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1、全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷(理科)(一) 一、选择题:本大题共12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合 A=x| 2x0 ,B= x| () x1 ,则( ) AAB=x| 0x2BAB= x| x0CAB= x| x2DAB=R 2 (5 分)已知 i 为虚数单位, a 为实数,复数 z满足 z+3i=a+ai,若复数 z 是纯虚 数,则() Aa=3 Ba=0 C a0 Da0 3 (5 分)我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理,该图中用勾(a)和股(b) 分别表示直角三角形的两条直角边,用弦(c)
2、表示斜边,现已知该图中勾为3, 股为 4,若从图中随机取一点,则此点不落在中间小正方形中的概率是() ABC D 4 (5 分)已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 S9=6 ,则 tan a5=() ABC D 5 (5 分)已知函数 f(x)=x+(aR) ,则下列结论正确的是() A? aR ,f(x)在区间( 0,+)内单调递增 B? aR,f(x)在区间( 0,+)内单调递减 C? aR ,f(x)是偶函数 D? aR,f(x)是奇函数,且 f(x)在区间( 0,+)内单调递增 6 (5 分) (1+x) (2x) 4 的展开式中 x 项的系数为() A16 B16 C48
3、 D48 7 (5 分)如图是某个几何体的三视图,则这个几何体的表面积是() A +4+4 B2 +4+4 C 2 +4+2 D2 +2+4 8 (5 分)若 a1,0cb1,则下列不等式不正确的是() Alog2018alog2018b Blogbalogca C (ac)a c(ac)ab D (cb)a c(cb)ab 9 (5 分)执行如图所示的程序框图,若输出的n 值为 11,则判断框中的条件可 以是() AS1022?BS2018?C S 4095?DS4095? 10 (5 分)已知函数f(x)=2sin(x+ ) ( 0,| | )的部分图象如图 所示,将函数 f(x)的图象向
4、左平移个单位长度后,所得图象与函数y=g(x) 的图象重合,则() Ag(x)=2sin(2x+)Bg(x)=2sin(2x+)C g ( x ) =2sin2x Dg(x)=2sin(2x) 11 (5 分)已知抛物线 C:y 2=4x的焦点为 F,过点 F作斜率为 1 的直线 l 交抛物 线 C与 P、Q两点,则+的值为() ABC 1 D2 12 (5 分)已知数列 an 中,a1=2,n(an+1an)=an+1,nN * ,若对于任意的 a 2,2 ,nN*,不等式2t2+at1 恒成立,则实数t 的取值范围为 () A (, 2 2,+)B (, 2 1,+)C (,1 2,+)D
5、 2,2 二、填空题(每题5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13 (5 分)已知向量=(1, ) , =(3,1) ,若向量 2 与 =(1,2)共线, 则向量在向量方向上的投影为 14 (5 分)若实数 x,y 满足,则 z=x3y+1 的最大值是 15 (5 分)过双曲线=1(a0,b0)的下焦点 F1作 y 轴的垂线,交 双曲线于 A,B 两点,若以 AB为直径的圆恰好过其上焦点F2,则双曲线的离心 率为 16 (5 分)一底面为正方形的长方体各棱长之和为24,则当该长方体体积最大 时,其外接球的体积为 三、解答题(本大题共5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程
6、或演算 步骤.) 17 (12 分)如图,在 ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若 2acosA=bcosC +ccosB (1)求角 A 的大小; (2)若点 D 在边 AC上,且 BD是ABC的平分线, AB=2,BC=4 ,求 AD的长 18(12 分) 如图, 在三棱柱 ABC A1B1C1中, 侧棱 CC1地面 ABC , 且 CC1=2AC=2BC , AC BC ,D是 AB的中点,点 M 在侧棱 CC1上运动 (1)当 M 是棱 CC1的中点时,求证: CD平面 MAB1; (2)当直线 AM 与平面 ABC所成的角的正切值为时,求二面角AMB1C1 的余弦值
7、 19 (12 分)第一届 “ 一带一路 ” 国际合作高峰论坛于2017 年 5 月 14 日至 15 日 在北京举行,这是2017 年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具 有重要意义某高中政教处为了调查学生对“ 一带一路 ” 的关注情况,在全校组织 了“ 一带一路知多少 ” 的知识问卷测试,并从中随机抽取了12 份问卷,得到其测 试成绩(百分制),如茎叶图所示 (1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000 名学生,试估计该校测试成 绩在 70 分以上的人数; (2)从所抽取的 70 分以上的学生中再随机选取1 人 记 X表示选取 4 人的成绩的平均数,求P(X87) ; 记
8、表示测试成绩在80 分以上的人数,求 的分布和数学期望 20 (12 分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,离心 率为,点 P在椭圆 C上,且 PF1F2的面积的最大值为2 (1)求椭圆 C的方程; (2)已知直线 l:y=kx+2(k0)与椭圆 C交于不同的两点M,N,若在 x 轴上 存在点 G,使得 | GM| =| GN| ,求点 G 的横坐标的取值范围 21 (12 分)设函数 f(x)=e x2aln(x+a) ,aR,e 为自然对数的底数 (1)若 a0,且函数 f(x)在区间 0,+)内单调递增,求实数a 的取值范 围; (2)若 0a,试判断函数 f(x)的
9、零点个数 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 选 修 4-4:坐标系与参数方程 22 (10 分)已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆 C 的方程为+=1,以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线l 的极 坐标方程为 sin ( +)=3 (1)求直线 l 的直角坐标方程和椭圆C的参数方程; (2)设 M(x,y)为椭圆 C上任意一点,求 | 2x+y1| 的最大值 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)=| x2| (1)求不等式 f(x)+f(2+x)4 的解集; (2)若 g(x)=f(x)f(2x)的最
10、大值为 m,对任意不相等的正实数a,b, 证明: af(b)+bf(a)m| ab| 2018 年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷(理科) (一) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合 A=x| 2x0 ,B= x| () x1 ,则( ) AAB=x| 0x2BAB= x| x0CAB= x| x2DAB=R 【解答】 解:集合 A=x| 2x0 = x| x2, B=x| () x1= x| x0 , 则 AB= x| 0x2, AB=R 故选: D 2 (5
11、分)已知 i 为虚数单位, a 为实数,复数 z满足 z+3i=a+ai,若复数 z 是纯虚 数,则() Aa=3 Ba=0 C a0 Da0 【解答】 解:由 z+3i=a+ai, 得 z=a+(a3)i, 又复数 z 是纯虚数, ,解得 a=0 故选: B 3 (5 分)我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理,该图中用勾(a)和股(b) 分别表示直角三角形的两条直角边,用弦(c)表示斜边,现已知该图中勾为3, 股为 4,若从图中随机取一点,则此点不落在中间小正方形中的概率是() ABC D 【解答】 解:设直角三角形的长直角边为a=4,短直角边为 b=3, 由题意 c=5,大方形的边长为a+
12、b=3+4=7,小方形的边长为c=5, 则大正方形的面积为49,小正方形的面积为25, 满足题意的概率值为:1= 故选: B 4 (5 分)已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 S9=6 ,则 tan a5=() ABC D 【解答】 解:由等差数列的性质可得:S9=6=9a5, a5= 则 tan a5=tan= 故选: C 5 (5 分)已知函数 f(x)=x+(aR) ,则下列结论正确的是() A? aR ,f(x)在区间( 0,+)内单调递增 B? aR,f(x)在区间( 0,+)内单调递减 C? aR ,f(x)是偶函数 D? aR,f(x)是奇函数,且 f(x)在区间(
13、0,+)内单调递增 【解答】 解:当 a0 时,函数 f(x)=x+在区间( 0,+)内单调递增, 当 a0 时,函数 f(x)=x+ 在区间( 0, 上单调递减,在 ,+)内单 调递增, 故 A,B 均错误, ? aR,f(x)=f(x)均成立,故 f(x)是奇函数, 故 C错误, 故选: D 6 (5 分) (1+x) (2x) 4 的展开式中 x 项的系数为() A16 B16 C48 D48 【解答】 解:( 2x) 4 展开式的通项公式为Tr+1=?24 r(x)r, (1+x) (2x) 4 的展开式中 x 项的系数为?23+24=16, 故选: A 7 (5 分)如图是某个几何体
14、的三视图,则这个几何体的表面积是() A +4+4 B2 +4+4 C 2 +4+2 D2 +2+4 【解答】 解:由三视图可知:该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体 其直观图如下所示: 其 表 面 积S=2?1 2+2 2 1+ 2 1=2 +4+4, 故选: B 8 (5 分)若 a1,0cb1,则下列不等式不正确的是() Alog2018alog2018b Blogbalogca C (ac)ac(ac)abD (cb)ac(cb)ab 【解答】解:根据对数函数的单调性可得log2018alog2018b 正确,logbalogca 正 确, a1,0cb1, a cab,ac0,
15、(ac)a c(ac)ab,故 C不正确, cb0, (cb)a c(cb)ab 正确, 故选: C 9 (5 分)执行如图所示的程序框图,若输出的n 值为 11,则判断框中的条件可 以是() AS1022?BS2018?C S 4095?DS4095? 【解答】 解:第 1 次执行循环体, S=3 ,应不满足输出的条件, n=2, 第 2 次执行循环体, S=7 ,应不满足输出的条件, n=3, 第 3 次执行循环体, S=15 ,应不满足输出的条件, n=4, 第 4 次执行循环体, S=31 ,应不满足输出的条件, n=5, 第 5 次执行循环体, S=63 ,应不满足输出的条件, n=
16、6, 第 6 次执行循环体, S=127 ,应不满足输出的条件,n=7, 第 7 次执行循环体, S=255 ,应不满足输出的条件,n=8, 第 8 次执行循环体, S=511 ,应不满足输出的条件,n=9, 第 9 次执行循环体, S=1023 ,应不满足输出的条件, n=10, 第 10 次执行循环体, S=2047 ,应不满足输出的条件, n=11 第 11 次执行循环体, S=4095 ,应满足输出的条件, 故判断框中的条件可以是S4095?, 故选: C 10 (5 分)已知函数f(x)=2sin(x+ ) ( 0,| | )的部分图象如图 所示,将函数 f(x)的图象向左平移个单位
17、长度后,所得图象与函数y=g(x) 的图象重合,则() Ag(x)=2sin(2x+)Bg(x)=2sin(2x+)C g ( x ) =2sin2x Dg(x)=2sin(2x) 【解答】 解:根据函数 f(x)=2sin(x + ) ( 0,| | )的部分图象,可 得=+,=2 , 根据+=2? ()+=0 ,=,故 f(x)=2sin(2x+) 将函数 f(x)的图象向左平移个单位长度后,所得图象与函数y=g(x)的图 象重合, 故 g(x)=2sin(2x+)=2sin(2x+) 故选: A 11 (5 分)已知抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,过点 F作斜率为 1 的直线 l 交
18、抛物 线 C与 P、Q两点,则+的值为() ABC 1 D2 【解答】 解:抛物线 C:y2=4x的焦点为 F(1,0) ,过点 F作斜率为 1 的直线 l: y=x1, 可得, 消去 y 可得: x26x+1=0,可得 xP+xQ=6,xPxQ=1, | PF | =xP+1,| QF| =xQ+1, | PF | QF| =xQ+xP+xPxQ+1=6+1+1=8, 则+=1 故选: C 12 (5 分)已知数列 an 中,a1=2,n(an+1an)=an+1,nN*,若对于任意的 a 2,2 ,nN *,不等式 2t2+at1 恒成立,则实数t 的取值范围为 () A (, 2 2,+
19、)B (, 2 1,+)C (,1 2,+)D 2,2 【解答】 解:根据题意,数列 an 中,n(an+1an)=an+1, 即 nan+1(n+1)an=1, 则有=, 则有=()+()+()+ +(a2a1)+a1 =()+()+()+ +(1)+2=33, 2t 2+at1 即 3 2t2+at1, 对于任意的 a 2,2 ,nN*,不等式2t2+at1 恒成立, 2t2+at13, 化为: 2t2+at40, 设 f(a)=2t2+at4,a 2,2 , 可得 f(2)0 且 f(2)0, 即有即, 可得 t2 或 t2, 则实数 t 的取值范围是(,2 2,+) 故选: A 二、填
20、空题(每题5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13 (5 分)已知向量=(1, ) , =(3,1) ,若向量 2 与 =(1,2)共线, 则向量在向量方向上的投影为0 【解答】 解:向量=(1, ) , =(3,1) , 向量 2 =(1,2 1) , 向量 2 与 =(1,2)共线, 2 1=2,即 = 向量=(1,) , 向量在向量方向上的投影为 | ?cos , =0 故答案为: 0 14 (5 分)若实数 x,y 满足,则 z=x3y+1 的最大值是 【解答】 解:实数 x,y 满足,对应的可行域如图:线段AB,z=x3y+1 化为: y=,如果 z 最大,则直线 y=在
21、y 轴上的截距最小, 作直线 l:y=, 平移直线 y=至 B点时, z=x3y+1 取得最大值,联立, 解得 B(,) 所以 z=x3y+1 的最大值是: 故答案为: 15 (5 分)过双曲线=1(a0,b0)的下焦点 F1作 y 轴的垂线,交 双曲线于 A,B 两点,若以 AB为直径的圆恰好过其上焦点F2,则双曲线的离心 率为 【解答】 解:过双曲线=1(a0,b0)的下焦点 F1作 y 轴的垂线, 交双曲线于 A,B 两点,则 | AB| =, 以 AB为直径的圆恰好过其上焦点F2, 可得:,c 2a22ac=0,可得 e22e1=0, 解得 e=1+,e=1舍去 故答案为: 1+ 16
22、 (5 分)一底面为正方形的长方体各棱长之和为24,则当该长方体体积最大 时,其外接球的体积为4 【解答】 解:设该项长方体底面边长为x 米, 由题意知其高是:=62x, (0x3) 则长方体的体积 V(x)=x 2(62x) , (0x3) , V (x)=12x6x2=6x(2x) , 由 V (x)=0,得 x=2,且当 0x2 时,V (x)0,V(x)单调递增; 当 2x3 时,V (x)0,V(x)单调递减 体积函数 V(x)在 x=2处取得唯一的极大值,即为最大值, 此时长方体的高为62x=2, 其外接球的直径2R=2,R=, 其外接球的体积V=4 故答案为: 4 三、解答题(本
23、大题共5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17 (12 分)如图,在 ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若 2acosA=bcosC +ccosB (1)求角 A 的大小; (2)若点 D 在边 AC上,且 BD是ABC的平分线, AB=2,BC=4 ,求 AD的长 【解答】 解: (1)2acosA=bcosC +ccosB , 2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin (B+C)=sinA, sinA0,cosA= , A= (2)在 ABC中,由余弦定理的 cosA=, 解得 AC=1 +或 AC=1 (舍) BD
24、是ABC的平分线, =, AD= AC= 18(12 分) 如图, 在三棱柱 ABC A1B1C1中, 侧棱 CC1地面 ABC , 且 CC1=2AC=2BC , AC BC ,D是 AB的中点,点 M 在侧棱 CC 1上运动 (1)当 M 是棱 CC1的中点时,求证: CD平面 MAB1; (2)当直线 AM 与平面 ABC所成的角的正切值为时,求二面角AMB1C1 的余弦值 【解答】 证明: (1)取线段 AB的中点 E,连接 DE,EM AD=DB ,AE=EB ,DE BB1,ED=, 又 M 为 CC 1的中点, 四边形 CDEM是平行四边形 CD EM, 又 EM? MAB1,C
25、D?MAB1 CD 平面 MAB1; 解(2)CA,CB ,CC1两两垂直,以 C为原点, CA,CB ,CC1所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 在三棱柱 ABC A1B1C1中,侧棱 CC 1地面 ABC ,可得 MAC为直线 AM 与平 面 ABC所成的角, 设 AC=1 ,tan,得 CM= C (0,0,0) ,A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,B1(0,1,2) ,M(0,0,) 设 AMB1的法向量为, 可取 又平面 B1C1CB的法向量为 cos= 二面角 AMB1C1为钝角, 二面角 AMB1C 1的余弦值为 19 (12 分)第一届 “ 一带一路 ” 国
26、际合作高峰论坛于2017 年 5 月 14 日至 15 日 在北京举行,这是2017 年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具 有重要意义某高中政教处为了调查学生对“ 一带一路 ” 的关注情况,在全校组织 了“ 一带一路知多少 ” 的知识问卷测试,并从中随机抽取了12 份问卷,得到其测 试成绩(百分制),如茎叶图所示 (1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000 名学生,试估计该校测试成 绩在 70 分以上的人数; (2)从所抽取的 70 分以上的学生中再随机选取1 人 记 X表示选取 4 人的成绩的平均数,求P(X87) ; 记 表示测试成绩在80 分以上的人数,求 的分布和数
27、学期望 【解答】 解: (1)众数为 76,中位数为 76, 抽取的 12 人中, 70 分以下的有 4 人,不低于 70 分的有 8 人, 故从该校学生中任选1 人,这个人测试成绩在70 分以上的概率为=, 该校这次测试成绩在70 分以上的约有: 3000=2000人 (2)由题意知 70 分以上的有 72,76,76,76,82,88,93,94, 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87 分时,有两类: 一类是: 82,88,93,94,共 1 种; 另一类是: 76,88,93,94,共 3 种 P(X87)= 由题意得 的可能取值为 0,1,2,3,4, P(=0 )=, P(=1 )
28、=, P(=2 )=, P(=3 )=, P(=4 )=, 的分布列为: 01234 P E ( )=2 20 (12 分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,离心 率为,点 P在椭圆 C上,且 PF1F2的面积的最大值为2 (1)求椭圆 C的方程; (2)已知直线 l:y=kx+2(k0)与椭圆 C交于不同的两点M,N,若在 x 轴上 存在点 G,使得 | GM| =| GN| ,求点 G 的横坐标的取值范围 【解答】 解: (1)显然当点 P位于短轴端点时, PF 1F2的面积取得最大值, ,解得, 椭圆的方程为=1 (2)联立方程组,消元得( 8+9k2)x2+36kx
29、36=0, 直线 l 恒过点( 0,2) ,直线 l 与椭圆始终有两个交点, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 x1+x2=, 设 MN 的中点为 E(x0,y0) ,则 x0=,y0=kx0+2= | GM| =| GN| ,GE MN, 设 G(m,0) ,则 kGE=, m=, 当 k0 时,9k+2=12当且仅当 9k= ,即 k=时取等号; m0, 当 k0 时,9k+2=12,当且仅当 9k= ,即 k=时取等号; 0m 点 G的横坐标的取值范围是 ,0)( 0, 21 (12 分)设函数 f(x)=e x2aln(x+a) ,aR,e 为自然对数的底数 (1)若 a
30、0,且函数 f(x)在区间 0,+)内单调递增,求实数a 的取值范 围; (2)若 0a,试判断函数 f(x)的零点个数 【解答】 解: (1)函数 f(x)在区间 0,+)内单调递增, f (x)=ex0 在区间 0,+)恒成立, 即 ae xx 在 0,+)恒成立, 记 g(x)=e xx,则 g (x)=ex10 恒成立, 故 g(x)在 0,+)递减, 故 g(x)g(0)=1,a1, 故实数 a的范围是 1,+) ; (2)0a,f (x)=e x , 记 h(x)=f (x) ,则 h (x)=e x+ 0, 知 f (x)在区间( a,+)递增, 又f (0)=10,f (1)=
31、e0, f (x)在区间( a,+)内存在唯一的零点x0, 即 f (x0)=0, 于是 x0=ln(x0+a) , 当axx0时,f (x)0,f(x)递减, 当 xx0时,f (x)0,f(x)递增, 故 f(x)min=f(x0)=2aln(x0+a)=x0+a+3a23a, 当且仅当 x0+a=1时取“=”, 由 0a得 23a0, f(x)min=f(x0)0,即函数 f(x)无零点 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 选 修 4-4:坐标系与参数方程 22 (10 分)已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆 C 的方程为+=1,以 O 为极点,
32、x 轴的非负半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线l 的极 坐标方程为 sin ( +)=3 (1)求直线 l 的直角坐标方程和椭圆C的参数方程; (2)设 M(x,y)为椭圆 C上任意一点,求 | 2x+y1| 的最大值 【解答】 解: (1)根据题意,椭圆 C的方程为+=1, 则其参数方程为, (为参数) ; 直线 l 的极坐标方程为sin ( +)=3,变形可得 sin cos+cossin =3, 即sin +cos=3, 将 x=cos,y=sin 代入可得x+y6=0, 即直线 l 的普通方程为x+y6=0; (2)根据题意, M(x,y)为椭圆一点,则设M(2cos ,4
33、sin ) , | 2x+y1| =| 4cos +4sin 1| =| 8sin( +)1| , 分析可得,当 sin( +)=1 时,| 2x+y1| 取得最大值 9 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)=| x2| (1)求不等式 f(x)+f(2+x)4 的解集; (2)若 g(x)=f(x)f(2x)的最大值为 m,对任意不相等的正实数a,b, 证明: af(b)+bf(a)m| ab| 【解答】 (1)解:不等式 f(x)+f(2+x)4, 即为| x2|+| x| 4, 当 x2 时,2x24,即 x3,则 2x3; 当 0x2 时,2x+x4,即 24,则 0x2; 当 x0 时,2xx4,即 x1,则 1x0 综上可得,不等式的解集为 x| 1x3; (2)证明: g(x)=f(x)f(2x)=| x2| | x| , 由| x2| | x| | x2x| =2,当且仅当 x0 时,取得等号, 即 g(x)2,则 m=2, 任意不相等的正实数a,b,可得 af(b)+bf(a)=a| b2|+ b| a2| =| ab2a|+| ab2b| | ab2aab+2b| =| 2a2b| =2| ab| =m| ab| , 当且仅当( a2) (b2)0 时,取得等号, 即 af(b)+bf(a)m| ab|
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