(完整word版)高中数学双曲线抛物线知识点总结.pdf
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1、双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a)的点的轨迹。 方程 22 22 1(0,0) xy ab ab 22 22 1(0,0) yx ab ab 简图 范围 ,xaxa yR或,yaya xR或 顶点 (,0)a(0,)a 焦点 (,0)c(0,)c 渐近线b yx a a yx b 离心率 (1) c ee a (1) c ee a 对称轴关于 x 轴、 y 轴及原点对称关于 x 轴、 y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c 2 a y c a、b、c 的关 系 222 cab 考点 题型一求双曲线的标准方程 1、 给 出 渐 近 线 方 程 n yx m 的 双
2、 曲 线 方 程 可 设 为 22 22 (0) xy mn , 与 双 曲 线 22 22 1 xy ab 共渐近线的方程可设为 22 22 (0) xy ab 。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例 1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 (1)虚轴长为12,离心率为 5 4 ; (2)焦距为 26,且经过点M(0,12) ; (3)与双曲线 22 1 916 xy 有公共渐进线,且经过点3,2 3A。 _ x _ O _ y _ x _ O _ y 解: (1)设双曲线的标准方程为 22 22 1 xy ab 或 22 22 1 yx ab (0,0)ab。 由题意知,
3、2b=12, c e a = 5 4 。 b=6,c=10,a=8。 标准方程为 2 361 64 x 或 22 1 6436 yx 。 (2)双曲线经过点M( 0,12) , M( 0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y 轴上,且a=12。 又 2c=26, c=13。 222 144bca。 标准方程为 22 1 14425 yx 。 (3)设双曲线的方程为 22 22 xy ab 3,2 3AQ在双曲线上 2 2 2 3 3 1 916 得 1 4 所以双曲线方程为 22 4 1 94 xy 题型二双曲线的几何性质 方法思路:解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是e、a
4、、b、c 四者 的关系,构造出 c e a 和 222 cab的关系式。 【例 2】双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦距为2c,直线 l 过点( a, 0)和( 0,b) ,且 点( 1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s 4 5 c。求双曲线的离心率 e 的取值范围。 解:直线l 的方程为1 xy ab ,级 bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式,且a1,得到点( 1,0)到直线l 的距离 1 22 (1)b a d ab , 同理得到点(-1,0)到直线l 的距离 2 22 (1)b a d ab , 12 22 22abab sdd
5、c ab 。 由 s 4 5 c,得 2ab c 4 5 c,即 222 52a cac。 于是得 22 512ee,即 42 425250ee。 解不等式,得 25 5 4 e。由于 e10,所以 e 的取值范围是 5 5 2 e。 【例3】设F1、F2分别是双曲线 22 22 1 xy ab 的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使 1290F AF o ,且 AF1=3AF2,求双曲线的离心率。 解: 12 90F AF o 22 2 12 4AFAFc 又 AF1 =3AF2, 122 22AFAFAFa即 2 AFa, 22222 22 12222 910104AFAFAFAFAFac,
6、 1010 42 c a 即 10 2 e。 题型三直线与双曲线的位置关系 方法思路: 1、研究双曲线与直线的位置关系,一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程 组,即 222222 0AxByC b xa ya b ,对解的个数进行讨论,但必须注意直线与双曲线有一个公共 点和相切不是等价的。 2、直线与双曲线相交所截得的弦长: 2 21212 1 11lkxxyy k ? 【例 4】如图, 已知两定点 12 (2,0),( 2,0)FF,满足条件 21 2PFPF uuu u ruu u r 的点 P的轨迹 是曲线 E,直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点, 如果6 3AB,且曲
7、线 E 上存在点C, 使OAOBmOC uuu ru uu ruuu r ,求 (1)曲线 E 的方程; (2)直线 AB 的方程; (3)m 的值和 ABC 的面积 S。 y x O B A C 解:由双曲线的定义可知, 曲线 E 是以 12 (2,0),( 2,0)FF为焦点的双曲线的左支, 且2c, a=1,易知 22 1bca。 故直线 E 的方程为 22 1(0)xyx, (2)设 11 A(x ,y ), 22 B(x ,y ), 由题意建立方程组 22 y=kx-1 x -y =1 消去 y,得 22 (1)220kxkx。 又已知直线与双曲线左支交于两点A、B,有 2 22 1
8、22 122 10, (2 )8(1)0, 2 0, 1 2 0. 1 k kk k xx k x x k V 解得21k。 又 222 121212 11()4ABkxxkxxx x? 22 2 2222 22(1)(2) 1()42 11(1) kkk k kkk ? 依题意得 22 22 (1)(2) 26 3 (1) kk k ,整理后得 42 2855250kk, 2 5 7 k或 2 5 4 k。 但21k, 5 2 k。 故直线 AB 的方程为 5 10 2 xy。 (3)设(,) cc C xy,由已知OAOBmOC uu u ru uu ruu u r ,得 1122 (,)
9、(,)(,) cc xyxymxmy, 1212 (,)(,)(0) cc xxyy xym mm 。 又 12 2 2 4 5 1 k xx k , 2 121222 22 ()228 11 k yyk xx kk , 点 4 58 (,)C mm 。 将点 C 的坐标代入曲线E 的方程,的 22 8064 1 mm , 得4m,但当4m时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意。 4m,C 点的坐标为(5, 2), C 到 AB 的距离为 22 5 (5)21 2 1 3 5 ()1 2 , ABC 的面积 11 6 33 23 S。 一、抛物线 高考动向: 抛物线是高考每年必考之点,选择题、
10、 填空题、 解答题皆有, 要求对抛物线定义、 性质、直线与其关系做到了如指掌,在高考中才能做到应用自如。 (一)知识归纳 方程 2 2(0)ypx p 2 2(0)ypx p 2 2(0)xpy p 2 2(0)xpy p 图形 x y O F l x y O F l 顶点(0,0) 对 称 轴 x 轴y 轴 焦点 (,0) 2 p F(,0) 2 p F(0,) 2 p F(0,) 2 p F 离 心 率 e=1 准线 : 2 p lx: 2 p lx: 2 p ly: 2 p ly (二)典例讲解 题型一抛物线的定义及其标准方程 方法思路: 求抛物线标准方程要先确定形式,因开口方向不同必要
11、时要进行分类讨论,标准 方程有时可设为 2 ymx或 2 (0)xmy m。 【例 5】根据下列条件求抛物线的标准方程。 x y O F l x y O F l (1)抛物线的焦点是双曲线 22 169144xy的左顶点; (2)经过点A( 2, 3) ; (3)焦点在直线x-2y-4=0上; (4)抛物线焦点在x 轴上,直线y=-3 与抛物线交于点A, AF=5. 解: (1)双曲线方程可化为 22 1 916 xy ,左顶点是(-3,0) 由题意设抛物线方程为 2 2(0)ypx p且3 2 p , p=6. 方程为 2 12yx (2)解法一:经过点A(2, 3)的抛物线可能有两种标准形
12、式: y 22px 或x 2 2py 点A(2, 3)坐标代入,即94p,得 2p 2 9 点A(2, 3)坐标代入x 2 2py,即 46p,得 2p 3 4 所求抛物线的标准方程是y 2 2 9 x或x 2 3 4 y 解法二:由于A(2,-3 )在第四象限且对称轴为坐标轴,可设方程为 2 ymx或 2 xny, 代入 A 点坐标求得m= 2 9 ,n=- 3 4 , 所求抛物线的标准方程是y 2 2 9 x或x 2 3 4 y (3)令 x=0 得 y=2,令 y=0 得 x=4, 直线 x-2y-4=0与坐标轴的交点为(0,-2 ) , (4,0) 。 焦点为( 0,-2 ) , (4
13、,0) 。 抛物线方程为 2 8xy或 2 16yx。 (4)设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为 2 2(0)ypx p,A( m,-3) ,由抛物 线定义得 p 5 2 AFm, 又 2 ( 3)2pm, 1p或9p, 故所求抛物线方程为 2 2yx或 2 18yx。 题型二抛物线的几何性质 方法思路: 1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线l 的距离处 理,例如若P(x0,y0)为抛物线 2 2(0)ypx p上一点,则 0 2 p PFx。 2、若过焦点的弦AB , 11 (,)A xy, 22 (,)B xy,则弦长 12 ABxxp, 12 xx可由 韦达定理整
14、体求出,如遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类 似得到。 【例 6】设 P 是抛物线 2 4yx上的一个动点。 (1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点P 到直线1x的距离之和的最小值; (2)若 B( 3,2) ,求PBPF的最小值。 解: (1)抛物线焦点为F( 1,0) ,准线方程为 1x 。 P 点到准线1x的距离等于P 点到 F(1,0)的距离, 问题转化为:在曲线上求一点P,使点 P 到 A(-1,1)的距离与P 到 F(1,0)的距 离之和最小。 显然 P是 AF 的连线与抛物线的交点, 最小值为 5AF ( 2)同理PF与 P 点到准线的距离相等,
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