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1、第 1 页 菱形要点: 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外,还有一些特殊性质: 1、.菱形的四条边都相等; 2、菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角. 3、菱形也是轴对称图形,有两条对称轴(对角线所在的直线),对称轴的交点就是对称 中心 . 菱形的面积:( 1)一种是平行四边形的面积公式:底 高 ( 2)另一种是两条对角线乘积的一半 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种: 1.定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 典型例
2、题: 例 1、下列四边形中不一定为菱形的是() A. 对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边形 C. 对角线互相垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形 【答案】 A 【解析】 A. 对角线相等的平行四边形是矩形而不一定是菱形; B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形; C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形; D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形四条边形等是菱形; 例 2、菱形的一个内角为60 ,较短的一条对角线长4,则菱形的周长为_。 【答案】 16 【解析】菱形有一个内角为60 , 则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形, 第 2 页 可
3、得边长为4,则菱形周长为16 【点睛】 此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用,难度不大, 关键熟练掌握若 菱形有一个内角为60 ,则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形 例 3、菱形的两条对角线长分别是14cm 和 20cm,则它的面积为_ 【答案】 140cm2 【解析】菱形的面积等于对角线乘积的一半, 面积 S= 1 2 14 20=140(cm 2). 例 4、如图所示,在菱形ABCD 中, AC8,BD 10求: (1)AB 的长 (2)菱形 ABCD 的 面积 解: (1)四边形 ABCD 是菱形 AC BD,AO 1 2 AC ,OB 1 2 BD 又AC 8,
4、BD10 AO 1 2 84,OB 1 2 105 在 RtABO 中, 222 ABOAOB (2)由菱形的性质可知: 11 8 1040 22 SACBD 菱形 ABCD 例 5、菱形的两条对角线长为6 和 8,则菱形的边长为_ 解:设该菱形为ABCD ,对角线相交于O,AC 8, BD6, 由菱形性质知:AC 与 BD 互相垂直平分, 例 6、菱形 ABCD 中, A B15,若周长为8,则此菱形的高等于( ) A. 2 1 B.4 C.1 D.2 【答案】 C; 提示:由题意,A30 ,边长为2,菱形的高等于 1 2 21. 例 7、如图,在ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,
5、AB=5, AC=6,BD=8 (1)求证:四边形ABCD 是菱形; (2)过点 A 作 AHBC 于点 H,求 AH 的长 【答案】 (1)证明见解析 (2) 24 5 【解析】试题分析: (1)由平行四边形的对角线互相平分得到AOB 的两条边OA 、OB 的 第 3 页 长度,则根据勾股定理的逆定理判定AOB=90 ,即平行四边形的对角线互相垂直平分, 故四边形 ABCD 是菱形 (2)根据菱形的不变性,用不同方法求面积:平行四边形的面积=菱形的面积,可求解. 试题解析: (1)证明:在ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O,AB=5 ,AC=6 ,BD=8 , AO=AC=3 ,B
6、O=BD=4 , AB=5 ,且 3 2+42=52, AO 2+BO2=AB2, AOB 是直角三角形,且AOB=90 , AC BD , 四边形 ABCD 是菱形; (2)解:如图所示: 四边形 ABCD 是菱形, BC=AB=5 , S ABC= AC?BO=BC?AH , 6 4= 5 AH, 解得: AH= 例 8、在四边形ABCD 中, AB/CD , B=D. (1)求证:四边形ABCD 为平行四边形; (2)若点 P 为对角线 AC 上的一点, PEAB 于 E,PFAD 于 F,且 PE=PF,求证:四边形 ABCD 是菱形 . 【解析】试题分析: (1)根据平行线的性质和平
7、行四边形的判定证明即可; (2)根据角平分线的性质和菱形的判定证明即可 试题解析:( 1) ABCD, DCA= BAC , 在 ADC 与 ABC 中, ADC ABC (AAS ) , AB=DC , 第 4 页 AB CD, 四边形 ABCD 为平行四边形; (2)四边形ABCD 为平行四边形, DAB= DCB, PEAB 于 E,PF AD 于 F,且 PE=PF, DAC= BAC= DCA= BCA , AB=BC , 四边形 ABCD 是菱形 课后习题: 1在下列说法中,菱形对角线不具有的性质是( ) A. 对角线互相垂直;B. 对角线所在的直线是对称轴; C. 对角线相等;D
8、. 对角线互相平分 【解析】 菱形的对角线互相垂直平分,菱形是轴对称图形,每一条对角线所在的直线就是菱 形的一条对称轴,故选 C. 2如图,在菱形ABCD 中,对角线AC、BD 相交于点O,E 为 AB 的中点,且OE=2,则 菱形 ABCD 的周长为() A. 12 B. 16 C. 8 D. 4 【解析】试题解析:四边形ABCD 为菱形, AC BD ,AB=BC=CD=DA, AOB 为直角三角形 OE=2,且点 E 为线段 AB 的中点, AB=2OE=4 C菱形ABCD=4AB=44=16故选 B 3已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比3:4,则菱形面积为() A. 96cm 2
9、 B. 48cm 2 C. 24cm 2 D. 12cm 2 【答案】 A 如图,设3AOxcm,4BOxcm.菱形的周长为40cm, 有勾股定理得, 22 2 3410xx, 21 =12 16=96cm 2 S菱形,故选 A. 4菱形的一个内角为60 ,较短的一条对角线长4,则菱形的周长为_。 【答案】 16 【解析】菱形有一个内角为60 , 第 5 页 则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形, 可得边长为4, 则菱形周长为16 【点睛】 此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用,难度不大, 关键熟练掌握若 菱形有一个内角为60 ,则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角
10、形 5如图,在菱形ABCD 中,点 P 是对角线AC 上的一点, PEAB 于点 E,若 PE=5,则点 P 到 AD 的距离为 _ 【解析】 AC 是菱形 ABCD 的对角线, AC 平分 DAB, 根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得:P到 AD 的距离 PE 5. 故答案是 :5. 6如图,在平面直角坐标系中,菱形OACB 的顶点 O 在原点,点C 的坐标为( 4,0) ,点 B 的纵坐标是 - 1,则顶点A 坐标是 A (2,1)B (1,- 2)C (1,2)D (2,-1) 【答案】 D 试题解析:连接AB 交 OC 于 D,如图所示: 点 C 的坐标是( 4,0),点 A 的
11、纵坐标是1, OC=4,OA=1 , 四边形 OACB 是菱形, OCAB ,OD= 1 2 OC=2, OB=OA=1 , 点 B 的坐标是( 2,-1); 故选 D 考点: 1.菱形的性质; 2.坐标与图形性质 7、如图,在菱形ABCD 中, ABC 与 BAD 的度数比为12,周长是32cm求: (1)两条对角线的长度; (2)菱形的面积. 【答案】 (1).BO=43cm,BD=83cm(2) 323cm 2. 【解析】(1)菱形 ABCD 的周长为32cm, 第 6 页 菱形的边长为32 4=8cm ABC BAD=12, ABC+BAD =180 (菱形的邻角互补) , ABC=6
12、0 , BCD =120 , ABC 是等边三角形, AC=AB=8cm, 菱形 ABCD 对角线 AC、 BD 相交于点O, AO=CO,BO=DO 且 AC BD, BO=43cm, BD=83cm; (2)菱形的面积: 1 2 AC?BD= 1 2 8 83=323( cm 2) 8、已知菱形ABCD 中, E、 F分别是 CB、CD 上的点,且BE=DF 求证: (1)ABE ADF ; (2) AEF= AFE 9、如图,在 ABCD中, BAD 的平分线交BC 于点 E, ABC 的平分线交AD 于点 F,AE 与 BF 相交于点 O,连接 EF (1)求证:四边形ABEF 是菱形
13、; (2)若 AE6,BF8,CE ,求 ABCD的面积 【答案】(1)证明见解析(2)36 【解析】 试题分析:(1)根据平行四边形的性质和角平分线的性质得到四边形ABEF 是平行 四边形 ,然后再根据一组领边相等的平行四边形是菱形,证得结论 ; (2)过点 A 作 AHBC 于点 H根据菱形的对角线求出边长,然后根据面积的不变性求出 平行四边形的高, 从而求解 . 试题解析 : ( 1)证明:在ABCD中, ADBC DAE AEB BAD 的平分线交BC 于点 E, DAEBAE BAEAEB ABBE 第 7 页 同理 ABAFAFBE四边形ABEF 是平行四边形ABBE 四边形 ABEF 是菱形 (2)解法一:过点A 作 AHBC 于点 H 四边形 ABEF 是菱形, AE6,BF8, AEBF,OE3,OB4BE5 S菱形 ABEF AE BFBE AH,AH 6 8 5 SABCD BC AH(5 ) 36 解法二:四边形ABEF 是菱形, AE6,BF8, AEBF,OE3,OB4BE5 S菱形 ABEF AE BF 6 824, CE ,BE5,SABCD S菱形ABEF 24 36 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质菱形的判定方法有五多种,应用时要认真领会它们 之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法
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