(完整版)中考数学二次函数专题复习超强整理.pdf
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1、. . 初三二次函数归类复习 一、二次函数与面积 面积的求法:公式法:S=1/2* 底*高分割法 /拼凑法 1、说出如何表示各图中阴影部分的面积? x y O M E N A 图五 O x y D C 图四 x y O D C E B 图六 P x y O A B D 图二 E x y O A B C 图一 x y O A B 图三 . . 2、抛物线32 2 xxy与x轴交与 A、 B(点 A 在 B 右侧),与y轴交与点C, D 为抛物线的顶 点,连接 BD,CD, (1)求四边形BOCD 的面积 . (2)求 BCD 的面积 .(提示:本题中的三角形没有横向或 纵向的边,可以通过添加辅助
2、线进行转化,把你想到的思路 在图中画出来,并选择其中的一种写出详细的解答过程) 3、已知抛物线4 2 12 xxy与x轴交与 A、C 两点,与y轴交与点B, (1)求抛物线的顶点M 的坐标和对称轴; (2)求四边形ABMC 的面积 . 4、已二次函数32 2 xxy与x轴交于 A、B 两点( A 在 B的左边),与 y 轴交于点C,顶点为P. (1)结合图形,提出几个面积问题,并思考解法; (2)求 A、B、 C、P 的坐标,并求出一个刚刚提出的图形面积; (3)在抛物线上(除点C 外) ,是否存在点N,使得 ABCNAB SS, 若存在,请写出点N 的坐标;若不存在,请说明理由。 变式一:
3、在抛物线的对称轴上是否存点N,使得 ABCNAB SS,若存在直接写出N 的坐标;若不存 A x y B O C P xO A B y . . 在,请说明理由. 变式二: 在双曲线 3 y x 上是否存在点N,使得 ABCNAB SS,若存在直接写出N 的坐标; 若不存在, 请说明理由 . 5、抛物线32 2 xxy与x轴交与 A、B(点 A在B右侧) ,与y轴交与点 C,若点 E为第二象限抛物 线上一动点,点E运动到什么位置时,EBC的面积最大 ,并求出此时点E的坐标和 EBC的最大面积 【模拟题训练】 1 (2015?三亚三模)如图,直线y=x+2 与 x 轴交于点B,与 y 轴交于点C,
4、已知二次函数的图象 经过点 B、C 和点 A( 1,0) (1)求 B、 C 两点坐标; (2)求该二次函数的关系式; (3)若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D,则在抛物线的对称轴上是否存在点P,使 PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由; (4)点 E是线段 BC 上的一个动点,过点E作 x 轴的垂线与抛物线相交于点F,当点 E运动到什么位 置时,四边形CDBF 的面积最大?求出四边形CDBF 的最大面积及此时E点的坐标 A x y O B C 变式二图 . . 二、二次函数与相似 【相似知识梳理】 二次函数为背景即在平面直角坐标系中,通
5、常是用待定系数法求二次函数的解析式,在求点的坐 标过程中需要用到相似三角形的一些性质,如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。 其 实 破 解 难 点 以 后 不 难 发 现 , 若 是 直 角 三 角 形 相 似 无 非 是 如 图1-1的 几 种 基 本 型 。 若是非直角三角形有如图1-2 的几种基本型。 利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。 【例题点拨】 【例 1】如图 1-3 ,二次函数2 2 bxaxy的图像与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,经过 点 A 的直线2kxy与y轴相交于点D,与直线BC 垂直于点E,已知 AB=3 ,求这个二次函数
6、的解 析式。 图1-3 B E A D O C x y . . 【例 2】如图 1-4 ,直角坐标平面内,二次函数图象的顶点坐标为C3, 4,且在x轴上截得的线段 AB的长为 6. (1)求二次函数解析式; (2)在x轴上方的抛物线上,是否存在点D,使得以A、B、D 三点为顶点的三角形与ABC 相似? 若存在,求出点D 的坐标,若不存在,请说明理由。 Y X E D2 D1 H C B A O 【例 3】 如图 1-6 , 在平面直角坐标系中,二次函数cbxxy 2 4 1 - 的图像经过点A (4,0) , C (0,2) 。 (1)试求这个二次函数的解析式,并判断点B(-2,0 )是否在该
7、函数的图像上; (2)设所求函数图像的对称轴与x轴交于点D,点 E 在对称轴上,若以点C、D、E 为顶点的三角形 与 ABC 相似,试求点E的坐标。 图1-6 C A 1 O y x 【模拟题训练】 2 ( 2015?崇明县一模) 如图,已知抛物线y=x 2+bx+c 经过直线 y=+1 与坐标轴的两个交点A、B, 点 C 为抛物线上的一点,且ABC=90 (1)求抛物线的解析式; (2)求点 C 坐标; (3)直线 y=x+1 上是否存在点P,使得 BCP与OAB 相似?若存在,请直接写出P 点的坐标; 若不存在,请说明理由 . . 三、二次函数与垂直 【方法总结】 应用勾股定理证明或利用垂
8、直三垂直模型 【例 1】 :如图,直线l 过等腰直角三角形ABC 顶点 B,A、C 两点到直线l 的距离分别是2 和 3,则 AB 的长是() 【例 2】 :在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别为 A(-3 ,0) 、B(1,0) , 过顶点 C 作 CHx 轴于点 H. (1)直接填写: a= ,b= ,顶点 C 的坐标为; (2)在 y 轴上是否存在点D,使得 ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形?若存在,求出点D 的坐标; 若不存在,说明理由; . . (第26题图 ) y xO C B A 【例 3】 、 (2011 山东烟台)如图,已知抛物线y
9、=x2+bx-3a过点 A(1,0) , B(0,-3),与 x 轴交于另一点C.(1)求抛物线的解析式; (2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使 PBC 为以点 B为直 角顶点的直角三角形,求点P的坐标; (3) 在(2) 的条件下, 在抛物线上是否存在一点Q,使以 P,Q,B,C 为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不 存在,请说明理由. 【模拟题训练】 3 (2015?普陀区一模)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点 A(m, 0)和点 B( 0,2m) (m0) , 点 C 在 x 轴上(不与点A 重合) (1)当 BOC 与AOB 相似时,请直接写出点C 的坐标
10、(用m 表示) (2)当 BOC 与AOB 全等时,二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过 A、B、C 三点,求m 的值,并 求点 C 的坐标 (3)P 是( 2)的二次函数图象上的一点,APC=90 ,求点 P的坐标及 ACP 的度数 . . 4如图,已知抛物线y=x 21 的顶点坐标为 M,与 x 轴交于 A、B两点 (1)判断 MAB 的形状,并说明理由; (2)过原点的任意直线(不与y 轴重合)交抛物线于C、D 两点,连接MC、 MD,试判断MC、MD 是否垂直,并说明理由 四、二次函数与线段 题目类型: 求解线段长度(定值,最值):充分利用勾股定理、全等、相似、特殊角(30, 45
11、, 60, 90, 120 等) 、特殊三角形(等腰、等腰直角、等边)、特殊线(中位线、中垂线、角平分线、弦等)、对 称、函数(一次函数、反比例函数、二次函数等)等知识。 . . 判断线段长度关系:a=b, a=2b, a+b=c, a+b=2c, a 2+b2=c2 , a*b=c 2 【模拟题训练】 5 (2015?山西模拟)如图1,P( m,n)是抛物线y=x 2 1 上任意一点, l 是过点( 0, 2)且与 x 轴平行的直线,过点P 作直线 PHl,垂足为 H 【特例探究】 (1)填空,当m=0 时,OP= _ ,PH= _ ;当 m=4 时, OP= _ ,PH= _ 【猜想验证】
12、 (2)对任意m,n,猜想 OP 与 PH 大小关系,并证明你的猜想 【拓展应用】 (3)如图 2,如果图 1 中的抛物线y=x 2 1 变成 y=x24x+3 ,直线 l 变成 y=m (m 1) 已知抛 物线 y=x 24x+3 的顶点为 M,交 x 轴于 A、B两点,且B 点坐标为( 3,0) ,N 是对称轴上的一点, 直线 y=m (m 1)与对称轴于点C,若对于抛物线上每一点都有:该点到直线y=m 的距离等于该 点到点 N 的距离 用含 m 的代数式表示MC、MN 及 GN 的长,并写出相应的解答过程; 求 m 的值及点N 的坐标 五、二次函数与角度 结题方法总结 角度相等的利用和证
13、明:直接计算平行线等腰三角形全等、相似三角形角平分线 . . 性质倒角( 1=3, 2= 3 1=2) 【构造三垂直模型法】例 1:如图,在平面直角坐标系xOy 中,点 P 为抛物线上一动点,点A 的坐标为( 4,2) ,若 AOP=45 ,则点 P 的坐标为 ( ) 【直接计算】 例 2.如图,抛物线与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,点 D 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点, 点 P 是抛物线上一点,且 DCP=30 ,则符合题意的点P 的坐标 为( ) 【与几何图形结合】例 4、二次函数 32 2 xxy 的图象与x 轴交于 A、B 两点(点A 在点 B 的左 侧) ,与
14、 y 轴交于 C 点,在二次函数的图象上是否存在点P,使得 PAC 为锐角?若存在,请你求出P 点的横坐标取值范围;若不存在,请你说明理由。 【利用相似】 例 3、已知抛物线 2 yaxbxc 的图象与 x 轴交于 A、B两点(点A在点B的左边), . . 与 y 轴交于点C(0,3) ,过点 C 作 x 轴的平行线与 抛 物 线 交 于 点 D , 抛 物 线 的 顶 点 为 M , 直 线 5yx 经过 D 、 M 两点 . (1)求此抛物线的解析式; (2) 连接 AM 、AC、BC,试比较 MAB和 ACB 的大小,并说明你的理由. 【模拟题训练】 6 (2015?松江区一模)已知在平
15、面直角坐标系xOy 中,二次函数y=ax 2+bx 的图象经过点( 1, 3) 和点( 1,5) ; (1)求这个二次函数的解析式; (2)将这个二次函数的图象向上平移,交y 轴于点 C,其纵坐标为m,请用 m 的代数式表示平移后 函数图象顶点M 的坐标; (3)在第( 2)小题的条件下,如果点P 的坐标为( 2,3) ,CM 平分 PCO,求 m 的值 . . 六、二次函数与平行四边形 解题方法总结 :平行线的性质(同位角,内错角,同旁内角)比较一次函数k 值平行四边 形的性质注意多解性 【模拟题训练】 7如图,抛物线y=x 2+bx 3 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧
16、) ,直线 l 与抛物线交于A、C 亮点,其中C 的横坐标为2 (1)求 A、C 两点的坐标及直线AC 的函数解析式; (2)P 是线段 AC 上的一个动点,过点P作 y 轴的平行线交抛物线于点E,求 ACE 面积的最大值; (3)点 G 是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使以 A、C、F、G 四个点为顶点的四边形是平 行四边形?如果存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由 . . 七、二次函数与图形转换 常见图像变换:平移(上加下减,左加右减)轴对称(折叠) 【模拟题训练】 8 (2014?西城区一模)抛物线y=x 2 kx3 与 x 轴交于点 A,B,与 y 轴交于点
17、C,其中点B 的坐标为( 1+k , 0) ( 1)求抛物线对应的函数表达式; ( 2)将( 1)中的抛物线沿对称轴向上平移,使其顶点M 落在线段BC 上,记该抛物线为G,求抛物线G 所对 应的函数表达式; ( 3)将线段BC 平移得到线段B C (B 的对应点为B ,C 的对应点为C ) ,使其经过( 2)中所得抛物线G 的顶 点 M,且与抛物线G 另有一个交点N,求点 B 到直线 OC的距离 h 的取值范围 . . 模拟训练题参考答案 1 考点 : 二次函数综合题 分析: (1)分别令解析式y= x+2 中 x=0 和 y=0 ,求出点B、点 C 的坐标; (2)设二次函数的解析式为y=a
18、x 2+bx+c ,将点 A、B、C 的坐标代入解析式,求出 a、b、 c 的值,进 而求得解析式; (3)由( 2)的解析式求出顶点坐标,再由勾股定理求出CD 的值,再以点C 为圆心, CD 为半径作弧 交对称轴于P1,以点 D 为圆心 CD 为半径作圆交对称轴于点P2,P3,作 CE 垂直于对称轴与点E,由等 腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论; (4) 设出 E点的坐标为(a, a+2 ) , 就可以表示出F的坐标,由四边形 CDBF的面积 =SBCD+SCEF+SBEF 求出 S与 a 的关系式,由二次函数的性质就可以求出结论 解答:解: (1)令 x=0 ,可得 y=2 , 令
19、y=0 ,可得 x=4 , 即点 B( 4,0) ,C( 0,2) ; (2)设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c , 将点 A、B、C 的坐标代入解析式得, , 解得:, 即该二次函数的关系式为y=x 2+ x+2 ; (3)y=x 2+ x+2 , y= (x) 2+ , 抛物线的对称轴是x= OD= . . C(0,2) , OC=2 在 RtOCD 中,由勾股定理,得 CD= CDP 是以 CD 为腰的等腰三角形, CP1=DP2=DP3=CD 如图 1 所示,作CHx 对称轴于H, HP1=HD=2 , DP1=4 P1(,4) ,P2(,) ,P3(,) ; (4)当 y=0
20、 时, 0=x 2+ x+2 x1= 1,x2=4, B(4,0) 直线 BC 的解析式为: y= x+2 如图 2,过点 C 作 CMEF于 M,设 E(a,a+2 ) ,F( a,a 2+ a+2 ) , EF=a 2+ a+2 (a+2 )= a 2+2a (0 x 4) S四边形 CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=BD?OC+EF ?CM+EF?BN, =+a(a 2+2a )+ (4 a) (a 2+2a ) , = a 2+4a+ (0 x 4) = ( a2) 2+ a=2 时, S四边形 CDBF的面积最大=, E(2,1) 点评:本题考查了二次函数的综合运用,涉及了待定
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