2019届高三数学备考冲刺140分问题46数学文化含解析.pdf
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1、问题 46 数学文化 一、考情分析 2016 年 10 月 8 号 ,教育部考试中心公布了2016 第 179 号文件关于2017 年普通高考考试大纲修 订内容的通知,对数学增加了数学文化的要求.这一文件的公布,是从考试命题的角度第一次非常 正式地明确要求要把数学文化渗透入数学试题,故从2017 年开始每年全国卷中都有与数学文化有 关的试题. 三、知识拓展 1.中国古代著名数学著作 (1)张丘建算经 张丘建算经共有三卷,约成书于公元466485年间 .张丘建 ,北魏时清河 (今山东临清一带)人 ,生平不详 . 其中 ,最小公倍数的应用、等差数列各元素互求以及“百鸡术”等是其主要成就.“百鸡术”
2、是世界著名的 不定方程问题. (2)四元玉鉴 作者朱世杰(1300前后) ,字汉卿 ,号松庭 ,寓居燕山 .数学代表作有算学启蒙(1299)和四元玉鉴 (1303).算学启蒙是一部通俗数学名著,曾流传海外 ,影响了朝鲜、日本数学的发展. 四元玉鉴则是中国宋元数学高峰的又一个标志,其中最杰出的数学创作有“四元术”(多元高次方程 列式与消元解法)、“垛积法”(高阶等差数列求和)与“招差术”(高次内插法) (3)黄帝九章算经细草 作者贾宪 ,北宋人 ,约于 1050年左右完成黄帝九章算经细草,原书佚失 ,但其主要内容被杨辉(约13 世纪中)著作所抄录,因能传世 .杨辉详解九章算法(1261)载有“开
3、方作法本”图,注明“贾宪用 此术” ,这就是著名的“贾宪三角”,或称“杨辉三角”.详解九章算法同时录有贾宪进行高次幂 开方的“增乘开方法”. (4)数书九章 作者秦九韶(约12021261),字道吉 ,四川安岳人 .秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家. 他早年在杭州“访习于太史,又尝从隐君子受数学”,1247年写成著名的数书九章.数书九章全书 共 18卷,81 题,分九大类(大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易).其最重要的数学 成就“大衍总数术”(一次同余组解法)与“正负开方术”(高次方程数值解法),使这部宋代算经 在中世纪世界数学史上占有突出的地位. (5)九章算
4、术注,海岛算经 ,九章重差图 作者刘徽 (约公元225年 295年) ,汉族 ,山东邹平县人,是中国数学史上一个非常伟大的数学家,他的杰作 是中国最宝贵的数学遗产,重差原为九章算术注的第十卷,即后的海岛算经,内容是测量目标 物的高和远的计算方法.重差法是测量数学中的重要方法. 九章算术注中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃.逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思 想、对立统一思想和言意思想等均是其科学思想的真实体现.刘徽集各家优秀思想方法,并加以创新而用于 数学研究 ,使以九章算术为代表的中国传统数学发生了根本性的变化,并上升到了一个新的阶段,他是 遥遥领先于中国传统数学领域的杰出代表,也堪
5、称是世界数学泰斗. 理论体系: 在数系理论方面 用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算,以及繁分数化简等的运算法则;在开方术的注释中,他从 开方不尽的意义出发,论述了无理方根的存在,并引进了新数,创造了用十进分数无限逼近无理根的方法. 在筹式演算理论方面 先给率以比较明确的定义,又以遍乘、 通约、 齐同等三种基本运算为基础,建立了数与式运算的统一的理论 基础 ,他还用“率”定义中国古代数学中的“方程”,即现代数学中线性方程组的增广矩阵. 在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理,建立了相似勾股形理论,发展了勾股测量术,通过对“勾 中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析
6、,形成了中国特色的相似理论. 在面积与体积理论方面 用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理,并解决了多种几何形、几何体的 面积、体积计算问题.这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉. 二是在继承的基础上提出了自己的创见.这方面主要体现为以下几项有代表性的创见: 割圆术与圆周率 他在九章算术圆田术注中,用割圆术证明了圆面积的精确公式,并给出了计算圆周率的科学方法.他 首先从圆内接六边形开始割圆,每次边数倍增,算到 192边形的面积 ,得到 =157/50=3.14, 又算到 3072边形的 面积 ,得到 =3927/1250=3.1416, 称为“徽率” . 刘徽原理 在九章
7、算术阳马术注中,他在用无限分割的方法解决锥体体积时,提出了关于多面体体积计算的刘徽 原理 . “牟合方盖”说 在九章算术开立圆术注中,他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径 )的不精确性 ,并引入了“牟 合方盖”这一著名的几何模型.“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分. 方程新术 在九章算术方程术注中,他提出了解线性方程组的新方法,运用了比率算法的思想. 重差术 在白撰 中,他提出了重差术,采用了重表、连索和累矩等测高测远方法.他还运用“类推衍化” 的方法 ,使重差术由两次测望,发展为“三望” 、 “四望” .而印度在7 世纪 ,欧洲在 1516 世纪才开始研究
8、两 次测望的问题. 四、题型分析 一、数列与数学文化 【例 1】 【四川省凉山州2019 届高中毕业班第二次诊断性检测】我们把叫“费 马数” (费马是十七世纪法国数学家).设, ,表示数列的前项之和, 则使不等式成立的最小正整数的值是() ABCD 【答案】 B 【分析】由题意可得,故, 利用裂项相消法可得,代入选项检验即可. 【解析】 , , 而 , , 即, 当 n=8 时,左边 =,右边 =,显然不适合; 当 n=9 时,左边 =,右边 =,显然适合, 故最小正整数的值 9 故选: B 【点评】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的 方法是根据
9、式子的结构特点,常见的裂项技巧: (1);( 2); (3); (4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项 或多项的问题,导致计算结果错误. 【牛刀小试】 1.我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有金箠 ,长五尺 ,斩本一尺 ,重四斤 ,斩末一 尺,重二斤 ,问次一尺各重几何?”意思是:“现在有一根金箠,一头粗 ,一头细 ,在粗的一端截下1尺 ,重 4 斤; 在细的一端截下1 尺,重 2 斤,问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变 化的 ,中间 3 尺的重量为 A. 6 斤B. 9 斤C. 10 斤D. 12 斤 【答案】 B 【解析】试题分析:此问
10、题是一个等差数列,设首项为,则,中间尺的重量为 斤故选: B 二、立体几何与数学文化 【例 2】【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次(3月 )双基测试】我国古代数学名著九章算术中 有如下问题:“今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺,问积几何”,羡除是 一个五面体,其中三个面是梯形,另两个面是三角形,已知一个羡除的三视图如图粗线所示,其中小正 方形网格的边长为1,则该羡除的表面中,三个梯形的面积之和为() A40 B 43 C46 D47 【答案】 C 【分析】画出几何体的直观图,利用三视图所给数据,结合梯形的面积公式,分别求解梯形的面积即可. 【解析】 由三视图可知
11、,该几何体的直现图如图五面体,其中平面平面, ,底面梯形是等腰梯形,高为3 , 梯形的高为 4 ,等腰梯形的高为, 三个梯形的面积之和为, 故选 C. 【小试牛刀】15. 九章算术是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功”有如下的问题:“今有刍甍,下 广三丈 ,袤四丈 ,上袤二丈 ,无广 ,高一丈 .问积几何?” 意思为: “今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图 )” , 下底面宽丈,长丈,上棱丈,.与平面的距离为1 丈,问它的 体积是 A. 4 立方丈B. 5 立方丈 C. 6 立方丈D. 8 立方丈 【答案】 B 【解析】 延长 EF、FE 分别到 H、G,且|FH|=|EG|=1,则该几何
12、体为直三棱柱,三棱锥 F-BCH 的体积为 ,三棱柱的体积为 ,所以所求体积为.故选 B. 三、概率与数学文化 【例 3】 【2019届广东省数学模拟试卷(一)】古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理 论,利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点,具体方法如下:( l)取线段 AB2,过点 B 作 AB 的垂 线,并用圆规在垂线上截取BC AB,连接 AC; (2)以 C 为圆心, BC 为半径画弧,交AC 于点 D; (3) 以 A 为圆心,以 AD 为半径画弧,交AB 于点 E则点 E 即为线段AB 的黄金分割点若在线段AB 上随 机取一点F,则使得 BEAF AE 的概率约为
13、() (参考数据:2.236) A0.236 B 0.382 C0.472 D0.618 【答案】 A 【分析】由勾股定理可得:AC,由图易得:0.764 AF1.236 ,由几何概型可得概率约为 0.236 【解析】由勾股定理可得:AC,由图可知: BCCD 1,ADAE1.236,BE2 1.2360.764 ,则: 0.764AF1.236,由几何概型可得:使得BE AFAE 的概率约为 =0.236, 故选: A 【小试牛刀】【福建省厦门市2019届高中毕业班第一次(3 月)质量检查】易经是中国传统文化中的精 髓,下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线
14、组成(表示 一根阳线,表示一根阴线) ,从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有5 根阳线和 1 根阴线的 概率为() ABCD 【答案】 A 【解析】 由题意得, 从八卦中任取两卦的所有可能为种,设“取出的两卦的六根线中恰有5 根阳线和 1 根阴线”为事件A,则事件 A 包含的情况为:一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线,共有3 种情况 由古典概型概率公式可得,所求概率为 故选 A 四、框图与数学文化 【例 4】 【安徽省皖江名校2019届高三开学考】 孙子算经 是中国古代重要的数学著作,书中有一问题: “今有方物一束,外周一匝有十二枚,问积几何?” 该著作中提出了一种解决此问题的方法:
15、“重置二位, 左位减八,余加右位,至尽虚减一,即得”通过对该题的研究发现,若一束方物外周一匝的枚数是 的 整数倍时, 均可采用此方法求解如图是解决这类问题的程序框图,若输入,则输出的结果为 () A47 B48 C39 D 40 【答案】 A 【分析】按照程序框图逐步执行,即可求出结果. 【解析】执行程序框图如下: 初始值,执行循环体; ,执行循环体; ,执行循环体; ,结束循环,. 输出. 故选 A 【小试牛刀】 【湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研】关于圆周率,数学发展史上出现过许多有 创意的求法, 最著名的属普丰实验和查理实验受其启发,我 们可以设计一个算法框图估计的值 如图若 电
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- 2019 届高三 数学 备考 冲刺 140 问题 46 文化 解析
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