高考一轮复习数学教案:9.5------两个平面垂直.pdf
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1、9.5 两个平面垂直 知识梳理 1.两个平面垂直的定义:如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互 相垂直 . 2.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂 直. 3.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么过其中一个平面内的一点作它 的交线的垂线与另一个平面垂直. 点击双基 1.在三棱锥ABCD 中,若 ADBC,BDAD, BCD 是锐角三角形,那么 必有 A.平面 ABD 平面 ADC B.平面 ABD平面 ABC C.平面 ADC 平面 BCD D.平面 ABC平面 BCD 解析:由 ADBC,BD ADAD平面 BCD,面 AD平面
2、ADC , 平面 ADC 平面 BCD . 答案: C 2.直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB=90,AC=AA1=a,则点 A 到平面 A1BC 的 距离是 A.aB. 2aC. 2 2 aD. 3a 解析:取 A1C 的中点 O, 连结 AO. AC=AA1,AOA1C. 又该三棱柱是直三棱柱, 平面 A1C平面 ABC. 又 BC AC,BCAO. 因此 AO平面 A1BC, 即 A1O 等于 A 到平面 ABC 的距离 .解得 A1O= 2 2 a. 答案: C 3.设两个平面、,直线l,下列三个条件:l; l;.若以 其中两个作为前提,另一个作为结论,则可构成三个命题,这三个命题中
3、正确的个数 为 A.3 B.2 C.1 D.0 解析: 答案: C 4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,截面 A1BD 与底面 ABCD 所成的二面角A1BDA 的正切值为 _. 答案:2 5.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a 的线段和这两个平面所成的角分别为45和 30,过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线,则两垂足间的距离为 _. 解析:如下图,平面,=l,A,B,AB=2a. ACl 于点 C,BDl 于点 D, 则 CD 即为所求 . ,ACl,AC,ABC 就是 AB 与平面所成的角 . 故 ABC=30,故 AC=a. 同理,在 RtADB 中求得 AD=2a.
4、在 RtACD ,CD= 22 2aa=a. A B CD l 答案: a 典例剖析 【例 1】 如下图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且ASB= ASC=60,BSC=90,求证:平面 ABC平面 BSC. S BC A O 剖析:本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路,即先证明其中一个平 面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线,故作辅助线 .根据已知 条件的特点,取 BC 的中点 O,连结 AO、SO,既可证明AO平面 BSC,又可证 明 SO平面ABC.另一条是从定义出发的思路,即证明两个平面所成的二面角是直二面 角,注意到 AOS
5、是二面角ABCS的平面角,转化为证明AOS 是直角 . 证法一:取BC 的中点 O,连结 AO、SO. AS=BS=CS,SOBC, 又 ASB=ASC=60,AB=AC, 从而 AOBC. 设 AS=a,又 BSC=90,则 SO= 2 2 a. 又 AO= 22 BOAB= 22 2 1 aa= 2 2 a, AS2=AO2+SO2,故 AOOS. 从而 AO平面 BSC,又 AO平面 ABC, 平面 ABC平面 BSC. 证法二:同证法一证得AOBC,SOBC, AOS就是二面角ABCS的平面角 .再同证法一证得AOOS,即 AOS=90. 平面 ABC平面 BSC. 特别提示 本题揭示
6、的是证面面垂直常用的两种方法.此外,本题中证明AOS=90的方法较为 特殊,即通过“算” ,定量地证得直角,而不是通过位置关系定性地推理出直角,这 也是立体何中证明垂直的一种重要方法. 【例 2】 如下图,在三棱锥SABC 中,SA平面 ABC,平面 SAB平面 SBC. A B C S E H (1)求证: ABBC; (2)若设二面角SBCA 为 45,SA=BC,求二面角 ASCB 的大小 . (1)证明:作AH SB 于 H, 平面 SAB平面 SBC, AH平面 SBC. 又 SA平面 ABC,SABC. SA在平面 SBC 上的射影为SH, BCSB.又 SASB=S , BC平面
7、 SAB. BCAB. (2)解: SA平面 ABC, 平面 SAB平面 ABC.又平面 SAB平面 SBC, SBA为二面角SBCA 的平面角 . SBA=45.设 SA=AB=BC=a. 作 AE SC于 E,连结 EH,则 EHSC,AEH 为二面角ASCB 的平面角, AH= 2 2 a,AC=2a,SC=3a,AE= 3 6 a, sinAEH= 2 3 ,二面角 ASC B 为 60. 思考讨论 证明两个平面垂直的常见方法: (1)根据定义,证其二面角的平面角是直角; (2)根据判定定理,证明一个平面经过另一个平面的垂线. 【例 3】 已知正三棱柱ABCA1B1C1, 若过面对角线
8、AB1与另一面对角线BC1平行 的平面交上底面A1B1C1的一边 A1C1于点 D. A A B B C C 1 1 1 (1)确定 D 的位置,并证明你的结论; (2)证明:平面AB1D平面 AA1D; (3)若 ABAA1=2, 求平面 AB1D 与平面 AB1A1所成角的大小 . 剖析:本题的结论是“开放性”的,点 D 位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得 出.由于 AB1与 BC1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线, 于是可考虑将BC1沿 BA 平行移动,BC1取 AE1位置, 则平面 AB1E1一定平行BC1,问题可以解决. (1)解:如下图,将正三棱柱ABC A1B1C1补成一
9、直平行六面体 ABCEA1B1C1E1, 由 AE1BC1, AE1平面 AB1E1,知 BC1平面 AB1E1,故平面 AB1E1应为所求平面, 此时平面 AB1E1交 A1C1于点 D, 由平行四边形对角线互相平行性质知,D 为 A1C1的中 点. A A E B C B CE 1 1 1 1 D (2)证明: 连结 AD,从直平行六面体定义知AA1底面 A1B1C1D1, 且从 A1B1C1E1 是菱形知,B1E1 A1C1, 据三垂线定理知,B1E1 AD. 又 ADA1C1=D, 所以 B1E1平面 AA1D, 又 B1E1 平面 AB1D,所以平面AB1D平面 AA1D. (3)解
10、:因为平面AB1D平面 AA1D=AD, 所以过 A1作 A1HAD 于点 H. 作 HF AB1于点 F, 连结 A1F,从三垂线定理知A1FAB1. 故 A1FH 是二面角 A1AB1D 的平面角 . 设侧棱 AA1=1, 侧棱 AB=2. 于是 AB1= 22 )2(1= 3. 在 RtAB1A1中, A1F= 1 111 AB BAAA = 3 21 = 3 6 , 在 RtAA1D 中, AA1=1,A1D= 2 1 A1C1= 2 2 ,AD= 2 1 2 1 DAAA= 2 6 . 则 A1H= AD DAAA 11 = 3 3 . 在 RtA1FH 中, sinA1FH = F
11、A HA 1 1 = 2 2 , 所以 A1FH =45 . 因此可知平面AB1D 与平面 AB1A1所成角为 45或 135. 评述: 本题主要考查棱柱的性质,以及面面关系、二面角的计算,同时考查空间想 象能力和综合运用知识解决问题的能力. 特别提示 1.开放性问题已进入高考试卷中,近年来,全国及上海市多次考查开放题,解开 放题并将经验与解题技巧相结合,并要有较熟练的基础知识和“图形意识”,并能将典 型图形灵活应用到解题中去. 2.立体几何的计算并非单纯的数字计算,而是与作图和证明相结合的.立体几何计算题 的主要步骤可以归纳为画证算三步.“画”是画图,添加必要的辅助线,或画出所 要求的几 何
12、量,或进行必要的转化; “证”是证明,用三段论的方法证明你所画的几何量即为所 求,然后进行最后一步计算.这三步之间紧密相连,环环相扣,互相制约,形成了 解决立体几何计算题的思维程序,是综合考查学科能力的集中体现. 闯关训练 夯实基础 1.P 为 ABC 所在平面外的一点,则点 P 在此三角形所在平面上的射影是ABC 垂心 的充分必要条件是 A.PA=PB=PC B.PABC,PBAC C.点 P 到 ABC 三边所在直线距离相等 D.平面 PAB、平面 PBC、平面 PAC 与 ABC 所在的平面所成的角相等 解析:条件A 为外心的充分必要条件,条件 C、D 为内心或旁心的必要条件(当射 影在
13、 ABC 的形内时为内心,在形外时为旁心). 答案: B 2.m、n 表示直线,、表示平面,给出下列四个命题,其中正确命题为 =m,n,nm,则,=m,=n, 则 mn ,=m,则 mm,n,mn,则 A.B.C.D. 答案: C 3.设 a、 b是异面直线,、是两个平面,且 a,b,a,b ,则当 _(填上一种条件即可)时,有. 解析:本题为开放性问题.可以填上ab,也可以填a,或 b. 答案: ab 4.三个平面两两互相垂直,它们的三条交线交于一点O,P 到三个平面的距离分别 是 3、4、5,则 OP 的长为 _. 解析:构造棱长分别为3、4、5 的长方体,使 OP 为长方体的对角线. 故
14、 OP= 222 543=52. 答案: 52 5.在长方体 ABCDA1B1C1D1中,底面 ABCD 是边长为2的正方形,侧棱长为3, E、F 分别是 AB1、CB1的中点,求证:平面D1EF平面 AB1C. 证明:如下图,E、F 分别是 AB1、CB1的中点, A A D D B B C C 1 1 1 1 1 E F O O EFAC. AB1=CB1, O 为 AC 的中点, B1OAC. 故 B1OEF. 在 RtB1BO 中, BB1=3,BO=1, BB1O=30.从而 OB1D1=60, 又 B1D1=2,B1O1= 2 1 OB1=1(O1为 BO 与 EF 的 交点) .
15、 D1B1O1是直角三角形, 即 B1OD1O1. B1O平面 D1EF.又 B1O 平面 ACB1, 平面 D1EF平面 AB1C. 6. (文)如下图,正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面边长为22,侧棱长为4, E、F 分别为棱AB、BC 的中点,EFBD=G. A A D D B B C C 1 1 1 1 E F G (1)求证:平面B1EF平面 BDD1B; (2)求点 D1到平面 B1EF 的距离 d; (3)求三棱锥B1 EFD1的体积 V. (1)证法一:如下图,连结 AC. A A D D B B C C 1 1 1 1 E F G 正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底
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