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1、 . . . . 高考 向量 专题复习 1.向量的有关概念: ( 1)向量的定义 :既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。 ( 2)零向量 :长度为 0 的向量叫零向量,记作 :0. ( 3)单位向量 :长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。 任意向量的单位化:与AB共线的单位向量是 AB AB . ( 4)相等向量 :长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。 ( 5)平行向量又叫共线向量,记作 :ab. 向量)0 (a a与b共线 ,则有且仅有唯一一个实数,使ab; 规定 :零向量和任何向量平行; 两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合; 平行向量无传递性!( 因为
2、有0); 相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; ( 6)向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则; 2.平面向量的坐标表示及其运算: ( 1)设),( 11 yxa,),( 22 yxb,则),( 2121 yyxxba; ( 2)设),( 11 yxa,),( 22 yxb,则),( 2121 yyxxba; ( 3)设、两点的坐标分别为 11 ,x y, 22 ,x y,则AB=),( 1212 yyxx; ( 4)设),( 11 yxa,),( 22 yxb,向量平行ba/ 1221 yxyx; ( 5)设两个非零向量),( 11 yxa,),( 22 yxb,则 212
3、1 yyxxba, 所以00 2121 yyxxbaba; ( 6)若),(yxa,则 22 yxa; ( 7)定比分点 :设点P是直线 21, p p上异于 21, p p的任意一点 ,若存在一个实数,使 21 PPPP,则叫做点P分有向线段 21P P所成的比 ,P点叫做有向线段 21P P的以定 比为的定比分点 ;当P分有向线段 21P P所成的比为,则点P分有向线段 21P P所成的比 为 1 . 注 意 : 设 111 (,)P xy、 222 (,)P xy,( , )P x y分 有 向 线 段 21P P所 成 的 比 为,则 . . . . 12 12 1 1 xx x yy
4、 y , 在使用定比分点的坐标公式时,应明确( , )x y, 11 (,)xy、 22 (,)xy的意义 ,即分别为分 点 ,起点 ,终点的坐标 。在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终 点 ,并 根 据 这 些 点 确 定 对 应 的 定 比.当1时 ,就 得 到 线 段 12 P P的 中 点 公式 12 12 2 2 xx x yy y . 的符号与分点 P的位置之间的关系 : 当P点在线段 21P P上时0; 当P点在线段 21P P的延长线上时1; 当P点在线段 21P P的反向延长线上时10; 3.平面向量的数量积: ( 1) 两个向量的夹角:对于非零向量a、b,作
5、aOA,bOB,AOB 0称为向量a、b的夹角 。 ( 2) 平面向量的数量积: 如果两个非零向量a、b,它们的夹角为,我们把数量 cosba叫 做a与b的 数 量 积 ( 或 内 积 或 点 积 ) ,记 作 :ba,即 cosbaba. 零向量与任一向量的数量积是0,注意 :向量的数量积是一个实数,不再是一个向量。 ( 3)b在a上的投影为cosb,投影是一个实数,不一定大于0. ( 5)向量数量积的应用:设两个非零向量 a、b,其夹角为,则 ba ba cos, 当0baba时,为直角 ; 当0 ba时,为锐角或 ba,同向 ;注意 : 0ba是为锐角的 _条件 ; 当0ba时,为钝角或
6、ba,反向 ;注意 :0ba是为钝角的 _条件 ; ( 6)向量三角不等式:bababa . . . . 当ba,同向baba,baba; 当ba,反向baba,baba; 当ba,不共线bababa; ( 4) ba的几何意义 : 数量积ba等于a与b在a上的投影的乘积。 . . . . 4.平面向量的分解定理 ( 1)平面向量分解定理: 如果 1 e、 2 e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平 面内的任意向量a,有且只有一对实数 1、2, 使 2211 eea成立 ,我们把 不共 线的向量 1 e 、 2 e 叫做这一平面内所有向量的一组基底。 ( 2) O 为 平 面 任 意
7、一 点 ,A、 B、 C 为 平 面 另 外 三 点 ,则A、 B、 C 三 点 共 线 OCOBOA 21 且1 21 . 5.空间向量 空间向量是由平面向量拓展而来的,它是三维空间里具有大小和方向的量,它的坐标表示 有 x,y,z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似,故在学习空间向量时,可 进行类比学习。 如 ,若MP 、MA 、MB 三个向量共面,则MByMAxMP.同时 ,对于空间任意一点 O,存 在 OBOAnOMmMByMAxOMOP,其 中nm _ 例 1.下列命题 : 若? ? ? 与? ? 共线 , 则存在唯一的实数,使? ? ? = ? ? ? ; 若向量? ? ?
8、、? ? 所在的直线为异面直线 ,则向量? ? ? 、 ? ? 一定不共面 ; 向量? ? ? 、? ? 、? ? 共面 , 则它们所在直线也共面; 若A、B、C三点不共线 ,O是平面ABC外一点 ,若? ? = 1 3 ? ? + 1 3 ? ? + 1 3 ? ? ,则点M 一定在平面ABC上,且在ABC内部 ; 若 ba/ ,且 cb/ ,则 ca/ ; 若 0ba ,则它们的夹角为锐角; . . . . 其中正确的命题有_( 填序号 ) 例 2.已知向量? ? ? , ? ? ? 夹角为 ? 3, |? ? ? |=2 , 对任意xR,有|? ? ? +x? ? | | ? ? ? -
9、? ? |, 则 | t? ? ? -? ? |+| t? ? ? -? ? 2 |(tR)的最小值是 _ . . . . 例 3.如图 ,在等腰三角形ABC中,已知 |AB|=|AC|=1,A=120 ,E、F分别是AB、 AC上的点 ,且? =? ? , ? ? =? ? ? ,且 ,(0,1),且 +4 =1 , 若 线段EF、BC的中点分别为M、N,则? ? 的最小值为_ 例 4.已知平面向量 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? 满足 |? ? |= 2,|? ? ? |=1 , ? ? ? ? ? =-1 , 且? ? ? -? ? 与? ? ? -? ? 的夹角为 ? 4,
10、 则 |? ? ? |的最大值为 _ 变式训练 : 1.已知向量? ? ? =( -1, -2),? ? ? = (1, ),若? ? ? , ? ? ? 的夹角为钝角 , 则 的取值范 围是 _ 2.在ABC中,|AB|=5 ,|AC|=6 ,若B=2C,则向量? ? 在? ? 上的投影是 _ 3.如图 ,在ABC中,已知 BAC= ? 3 ,|? ? |=2 ,|? ? |=3 ,点D为边BC上一点 , 满足? ? +2? ? =3? ? ,点E是AD上一点 ,满足? ? =2? ? ,则|? ? |=_ . . . . 4.在平面四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点 ,且A
11、B=1 ,?= 2, CD = 3若? ? ? ? =15,则? ? ? ? 的值为_ 5.向量? ? ? , ? ? 的夹角为 120 , |? ? ? |=|? ? |=2 , |? ? ? |=4 , 则|? ? ? +? ? -? ? |的最大值为 _ . . . . 6.已知 O 是面 上一定点 ,A,B,C是平面 上ABC的三个顶点 ,B、C分别是 边AC、AB的对角 。以下命题正确的是_(填序号 ) 动点P满足? ? =? ? +? ? +? ? ,则ABC的外心一定在满足条件的P点集合中 ; 动点P满足? ? =? ? +( ? ? |? |+ ? ? |? | )(0),则A
12、BC的内心一定在满足条件的P点集合 中 ; 动点P满足? ? =? ? +( ? ? |? |? + ? ? |? |? )(0),则ABC的重心一定在满足条件的 P点集合中 ; 动点P满足? ? =? ? +( ? ? |?|? + ? ? |?|? )(0),则ABC的垂心一定在满足条件的 P点集合中 ; 动点P满足? ? = ? ? +? ? 2 +( ? ? |? |? + ? ? |? |? )(0),则ABC的外心一定在满足条件 的P点集合中 ; 7.已知O是锐角三角形ABC的外接圆的圆心,且A= 6 ,若 ? ? ? ? + ? ? ? ? = 2? ? , 则m=_ 8.(20
13、17 全国 )已知 ABC是边长为 2 的等边三角形,P为平面ABC内一点 ,则? ? ? (? ? +? ? ) 的最小值是 _ 9.在OMN中,点A在OM上,点B在ON上 ,且AB/MN,2OA=OM,若 ? ? =x? ? +y? ? ,则终点P落在四边形ABNM内 (含边界 ) 时, ? + ? + 2 ? +1 的取值范围为 . . . . _ 10.如图 ,在直角坐标系中,ABC 是以 (2,1)为圆心 ,1 为半径的圆的内接正三 角形 , ABC 可绕圆心旋转,M 、N分别是边AC、AB 的中点 , ONOM 的取值范围是 _ . . . . 11.如图 ,已知点P(2,0),且
14、正方形ABCD内接于 O:x2+y2=1 ,M、N分别为 边AB、BC的中点 当正方形ABCD绕圆心O旋转时 ,? ? ? ? 的取值范围为_ 12.如图 ,矩形ORTM内放置 5 个边长均为 3的小正方形 ,其中A,B,C,D在矩 形的边上 ,且E为AD的中点 ,则(? ? -? ? )? ? = _ 13.(2017 浙江 )如图 ,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3 , AC 与 BD 交于点 O,记 I1=OBOA,I2=OCOB,I3=ODOC,则() A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3 14.在坐标系xoy中,O 点坐标为
15、 (0,0),点 A(3,4),点 B(-4,3), 点 P 在 AOB 的角平分线上,且 OP 长度为25,则点 P坐标为 _ 15.( 2017浙江 ) 已知向量a, b满足1a , 2b ,则 abab 的最小值 是,最大值是 16.如图 ,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上,边 B3C3上有 10 个不同的 . . . . 点 P1,P2,P10,记 i m=)10, 3, 2, 1( 2 iAPAB i ,则m1+m2+ +m10的值为 _ 17.已知向量、满足 |=1 ,|=2 ,若对任意单位向量,均有 |? |+|? |, 则当取最小值时 ,向量与的夹角为 _(用反三角表示) 18.正十二边形A1A2A12内接于半径为1 的圆 ,从、这 12 个向量中任取两个,记它们的数量积为S,则 S 的最大值等于 _ 19.已知正方体ABCD-EFGH的棱长为 1,若P点在正方体的内部且满足? ? = 3 4 ? ? + 1 2 ? ? + 2 3 ? ? ,则P点到直线AB的距离为 _ 20.已知OA= (1,2,3),OB= (2,1,2),OP=(1,1,2), 点 Q 在直线 OP 上运动 ,则当 QBQA 取得最小值时,点 Q 的坐标为 _
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