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1、1 / 18 2020年 2 月普通高考【山东卷】全真模拟卷(2) 数学 (考试时间:120 分钟试卷满分: 150 分) 注意事项: 1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4测试范围:高中全部内容。 一、单项选择题:本题共8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 1已知复数 2 1 i z i
2、 ,则 z 在复平面对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】 B 【解析】 由题意得 2 1 222 1 1112 ii ii zi iii ,所以复数 z 对应的点的坐标为1,1,位 于第二象限故选B 2已知集合 2 1 | 4 Ax y x ,| 23,BxxxZ,则ABI中元素的个数为 A2B 3C4D5 【答案】 B 【解析】因为 2 1 |2 4 Ax yx x x , | 23, 2, 1,0,1,2BxxxZ , 所以 1,0,1AB ,所以ABI中元素的个数为3故选 B 3某单位去年的开支分布的折线图如图1 所示,在这一年中的水、电、交通开支(单位
3、:万元)如图 2 所示,则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为 A %25. 6 B %5. 7 C %25.10 D %25.31 2 / 18 【答案】 A 【解析】水费开支占总开支的百分比为%25.6%20 100450250 250 故选 A 4函数 2 2 ( )1 1 x f x x 在区间4,4附近的图象大致形状是 AB CD 【答案】 B 【解析】 2 2 ( )1 1 x f x x 过点1 0,可排除选项A,D又20f,排除 C故选 B 5已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为1F,2F,点 P 是 C 的右支上一点,连 接 1 P
4、F与 y 轴交于点 M, 若 1 2|FOOM(O 为坐标原点), 12 PFPF ,则双曲线C 的渐近线方 程为 A 3yx B 3yx C 2yx D 2yx 【答案】 C 【解析】设 1( ,0)Fc, 2( ,0) F c,由 1 2 |FOOM, 1 OMF与 2 PF F相似,所以 11 2 2 | PFF POMF O ,即 12 2PFPF,又因为 12 2PFPFa,所以 1 4PFa, 2 2PFa, 3 / 18 所以 222 4164caa,即 22 5ca, 22 4ba,所以双曲线 C 的渐近线方程为 2yx故选 C 6在正四棱锥中,已知异面直线与所成的角为,给出下
5、面三个命题: :若,则此四棱锥的侧面积为; :若分别为的中点,则平面; :若都在球的表面上,则球的表面积是四边形面积的倍 在下列命题中,为真命题的是 A B C D 【答案】 A 【解析】因为异面直线与所成的角为,AD 平行于 BC,故角 PBC=,正四棱锥 中,PB=PC,故三角形PBC 是等边三角形;当AB=2 ,此四棱锥的侧面积为,故 是假命题; 取 BC 的中点 G,分别为的中点故得,故平面 EFG/平面 PAB,从 而得到 EF/平面 PAB,故是真命题; 设 AB=a ,AC 和 BD 的交点为O,则 PO 垂直于地面ABCD ,PA,AO,PO O 为球心,球的半径为,表面积为,
6、又正方形的面积为,故为真 故为真;均为假故选 A 7图 1 是我国古代数学家赵爽创制的一幅“ 勾股圆方图 ” 又称 “ 赵爽弦图 ” ,它是由四个全等的直角三角 形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,受其启发,某同学设计了一个图形,它是由三个全 等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形,如图 2 所示,若, 则 在整个图形中随机取点,此点来自中间一个小正三角形阴影部分的概率为 PABCDPBAD 0 60 1 p 2AB44 3 2 p,E F,PC AD / /EFPAB 3 p,P A B C D OOABCD2 23 pp 12 ()pp 13 pp 23 ()pp PB
7、AD6060 -ABCDP4 3 1 p ,E F,PC AD/ /,/ /ABFG PBEG 2 p 2 2 a 2 a3 p 23 pp 12 pp 13 pp 23 pp () 5AD3BD () 4 / 18 ABCD 【答案】 B 【解析】, 在中,可得, 即为,解得, 故选 B 8已知抛物线的焦点为 是抛物线的准线上一点,且的纵坐标为正数,是直线 与抛物线的一个交点,若,则直线的方程为 A B C D 【答案】 D 【解析】 作轴于,则根据抛物线的定义有又,故, 故故,故直线的倾斜角为 故直线的斜率为直线的方程为,化简得 故选 D 二、多项选择题:本题共4 小题,每小题 5 分,共
8、 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求全部选对的得5 分,部分选对的得3 分,有选错的得0 分。 9 64 4 49 2 25 2 7 18060120ADBQABDV 222 2cosABADBDAD BDADB 2221 5325 349 2 AB7AB 2DEADBDQ 224 ( ) 749 DEF ABC S S V V 2 :4Cyx,F PCPQ PFC2PQQF u uu ru uu r PF 330xy10xy 10xy330xy QMy M QMQF 2PQQF uuu ru uu r 2PQQM 1 cos 2 MQ PQM PQ 3 PQMPF 2 3 P
9、F3PF 31yx330xy 5 / 18 9 在平面直角坐标系xOy中,角顶点在原点O, 以x正半轴为始边,终边经过点1,0Pmm, 则下列各式的值恒大于0 的是 A sin tan Bcos sin Csin cos Dsin cos+ 【答案】 AB 【解析】由题意知 sin0,cos0,tan0 选项 A sin 0 tan ; 选项 B, cossin0; 选项 C, sincos0; 选项 D, sincos+ 符号不确定故选AB 10对于实数a、b、c,下列命题中正确的是 A若 ab,则acbc;B若0ab,则 22 aabb C若 0cab,则 ab cacb D若 a b ,
10、 11 ab ,则0a,0b 【答案】 BCD 【解析】若0c,则由 ab 得acbc,A 错; 若0ab,则 2 aab, 2 abb 22 aabb,B 正确; 若0cab,则 0cbca , 11 0 cacb , ab cacb ,C 正确; 若 ab,且,a b同号时,则有 11 ab ,因此由 11 ,ab ab 得 0,0ab ,D 正确 故选 BCD 11下列说法错误的有 A随机事件A 发生的概率是频率的稳定值, 频率是概率的近似值 B在同一次试验中,不同的基本事件不可能同时发生 C任意事件A 发生的概率P A满足01P A D若事件A 发生的概率趋近于0,则事件 A 是不可能
11、事件 【答案】 CD 【解析】 随机事件A 发生的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值,A 中说法正确; 基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的, 在同一次试验中,不同的基本事件不可能同时发生, B 中说法正确; 6 / 18 必然事件发生的概率为 1, 不可能事件发生的概率为 0, 随机事件发生的概率大于0 且小于 1任意 事件 A 发生的概率P(A)满足01P AC 中说法错误; 若事件 A 发生的概率趋近于0,则事件 A 是小概率事件,但不是不可能事件,D 中说法错误 故选 CD 12在平面直角坐标系中,曲线C上任意点 P与两个定点 2,0A和点2,0B连线的斜率之和等于2, 则关于
12、曲线C的结论正确的有() A曲线C是轴对称图形 B曲线C上所有的点都在圆 22 2xy外 C曲线C是中心对称图形 D曲线C上所有点的横坐标 x满足2x 【答案】 BC 【解析】设点( ,),2,2 22 PAPB yy P x yxkk xx ,得 2 4,0xyxx不满足方程, 4 (2)yxx x 图像如下图所示: 曲线对应的函数是奇函数,图像关于原点对称,无对称轴, 选项 C 正确,选项 A 不正确; 222 2 16 288282xyx x ,选项 B 正确; 当1x时,3y则选项 D 不正确故选 BC 三、填空题:本题共4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13在, ,三个数中,则
13、最大的数为_ 【答案】 2 log 0.2 0.2 2 0.3 0.2 0.2 2 7 / 18 【解析】, , ,最大 14 已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上, , 则球 O 的表面积为 _ 【答案】 【解析】如图所示,将三棱锥补成长方体, 球为长方体的外接球,边长分别为, 则, 所以, 所以, 则球的表面积为 15在数列 n a中, 1 1a, 2 11 n nn aa,记n S是数列 n a的前 n项和,则 40 S=_ 【答案】 220 【解析】当是n奇数时, 2 1 nn aa,数列 n a中奇数项构成等差数列,当n是偶数时, 2 1 nn aa , 4013539
14、24640 ()()SaaaaaaaaLL 1 20 19 20110220 2 a 16如下图中、六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色,每个区域只染一 种颜色,且相邻的区域不同色若有种颜色可供选择,则共有 _种不同的染色方案 22 log 0.2log 10Q 2 log 0.20 0.20 221Q 0.2 21 0.30 00.20.21Q 0.3 00.21 0.2 2 5,PABC13,PBAC 2 5PCAB 29 PABC O a b c 22 22 22 25 13 20 ab ac bc 222 29abc 29 2 R O 2 4SR 2 29 4 2 29 ABCDEF
15、 4 8 / 18 【答案】 【解析】要完成给出的图形中、六个区域进行染色, 染色方法分为两类,第一类是仅用三种颜色染色, 即同色,同色,同色,即从四种颜色中取三种颜色,有种取法,三种颜色 染三个区域有种染法,共种染法; 第二类是用四种颜色染色,即、三组中有一组不同色,则有种方案(不同色或 不同色或不同色), 先从四种颜色中取两种染同色区域有种染法,剩余两种染在不同色区域有种染法, 共有种染法 由分类加法原理可得总的染色方法种数为(种) 16为了解某地区的“ 微信健步走 ” 活动情况, 现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进 行问卷调查已知抽取的样本同时满足以下三个条件: (i)
16、老年人的人数多于中年人的人数; (ii )中年人的人数多于青年人的人数; (iii )青年人的人数的两倍多于老年人的人数 若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为_ 抽取的总人数的最小值为_ 【答案】 6 12 【解析】设老年人、中年人、青年人的人数分别为 ,则,则的最大值为 96 AB C DEF AFBDCE 3 4 4C 3 3 6A 4 624 AFBD CE3 AFBD CE 2 4 12A 2 3 12272 247296 , ,x y z 4z 8x xy y 6 9 / 18 由题意可得,得, 解得 当时 取最小值 故答案为 : 四、解答题:本题共6 小题,共 70 分解答
17、应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)在函数 1 sin 20, 22 fxx的图象向右平移 12 个单位长度得到g x的 图象, g x 图象关于原点对称; 向量 3sin,cos 2mxx u r , 11 cos,0, 24 nxfxm n ru r r ;函数 1 cossin 64 fxxx0这三个条件中任 选一个,补充在下面问题中,并解答已知 _,函数fx的图象相邻两条对称轴之间的距 离为 2 (1)若0 2 ,且 2 sin 2 ,求f的值; (2)求函数fx在0,2上的单调递减区间 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 【解析】方案一:选条件 由题意可
18、知, 2 2 T, 1 1 sin 2 2 fxx, 1 sin 2 26 g xx, 又函数g x图象关于原点对称,, 6 kkZ, 2 Q, 6 , 1 sin 2 26 fxx, 2 xy yz zx 2zxyz, ,x y zN 22zz2z 3,4,5zyx xyz 12 612 10 / 18 (1) 2 0,sin 22 Q , 4 , 4 ff 12 sin 23 3 4 ; (2)由 3 222, 262 kxkkZ,得 2 , 63 kxkkZ, 令 0k ,得 2 63 x,令 1k ,得 75 63 x, 函数fx在0,2上的单调递减区间为 275 , 6 363 方案
19、二:选条件 11 3sin,cos2,cos, 24 mxxnx u rr Q, fxm n u r r 31 sincoscos2 24 xxx 131 sin 2cos2 222 xx 1 sin 2 26 x,又 2 2 T, 1, 1 sin 2 26 fxx, (1) 2 0,sin 22 Q, 4 , 4 ff 12 sin 23 3 4 ; (2)由 3 222, 262 kxkkZ,得 2 , 63 kxkkZ, 令0k,得 2 63 x,令 1k,得 75 63 x, 函数fx在0,2上的单调递减区间为 275 , 6 363 方案三:选条件 1 cossin 64 fxxx
20、 1 cossincoscossin 664 xxx 2 311 sincoscos 224 xxx 31 sin2cos2 44 xx 131 sin2cos2 222 xx 1 sin 2 26 x, 又 2 2 T, 1, 1 sin 2 26 fxx, 11 / 18 (1) 2 0,sin 22 Q , 4 , 4 ff 12 sin 23 3 4 ; (2)由 3 222, 262 kxkkZ,得 2 , 63 kxkkZ, 令 0k ,得 2 63 x,令 1k ,得 75 63 x 函数fx在0,2上的单调递减区间为 275 , 6 363 18 (12 分)已知数列满足,且
21、(1)证明数列是等差数列,并求数列的通项公式 (2)若 ,求数列的前项和 【解析】 (1)因为,两边都加上,得 所以,即, 所以数列是以为公差,首项为的等差数列 所以,即 (2)因为 ,所以数列的前项和, 则, 由,得, 所以 19 (12 分)如图,三棱锥 D-ABC 中,E,F 分别为 DB,AB 的中点,且 n a 1 1a 1 1 3 n n n a a a 1 1 n a na 2 1 n n n b a n b n n S 1 1 3 n n n a a a 11 21 1 3 n n n a a a 1 11211 1 12121 nnn aaa 1 111 112 nn aa
22、1 1 n a 1 21 11 12a 1 12 n n a 1 2 n n a 1 2 2 1 n n n n bn a n b n 121 1 12232.2 n n Sn 123 21 22232.2 n n Sn 121 1 1 1 21 21 22121 nnn n Snn- 1 21 n n Sn 2,ABAC2 3,BC3DBDC 90EFC 12 / 18 (1)求证:平面平面 ABC; (2)求二面角D-CE-F 的余弦值 【解析】(1)如图取的中点,连接, 因为,所以, 因为,所以, 又因为,所以平面, 平面 所以 因为,分别为,的中点,所以 因为,即, 则 又因为, 所以
23、平面, 又因为平面 DAB, 所以平面平面 (2)因为平面,则以为坐标原点, 过点与垂直的直线为轴,为轴,AD 为轴, 建立如下图所示的空间直角坐标系 DAB BCGAGDG 2ABACBCAG DBDCBCDG AGDGGIBC DAG DADAG BCDA EFDBABDAEF 90EFC EFCF DACF BCCFCI DAABC DA DABABC DAABCA AAC x AC yz 13 / 18 因为, 在中,所以 在中, 所以点, 设平面的法向量为 所以,即, 可取 设平面的法向量为 所以,即,可取, 则 2,ABAC2 3,BC3DBDC ABC 222 cos 2 ABA
24、CBC BAC AB AC 4412 222 1 2 120BAC Rt DAB 22 32DA 5 (0,0,0)A (0,0,5),D(0,2,0),C( 3,1,0)B 315 , 222 E 31 ,0 22 F DCE 1111 ,nx y z u r (0,2,5),DC uu ur 315 , 222 DE u uu r 1 1 0 0 DC n DE n uu u v u v uu u v u v 11 111 250 315 0 222 yz xyz 1 ( 15,5,2)n u r FCE2222,nxyz u u r 3 5 ,0, 22 FC uu u r 5 0,0,
25、 2 FE uuu r 2 2 0 0 FC n FE n uu u v u u v uu u v u u v 22 2 35 0 22 5 0 2 xy z 2 (5, 3,0)n u u r 12 222 22 1555320 cos, 155253 n n u r uu r 3 70 28 14 / 18 因为二面角为钝二面角,所以二面角的余弦值为 20 (12 分)椭圆 的焦点是,且过点 (1)求椭圆的标准方程; (2)过左焦点的直线与椭圆相交于、两点,为坐标原点 问椭圆上是否存在点,使 线段和线段相互平分?若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由 【解析】(1)由题意知,解得:,椭圆
26、的 标准方程:; (2)由( 1)知,假设存在点,使线段和线段相互平分,由题意知 直线的斜率不为零,设直线的方程为:,设, 联立与椭圆的方程整理得:, 所以的中点坐标, 由题意知,而在椭圆上,所以,解得:,所 以, 所以存在点使线段和线段相互平分,且的坐标 22 (12 分)已知函数, (1)当时,求函数的单调区间及极值; (2)讨论函数的零点个数 【解析】由题得,函数的定义域为 (1)当时,所以, 当时,函数单调递增; 当时,函数单调递减, DCEFDCEF 3 70 28 22 22 :1(0) xy Cab ab 1( 1,0) F 2(1,0) F 2 (1,) 2 A C 1 F l
27、CBDOCP BDOPP 1c 22 11 1 2ab 222 abc 2 2a 2 1b C 2 2 1 2 x y 1( 1,0) F 0 (P x 0) y BDOP ll 1xmy( , )D x y(,)B x y 22 (2)210mymy 2 2 2 m yy m 2 4 ()2 2 xxm yy m BD 2 2 ( 2m 2) 2 m m 2 4 ( 2 P m 2 2 ) 2 m m P 2 2222 84 1 (2)(2) m mm 2 2m 2 (1,) 2 P PBDOPP 2 ( 1,) 2 2 ( )ln1f xxmxmR 2m ( )f x ( )f x ( )
28、f x(0,) 2m 2 ( )ln21f xxx 1(12 )(12 ) ( )4 xx fxx xx 1 0, 2 x( )0fx( )f x 1 , 2 x( )0fx( )f x 15 / 18 所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为 所以当时,有极大值,且极大值为,无极小值 (2)由,得 当时,恒成立,函数单调递增, 当时, 又,所以函数有且只有一个零点; 当时,令, 当时,函数单调递增; 当时,函数单调递减, 所以的极大值为, 当,即得时, 解得,此时函数没有零点; 当,即时,函数有 1 个零点; 当,即时, 当时,令, 则在上恒成立, 所以,即, ( )f x 1 0, 2 1
29、 , 2 1 2 x ( )f x 2 1111 ln21ln 2 2222 f 2 ( )ln1f xxmx 2 112 ( )2 mx fxmx xx 0m( )0fx ( )f x 1 0 m xe 2 11 ( )110 mm f xfemm e (1)10fm( )f x 0m 1 ( )0 2 fxx m 1 0, 2 x m ( )0fx( )f x 1 , 2 x m ( )0fx( )f x ( )f x 2 111111 ln1ln 222222 fm mmmm 111 ln0 222m 11 ln1ln 2me 2 e m ( )f x 111 ln0 222m2 e m
30、 ( )f x 111 ln0 222m 0 2 e m 244 2110fememe 1x ( )lng x =x-x 1 ( )10g x x (1,) ( )(1)1g xg ln1xx 16 / 18 所以, 故当且时, 当时,有,所以函数有 2 个零点 综上所述:当时,函数没有零点;当或时函数有 1 个零点;当 时,函数有 2个零点 21 (12 分)某公司为提高市场销售业绩,设计了一套产品促销方案,并在某地区部分营销网点进行试 点运作一年后,对“ 采取促销 ” 和“ 没有采取促销” 的营销网点各选了50 个,对比上一年度的销售情况, 分别统计了它们的年销售总额,并按年销售总额增长的
31、百分点分成5 组:, ,分别统计后制成如图所示的频率分布直方图,并规定年销售总额增长10 个百分 点及以上的营销网点为“ 精英店 ” “ 采用促销 ” 的销售网点 “ 不采用促销 ” 的销售网点 (1)请根据题中信息填充下面的列联表,并判断是否有的把握认为 “ 精英店与采促销活动有关” ; 采用促销无促销合计 精英店 非精英店 合计5050100 (2)某“ 精英店 ” 为了创造更大的利润,通过分析上一年度的售价(单位:元)和日销量(单位:件) ()的一组数据后决定选择作为回归模型进行拟合具体数据如下表,表中的 22 1 ( )ln1f xxmxxmxmxx+ m 1x 1 x m ( )0f
32、 x 0 2 e m 2 11 2 e mm ( )f x 2 e m( )f x0m 2 e m( )f x 0 2 e m ( )f x 5,0)0,5)5,10) 10,15)15,20 99% i x i y 1,2,10iL 2 yabx 17 / 18 45 839552413546216 根据上表数据计算,的值; 已知该公司产品的成本为10 元/件,促销费用平均5 元/件,根据所求出的回归模型,分析售价定 为多少时日利润可以达到最大 附: 0100005000100 001 27063841663510828 附:对应一组数据, 其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为, 【
33、解析】(1) 采用促销无促销合计 精英店352055 非精英店153045 合计5050100 因为, 有的把握认为 “ 精英店与促销活动有关” (2)由公式可得:, 2 ii wx x y w 10 2 1 i i xx 10 2 1 i i ww 10 1 ii i xxyy 10 1 ii i wwyy 2.3-7.2 a b x z 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 P kk k 112233 , nn u vu vu vu v vu 10 1 10 2 1 ? ii i i i vvuu uu ? ? vu 2 2100(1050300) 9.096.635 50505545 K 99% 7.21 21.63 b 1 395.52413.51200 3 aybw 18 / 18 所以回归方程为 若售价为,单件利润为,日销售为, 故日利润, 当时,单调递增; 当时,单调递减 故当售价元时,日利润达到最大为元 2 1 ?1200 3 yx x 15x 2 1 ?1200 3 yx 21 1200 (15) 3 zxx(30)(40)zxx (0,40)x 2 1 1200 (15) 3 zxx (40,)x 21 1200 (15) 3 zxx 40x 50000 3
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