高考数学(苏教版)二轮复习专题15--解析几何中的综合问题.pdf
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1、1 高考数学 (苏教版) 二轮复习专题15 解析几何中的综 合问题 回顾 2008 2020 年的高考题,解析几何是重要内容之一,所占分值在30 分以上, 大题小题同时有,除了本身知识的综合,还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识 构成综合题,多年高考压轴题是解析几何题. 预测在 2013 年的高考题中: 1 填空题依然是直线和圆的方程问题以及考查圆锥曲线的几何性质为主,三种圆锥 曲线都有可能涉及. 2 在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题,难度较高,还有可能涉及 简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题,重点关注定值问题. 1椭圆 x2 a 2 y2 b 21 的内接矩形
2、的面积最大值为 _ 解析: 设 P(x,y)为矩形的一个顶点,则 x2 a2 y2 b212 x2y2 a2b2 2|xy| ab ,所以 S 4|xy|2ab,当且仅当 x2 a2 y2 b2 1 2时等号成立 答案: 2ab 2 两点 A(3,0), B(0,4) , 动点 P(x, y)在线段 AB上运动,则 xy的最大值为 _ 2 解析: 由题意得 x 3 y 41(x0, y0)所以 1 x 3 y 4 2 xy 12 即 xy3,当且仅当 x 3 y 4 1 2时等号成立 答案: 3 3和圆 (x 3)2(y1)236 关于直线 x y0 对称的圆的方程是_ 解析: 圆心 (3,1
3、)关于直线xy0 的对称点的坐标为(1,3),半径不变,方 程为 (x 1)2(y3)2 36. 答案: (x1)2(y3) 236 4若实数x,y 满足 x2y22x0, 则 x2y2的取值范围是_ 解析: 由 y2 2xx20 得 0x2, 所以 x 2y22x0,4 答案: 0,4 5设 A(x1,y1),B 4, 9 5 ,C(x2, y2)是右焦点为F 的椭圆 x2 25 y2 9 1 上三个不 同的点,若 AF,BF,CF 成等差数列,则 x1x2_. 解析: 根据圆锥曲线的共同性质可知A,B,C 到右准线x25 4 的距离成等差数列, 则 2 25 4 4 25 4 x1 25
4、4 x2, 即 x1 x28. 答案: 8 典例 1 已知 i,j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a(x3)iyj,b(x3)iyj, 且满足 |a|b|4. 3 (1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)如果过点Q(0,m)且方向向量为c(1,1)的直线 l 与点 P 的轨迹交于A,B 两点, 当 AOB 的面积取到最大值时,求 m 的值 解(1)a(x3)iyj,b(x3)iyj,且 |a|b|4. 点 P(x,y)到点 (3,0),(3,0)的距离之和为4,故点 P 的轨迹方程为 x2 4 y21. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 依题意直线AB 的方程为
5、yxm. 代入椭圆方程,得 5x28mx4m24 0, 则 x1x2 8 5m, x1 x2 4 5(m 21) 因此,SAOB 1 2AB d 2 5 5m2m2 2 5 5 2 1. 当 5m2m2时,即 m 10 2 时,Smax1. (1)本题以向量为载体考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系及最值问题 (2)求解解析几何中的最值问题,一般要先建立目标函数,再求最值,求最值的 方法主要是配方法和利用基本不等式 演练 1 已知点 A( 2 2,0),B(2,0),动点 P 满足AP u uu r AB uuu r 2|AB uuu r | |BP u u u r |,若 动点 P
6、 的轨迹记作曲线C1. (1)求曲线 C1的方程; (2)已知曲线C1交 y 轴正半轴于点Q,过点 D 0, 2 3 作斜率为k 的直线l 交曲线 4 C1于 M、N 点,求证:无论k 如何变化,以 MN 为直径的圆过点Q. 解: (1)设 P(x,y),则有AP uuu r (x22,y), AB uuu r (2,0),BP uu u r (x2,y) AP uuu r AB uuu r 2 |AB u uu r | |BP u uu r |, 2x42 2x2 2y2. 化简得 x2 4 y2 2 1. 故曲线 C1的方程为 x 2 4 y 2 2 1. (2)证明:由 x2 4 y2
7、2 1,得 Q(0,2) 设直线 l 的方程为ykx 2 3 , 代入 x2 4 y 2 2 1 得(12k2)x24 2 3 kx 32 9 0. 设 M(x1, y1),N(x2,y2),则QM uuuu r (x1, y12),QN uuu r (x2, y22) x1x2 4 2k 3 1 2k 2, x1 x2 32 9 12k2 . QM u uu u r QN uuu r x1x2 kx14 2 3 kx24 2 3 x1x2(1 k2)4 2 3 k(x1x2) 32 9 32 9 1k2 12k2 42 3 k 42k 3 12k2 32 9 0. QM u uu u r Q
8、N uuu r . 即点 Q 在以 MN 为直径的圆上 典例 2 已知椭圆 x2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1, F2,点 M(0,2)是椭圆的一个顶 点,F1MF2是等腰直角三角形 (1)求椭圆的方程; (2)过点 M 分别作直线MA,MB 交椭圆于 A,B 两点,设两直线的斜率分别为k1, k2,且 k1k28,证明:直线AB 过定点 1 2, 2 . 解(1)因为 b2,F1MF2是等腰直角三角形,所以 c2,所以 a22, 故椭圆的方程为 x2 8 y2 4 1. (2)证明:若直线AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为ykxm,A 点坐标为 (x1, 5 y
9、1),B 点坐标为 (x2,y2), 联立方程得, x2 8 y2 4 1, ykxm, 消去 y,得 (12k2)x2 4kmx2m280, 则 x1x2 4km 12k2, x1x2 2m2 8 12k2 . 由题知 k1k2 y12 x1 y22 x2 8, 所以 kx1m2 x1 kx2m2 x2 8, 即 2k(m 2)x 1 x2 x1x2 8. 所以 k mk m2 4, 整理得 m 1 2k2. 故直线 AB 的方程为y kx 1 2k2, 即 ykx 1 2 2. 所以直线 AB 过定点 1 2, 2 . 若直线 AB 的斜率不存在,设直线 AB 的方程为 xx0, A(x0
10、,y0),B(x0, y0), 则由题知 y02 x0 y02 x0 8, 得 x0 1 2.此时直线 AB 的方程为 x 1 2, 显然直线AB 过点1 2, 2 . 综上可知,直线 AB 过定点 1 2, 2 . 6 (1)本题主要考查椭圆的标准方程,直线方程及圆锥曲线中定值问题的证明 (2)证明直线过定点时,可先用参数表示出直线方程,再根据方程的特点去证明 (3)证明函数式为定值时,一般是写出其表达式,消去参数,从而证明为定值 演练 2 如图,已知椭圆的两个焦点F1、F2在 y 轴上, 短轴长为 22,离 心率为 2 2 , 点 P 是椭圆上一点,且在第一象限内, 1 PF uuu r
11、2 PF uuuu r 1, 过 点 P 作关于直线PF1对称的两条直线 PA、PB,分别交椭圆于A、B 两点 (1)求点 P的坐标; (2)求证:直线AB 的斜率为定值 解: (1)设椭圆方程为 y2 a2 x2 b21(ab0) 因为椭圆的短轴长为22,离心率为 2 2 , 所以 2b22, c a 2 2 , 解得 a2,b2,c2, 所以椭圆的方程为 y2 4 x2 2 1. 所以 F1(0, 2),F2(0,2)设 P(x0,y0)(x00,y00),则 1 PF uuu r (x0, 2y0), 2 PF uuuu r (x0, 2 y0),所以 1 PF uuu r 2 PF u
12、uuu r x2 0(2y20)1. 又点 P(x0, y0)在椭圆上,则 x20 2 y20 4 1, 所以 x2 04y 2 0 2 ,从而 4y 2 0 2 (2y2 0)1, 7 解得 y0 2或 y02(舍去 ), 则点 P 的坐标为 (1,2) (2)证明:由 (1)知 PF1x 轴,所以直线 PA、PB 的斜率互为相反数设直线PB 的斜 率为 k,不妨令 k0, 则直线 PB 的方程为y2k(x 1), 由 y2 k x1 , x2 2 y2 4 1, 得(2k2)x22k(2k)x(2k) 240. 设 B(xB, yB),则 xB 2 k 24 2k2 k 22 2k2 2k
13、2 ,同理可得xA k22 2k2 2k2 . 所以 xAxB 4 2k 2k2 , yAyB k(xA1)k(xB1) 8k 2k2. 所以直线 AB 的斜率 kAB yA yB xA xB 2为定值 典例 3 已知中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 2 2 的椭圆 C 经过点 (6,1) (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l1、 l2分别与椭圆交于A,B 和 C,D,那 么是否存在常数 使得 AB CD AB CD?若存在,求出实数 的值;若不存在,请 说明理由 解(1)设椭圆 C 的标准方程为 x 2 a2 y 2 b21(ab0), 由离心率
14、e c a 2 2 ,c2 a2b2, 可得 a2b2 a2 1 2, 从而 a2 2b2, 故椭圆 C 的标准方程为 x2 2b2 y2 b21, 将点 (6,1)代入椭圆方程可得b24, 易知 a28,则椭圆 C 的标准方程为 x2 8 y2 4 1. (2)原问题等价于 1 AB 1 CD ( 为常数 ) 不妨取椭圆C 的右焦点 (2,0), 8 当直线 AB 的斜率存在且不为0 时, 设直线 AB 的方程为y k(x2), 将其代入椭圆方程得(12k2)x28k2x8k2 80, 设 A(x1, y1),B(x2,y2), 则 x1x2 8k2 12k2, x1x2 8k28 12k2
15、. 根据弦长公式易得 AB1k 2 x1x224x1x2 1k 2 8k2 12k2 24 8k28 12k2 4 2 1k 2 12k2 , 从而易知,CD 42 1k2 2k 2 , 所以 1 AB 1 CD 32 8 ,ABCD 3 2 8 AB CD. 当直线 AB 斜率不存在或为0 时,AB、CD 中一个是长轴的长度,另一个是通径 的长度 易得 ABCD 32 8 AB CD. 综上所述,存在常数 3 2 8 ,使得 ABCDAB CD. 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质及圆锥曲线中的探索性问题本题(2)的解法 中将等式巧妙变形,即把问题转化为弦长的计算问题,体现了化归思想的重要
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- 高考 数学 苏教版 二轮 复习 专题 15 解析几何 中的 综合 问题
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