD、AC 分别交平面于 E、F、G 三点,BC=a,AD=b,DF =c, 则 EG=_. 解析:解法类同于上题. 答案: b acab 5.在四面体ABCD 中,M、N 分别是面 ACD、 BCD 的重心,则四面体的四个面 中与 MN 平行的是 _. A B C D M N . . 解析:连结AM 并延长,交 CD 于 E,连结 BN 并延长交CD 于 F,由重心性
4、质 可知,E、F 重合为一点,且该点为CD 的中点 E,由 MA EM = NB EN = 2 1 得 MNAB, 因此,MN平面 ABC 且 MN平面 ABD. 答案:平面ABC、平面 ABD 典例剖析 【例 1】 如下图,两个全等的正方形ABCD 和 ABEF 所在平面相交于AB,M AC, NFB 且 AM=FN,求证: MN平面 BCE. Q A B C D M P F E N 证法一:过M 作 MPBC,NQBE,P、Q 为垂足(如上图) ,连结 PQ. MPAB,NQAB,MP NQ. 又 NQ= 2 2 BN= 2 2 CM=MP,MPQN 是平行四边形 . MN PQ,PQ平面
5、 BCE. 而 MN平面 BCE, MN平面 BCE. 证法二:过M 作 MGBC,交 AB 于点 G(如下图),连结 NG. G A B C D M F E N MG BC,BC平面 BCE, MG平面 BCE, MG平面 BCE. 又 GA BG = MA CM = NF BN , GNAFBE,同样可证明GN平面 BCE. 又面 MGNG=G, 平面 MNG 平面 BCE.又 MN平面 MNG .MN平面 BCE. 特别提示 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法:利用直线和平面平行的判定定理, 通过“线线”平行,证得“线面”平行;利用两平面平行的性质定理,通过“面面” 平行,证得“线
6、面”平行. 【例 2】 如下图,正方体 ABCDA1B1C1D1中, 侧面对角线AB1、BC1上分别有两 点 E、 F,且 B1E=C1F.求证: EF平面 ABCD. A A D B C B C D 1 1 1 1 E F G M N 证法一:分别过E、F 作 EMAB 于点 M,FNBC 于点 N,连结 MN. BB1平面 ABCD , BB1 AB, BB1BC. EMBB1, FNBB1.EMFN. 又 B1E=C1F, EM=FN . 故四边形 MNFE 是平行四边形. EFMN.又 MN 在平面 ABCD 中, EF平面 ABCD . 证法二:过E 作 EGAB 交 BB1于点 G
7、, 连结 GF,则 AB EB 1 1 = BB GB 1 1 . B1E=C1F, B1A=C1B, BC FC 1 1 = BB GB 1 1 . FGB1C1BC. 又 EGFG=G,ABBC=B, 平面 EFG 平面 ABCD.而 EF 在平面 EFG 中, EF平面 ABCD . 评述: 证明线面平行的常用方法是:证明直线平行于平面内的一条直线;证明直线所在 的平面与已知平面平行. 【例 3】 已知正四棱锥P ABCD 的底面边长及侧棱长均为13,M、N 分别是 PA、 BD 上的点,且 PMMA=BNND=58. AB C D E O M N P (1)求证:直线MN平面 PBC;
8、 (2)求直线MN 与平面 ABCD 所成的角 . (1)证明: PABCD 是正四棱锥,ABCD 是正方形 .连结 AN 并延长交BC 于点 E,连结 PE. ADBC,ENAN=BNND. 又 BN ND=PM MA, ENAN=PMMA. MN PE. 又 PE 在平面 PBC 内,MN平面 PBC. (2)解:由( 1)知 MNPE,MN 与平面 ABCD 所成的角就是PE 与平面 ABCD 所成的角 . 设点 P 在底面 ABCD 上的射影为O,连结 OE,则 PEO 为 PE 与平面 ABCD 所成 的角 . 由正棱锥的性质知PO= 22 OBPB= 2 213 . 由( 1)知,
9、BE AD=BNND=58, BE= 8 65 . 在 PEB 中,PBE=60,PB=13,BE= 8 65 , 根据余弦定理,得 PE= 8 91 . 在 RtPOE 中,PO= 2 213 ,PE= 8 91 , sinPEO= PE PO = 7 24 . 故 MN 与平面 ABCD 所成的角为arcsin 7 24 . 思考讨论 证线面平行,一般是转化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法,作 出线与面所成的角.本题若直接求MN 与平面 ABCD 所成的角,计算困难,而平移转化 为 PE 与平面 ABCD 所成的角则计算容易.可见平移是求线线角、线面角的重要方法. 闯关训练
10、夯实基础 1.两条直线a、b 满足 ab,b,则 a 与平面的关系是 A.aB.a 与相交C.a与不相交D.a 答案: C 2.a、b 是两条异面直线,A 是不在 a、b 上的点,则下列结论成立的是 A.过 A 有且只有一个平面平行于a、b B.过 A 至少有一个平面平行于a、b C.过 A 有无数个平面平行于a、b D.过 A 且平行 a、 b的平面可能不存在 解析:过点A 可作直线 a a,b b, 则 a b =A. a、 b可确定一个平面,记为. 如果 a,b,则 a,b. 由于平面可能过直线a、b 之一,因此,过 A 且平行于 a、b 的平面可能不存在. 答案: D 3.( 2004
11、 年全国,16)已知 a、b 为不垂直的异面直线,是一个平面,则 a、 b 在上的射影有可能是两条平行直线;两条互相垂直的直线;同一条直线;一条 直线及其外一点. 在上面结论中,正确结论的编号是_.(写出所有正确结论的编号) 解析: A1D 与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相平行; AB1与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相垂直; DD1与 BC1在平面 ABCD 上的射影是一条直线及其外一点. A A B C D B C D 1 1 1 1 答案: 4.已知 RtABC 的直角顶点C 在平面内,斜边 AB,AB=26,AC、BC 分别和平面成 45和 30角,则 AB 到平面的距离
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- 高考 一轮 复习 数学教案 9.2 直线 平面 平行
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