(完整版)八年级四边形动点问题.pdf
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1、初二动点问题 1. 如图, 在直角梯形 ABCD 中, ADBC, B=90 , AD=24cm , AB=8cm , BC=26cm ,动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm/s 的速度运动;动点Q 从点 C 开始沿 CB 边向 B 以 3cm/s 的速度运动 P、Q 分别从点 A、C 同时 出发,当其中一点到达端点时, 另外一点也随之停止运动, 设运动时间为 ts (1)当 t 为何值时,四边形PQCD 为平行四边形? (2)当 t 为何值时,四边形PQCD 为等腰梯形? (3)当 t 为何值时,四边形PQCD 为直角梯形? 分析: (1)四边形 PQCD 为平行四边形时PD
2、=CQ (2)四边形 PQCD 为等腰梯形时 QC-PD=2CE (3)四边形 PQCD 为直角梯形时 QC-PD=EC 所有的关系式都可用含有t 的方程来表示,即此题只要解三个方程即可 解答: 解: (1)四边形 PQCD 平行为四边形 PD=CQ 24-t=3t 解得: t=6 即当 t=6 时,四边形 PQCD 平行为四边形 (2)过 D 作 DEBC 于 E 则四边形 ABED 为矩形 BE=AD=24cm EC=BC-BE=2cm 四边形 PQCD 为等腰梯形 QC-PD=2CE 即 3t-(24-t)=4 解得: t=7(s) 即当 t=7(s)时,四边形 PQCD 为等腰梯形 (
3、3)由题意知: QC-PD=EC 时, 四边形 PQCD 为直角梯形即 3t-(24-t)=2 解得: t=6.5(s) 即当 t=6.5 (s)时,四边形 PQCD 为直角梯形 点评: 此题主要考查了平行四边形、等腰梯形,直角梯形的判定,难易程度适中 2. 如图, ABC 中,点 O 为 AC 边上的一个动点,过点O 作直线 MNBC,设 MN 交BCA 的外角平分线CF 于点 F,交ACB 内角平分线 CE 于 E (1)试说明 EO=FO ; (2)当点 O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形并证明你的结论; (3)若 AC 边上存在点 O,使四边形 AECF 是正方形,猜想 ABC
4、的形状并 证明你的结论 分析: (1)根据 CE 平分 ACB ,MNBC,找到相等的角,即 OEC=ECB ,再 根据等边对等角得OE=OC ,同理 OC=OF ,可得 EO=FO (2)利用矩形的判定解答,即有一个内角是直角的平行四边形是矩形 (3)利用已知条件及正方形的性质解答 解答: 解: (1)CE 平分 ACB , ACE=BCE , MNBC, OEC=ECB , OEC=OCE, OE=OC, 同理, OC=OF , OE=OF (2)当点 O 运动到 AC 中点处时,四边形AECF 是矩形 如图 AO=CO ,EO=FO , 四边形 AECF 为平行四边形, CE 平分 AC
5、B , ACE= ACB , 同理, ACF= ACG , ECF=ACE+ACF= ( ACB+ ACG )= 180 =90 , 四边形 AECF 是矩形 (3)ABC 是直角三角形 四边形 AECF 是正方形, ACEN,故 AOM=90 , MNBC, BCA= AOM , BCA=90 , ABC 是直角三角形 点评: 本题主要考查利用平行线的性质“ 等角对等边 ” 证明出结论(1) ,再利用结论(1) 和矩形的判定证明结论(2) ,再对( 3)进行判断解答时不仅要注意用到前一 问题的结论,更要注意前一问题为下一问题提供思路,有相似的思考方法是 矩形的判定和正方形的性质等的综合运用
6、3. 如图,直角梯形ABCD 中, ADBC,ABC=90 ,已知 AD=AB=3 ,BC=4 , 动点 P 从 B 点出发,沿线段 BC 向点 C 作匀速运动;动点Q 从点 D 出发,沿 线段 DA 向点 A 作匀速运动过Q 点垂直于 AD 的射线交 AC 于点 M,交 BC 于点 NP、Q 两点同时出发,速度都为每秒1 个单位长度当Q 点运动到 A 点,P、Q 两点同时停止运动设点Q 运动的时间为 t 秒 (1)求 NC,MC 的长(用 t 的代数式表示); (2)当 t 为何值时,四边形PCDQ 构成平行四边形; (3) 是否存在某一时刻, 使射线 QN 恰好将 ABC 的面积和周长同时
7、平分?若 存在,求出此时t 的值;若不存在,请说明理由; (4)探究: t 为何值时, PMC 为等腰三角形 分析: (1)依据题意易知四边形ABNQ 是矩形 NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ, BC、AD 已知, DQ 就是 t,即解; AB QN, CMN CAB ,CM: CA=CN :CB, (2)CB、CN 已知,根据勾股定理可求CA=5 ,即可表示 CM; 四边形 PCDQ 构成平行四边形就是PC=DQ ,列方程 4-t=t 即解; (3)可先根据 QN 平分 ABC 的周长,得出 MN+NC=AM+BN+AB,据此来求 出 t 的值然后根据得出的t 的值,求出 MN
8、C 的面积,即可判断出 MNC 的 面积是否为 ABC 面积的一半,由此可得出是否存在符合条件的t 值 (4)由于等腰三角形的两腰不确定,因此分三种情况进行讨论: 当 MP=MC 时,那么 PC=2NC ,据此可求出 t 的值 当 CM=CP 时, 可根据 CM 和 CP 的表达式以及题设的等量关系来求出t 的值 当 MP=PC 时,在直角三角形MNP 中,先用 t 表示出三边的长,然后根据勾 股定理即可得出t 的值 综上所述可得出符合条件的t 的值 解答 : 解: (1)AQ=3-t CN=4-(3-t)=1+t 在 RtABC 中,AC2=AB2+BC2=32+42 AC=5 在 RtMN
9、C 中,cos NCM= = ,CM= (2)由于四边形 PCDQ 构成平行四边形 PC=QD,即 4-t=t 解得 t=2 (3)如果射线 QN 将ABC 的周长平分,则有: MN+NC=AM+BN+AB 即:(1+t)+1+t= (3+4+5 ) 解得: t= (5 分) 而 MN= NC= (1+t) SMNC= (1+t)2= (1+t)2 当 t= 时,SMNC=(1+t)2= 4 3 不存在某一时刻t,使射线 QN 恰好将 ABC 的面积和周长同时平分 (4)当 MP=MC 时(如图 1) 则有: NP=NC 即 PC=2NC 4-t=2 (1+t) 解得: t= 当 CM=CP
10、时(如图 2) 则有: (1+t)=4-t 解得: t= 当 PM=PC 时(如图 3) 则有: 在 RtMNP 中,PM2=MN2+PN2 而 MN= NC= (1+t) PN=NC-PC= (1+t)-(4-t)=2t-3 (1+t)2+(2t-3 )2=(4-t)2 解得: t1= ,t2=-1(舍去) 当 t= ,t= ,t= 时, PMC 为等腰三角形 点评: 此题繁杂,难度中等,考查平行四边形性质及等腰三角形性质考查学生分类 讨论和数形结合的数学思想方法 4. 如图,在矩形 ABCD 中,BC=20cm ,P,Q,M,N 分别从 A,B,C,D 出发 沿 AD,BC,CB,DA 方
11、向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运 动边的另一个端点时,运动即停止已知在相同时间内,若BQ=xcm (x0 ) , 则 AP=2xcm ,CM=3xcm ,DN=x2cm (1)当 x 为何值时,以 PQ,MN 为两边,以矩形的边(AD 或 BC)的一部分 为第三边构成一个三角形; (2)当 x 为何值时,以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形; (3)以 P,Q,M,N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求x 的值; 如果不能,请说明理由 分析: 以 PQ,MN 为两边,以矩形的边( AD 或 BC)的一部分为第三边构成一个三角 形的必须条件是点P、N 重合且点Q、M
12、 不重合,此时AP+ND=AD即 2x+x2=20cm ,BQ+MCBC即 x+3x20cm;或者点 Q、M 重合且点 P、N 不 重合,此时 AP+ND AD即 2x+x220cm ,BQ+MC=BC 即 x+3x=20cm 所以 可以根据这两种情况来求解x 的值 以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形的话,因为由第一问可知点Q 只 能在点 M 的左侧当点 P 在点 N 的左侧时, AP=MC ,BQ=ND ;当点 P 在点 N 的右侧时, AN=MC ,BQ=PD 所以可以根据这些条件列出方程关系式 如果以 P,Q,M,N 为顶点的四边形为等腰梯形,则必须使得AP+ND AD即 2
13、x+x220cm,BQ+MCBC即 x+3x20cm,AP=ND 即 2x=x2 ,BQ=MC 即 x=3x ,x0 这些条件不能同时满足,所以不能成为等腰梯形 解答: 解: (1)当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时,以 PQ,MN 为两边,以矩 形的边( AD 或 BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形 当点 P 与点 N 重合时,由 x2+2x=20 ,得 x1= -1,x2=- -1(舍去) 因为 BQ+CM=x+3x=4 (-1)20,此时点 Q 与点 M 不重合 所以 x= -1 符合题意 当点 Q 与点 M 重合时,由 x+3x=20 ,得 x=5 此时 DN=x
14、2=25 20,不符合题意 故点 Q 与点 M 不能重合 所以所求 x 的值为-1 (2)由( 1)知,点 Q 只能在点 M 的左侧, 当点 P 在点 N 的左侧时, 由 20-(x+3x )=20-(2x+x2 ) , 解得 x1=0 (舍去) ,x2=2 当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形 当点 P 在点 N 的右侧时, 由 20-(x+3x )=(2x+x2 )-20, 解得 x1=-10 (舍去) ,x2=4 当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形 所以当 x=2 或 x=4 时,以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形 (3)过点 Q,M 分别作 AD 的垂线,
15、垂足分别为点E,F 由于 2xx, 所以点 E 一定在点 P 的左侧 若以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是等腰梯形, 则点 F 一定在点 N 的右侧,且 PE=NF, 即 2x-x=x2-3x 解得 x1=0 (舍去) ,x2=4 由于当 x=4 时,以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形, 所以以 P,Q,M,N 为顶点的四边形不能为等腰梯形 点评: 本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点 5. 如图, 在梯形 ABCD 中, ADBC, B=90 , AB=14cm , AD=15cm , BC=21cm , 点 M 从点 A 开始,沿边 AD 向点 D 运动,速
16、度为 1cm/s ;点 N 从点 C 开始, 沿边 CB 向点 B 运动,速度为 2cm/s 、点 M、N 分别从点 A、C 出发,当其中 一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t 秒 (1)当 t 为何值时,四边形MNCD 是平行四边形? (2)当 t 为何值时,四边形MNCD 是等腰梯形? 分析: (1)根据平行四边形的性质,对边相等,求得t 值; (2)根据等腰梯形的性质,下底减去上底等于12,求解即可 解答: 解: (1) MDNC,当 MD=NC ,即 15-t=2t ,t=5 时,四边形 MNCD 是平行 四边形; (2)作 DEBC,垂足为 E,则 CE=21-15=
17、6 ,当 CN-MD=12 时,即 2t-(15-t) =12,t=9 时,四边形 MNCD 是等腰梯形 点评: 考查了等腰梯形和平行四边形的性质,动点问题是中考的重点内容 6. 如图,在直角梯形 ABCD 中,ADBC,C=90 ,BC=16 ,DC=12 ,AD=21 , 动点 P 从点 D 出发,沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动,动点Q 从点 C 出发,在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点B 运动, P、Q 分别 从点 D、C 同时出发,当点 Q 运动到点 B 时,点 P 随之停止运动,设运动时间 为 t(s) (1)设 BPQ 的面积为 S,求 S 与 t
18、之间的函数关系; (2)当 t 为何值时,以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形? 分析: (1)若过点 P 作 PMBC 于 M,则四边形 PDCM 为矩形,得出 PM=DC=12 , 由 QB=16-t ,可知: s= PM QB=96-6t ; (2)本题应分三种情况进行讨论,若PQ=BQ ,在 RtPQM 中,由 PQ2=PM2+MQ2 ,PQ=QB ,将各数据代入,可将时间t 求出; 若 BP=BQ ,在 RtPMB 中,由 PB2=BM2+PM2 ,BP=BQ ,将数据代入, 可将时间 t 求出; 若 PB=PQ ,PB2=PM2+BM2 ,PB=PQ ,将数据代入,可将时
19、间t 求出 解答: 解: (1)过点 P 作 PMBC 于 M,则四边形 PDCM 为矩形 PM=DC=12 , QB=16-t , s= ?QB?PM= (16-t ) 12=96-6t (0t ) (2)由图可知, CM=PD=2t ,CQ=t,若以 B、P、Q 为顶点的三角形是等腰三 角形,可以分三种情况 : 若 PQ=BQ , 在 RtPMQ 中,PQ2=t2+122 , 由 PQ2=BQ2 得 t2+122=(16-t) 2,解得; 若 BP=BQ , 在 RtPMB 中,PB2=(16-2t ) 2+122 ,由 PB2=BQ2 得(16-2t ) 2+122= (16-t)2,此
20、方程无解, BP PQ 若 PB=PQ ,由 PB2=PQ2 得 t2+122= (16-2t )2+122 得,t2=16(不 合题意,舍去) 综上所述,当或时,以 B、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角 形 点评: 本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题(2)时,应注意分情况进行讨论, 防止在解题过程中出现漏解现象 7. 直线 y=- 34x+6 与坐标轴分别交于A、B 两点,动点 P、Q 同时从 O 点出发, 同时到达 A 点,运动停止点Q 沿线段 OA 运动,速度为每秒1 个单位长度, 点 P 沿路线 O? B? A 运动 (1)直接写出 A、B 两点的坐标; (2)设点 Q 的运动时间
21、为 t(秒) ,OPQ 的面积为 S,求出 S 与 t 之间的函 数关系式; (3)当 S= 485 时,求出点 P 的坐标,并直接写出以点O、P、Q 为顶点的平 行四边形的第四个顶点M 的坐标 分析: (1)分别令 y=0,x=0 ,即可求出 A、B 的坐标; (2) )因为 OA=8 ,OB=6 ,利用勾股定理可得AB=10 ,进而可求出点Q 由 O 到 A 的时间是 8 秒,点 P 的速度是 2,从而可求出, 当 P 在线段 OB 上运动(或 0t 3)时, OQ=t,OP=2t ,S=t2 ,当 P 在线段 BA 上运动(或 3t 8)时,OQ=t ,AP=6+10-2t=16-2t
22、,作 PDOA 于点 D, 由相似三角形的性质,得PD=48-6t5 ,利用 S= 12OQ PD,即可求出答案; (3)令 S= 485,求出 t 的值,进而求出OD、PD,即可求出 P 的坐标,利用 平行四边形的对边平行且相等,结合简单的计算即可写出M 的坐标 解答: 解: (1)y=0,x=0,求得 A(8,0)B(0,6) , (2)OA=8,OB=6 ,AB=10 点 Q 由 O 到 A 的时间是81=8(秒) , 点 P 的速度是6+108=2 (单位长度 /秒) 当 P 在线段 OB 上运动(或 O t 3 )时, OQ=t ,OP=2t ,S=t2 当 P 在线段 BA 上运动
23、(或 3t 8)时, OQ=t ,AP=6+10-2t=16-2t, 如图,做 PDOA 于点 D, 由 PDBO=APAB ,得 PD= 48-6t5 S= 12OQ?PD=- 35t2+245t (3)当 S= 485 时, 48512 3 6点 P 在 AB 上 当 S= 485 时,- 35t2+245t= 485 t=4 PD= 48-645= 245 ,AD=16-2 4=8 AD= 82-(245)2= 325 OD=8- 325= 85 P( 85, 245) M1( 285, 245) ,M2(- 125, 245) ,M3( 125,- 245) 点评: 本题主要考查梯形的
24、性质及勾股定理在解题(2)时,应注意分情况进行讨论, 防止在解题过程中出现漏解现象 动点问题及四边形难题 1 如图 1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO 是菱形,点A的坐标为( 3,4) , 点 C在 x 轴的正半轴上,直线AC交 y 轴于点 M ,AB边交 y 轴于点 H (1)求直线AC的解析式; (2)连接 BM ,如图 2,动点 P从点 A出发,沿折线ABC方向以 2 个单位秒的速度向终点 C匀速运动,设PMB 的面积为S(S0) ,点 P的运动时间为t 秒,求 S与 t 之间的函数关 系式(要求写出自变量t 的取值范围) ; 2. 已知:如图,在直角梯形 COAB中
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