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1、精品文档 . 2016 年高考模拟数学试题(全国新课标卷) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分. 共 150 分.考试时间120 分 钟 第卷 一、选择题:本大题共12 小题,每小题5 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的 1i为虚数单位 ,复数 i i 1 3 = Ai2Bi2C2iD2i 2等边三角形ABC的边长为1,如果,BCa CAb ABc u uu rr u uu rr uu u rr 那么a bb cc a r rr rr r 等于 A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 3已知集合 4|4| 2 xxZxA, 8 1 2 1 | y NyB
2、,记Acard为集合 A 的元素 个数,则下列说法不正确 的是 A5cardAB3cardBC2)card(BAD5)card(BA 4一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的侧 视图的面积为 A63 B8 C83 D12 5过抛物线 2 4yx的焦点作直线交抛物线于点 1122,P xyQ xy 两点,若 12 6xx, 则 PQ 中点 M 到抛物线准线的距离为 A5 B 4 C3 D2 6下列说法正确的是 A互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件 B互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件 C事件 A、B 中至少有一个发生的概率一定比A、B 中恰有一个发生
3、的概率大 D事件 A、B 同时发生的概率一定比A、B 中恰有一个 发生的概率小 7如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的S为 A 1030020 ()ax axaa x的值 B 3020100 ()ax axaa x的值 C 0010230 ()axax aa x的值 D 2000310 ()axaxaa x的值 输入 开始 01230 ,aa aax 3 3,kSa 输出S 结束 0k 0k SaSx 1kk 否 是 精品文档 . 8若 (9x 1 3 x )n(nN *)的展开式的第 3 项的二项式系数为36,则其展开式中的常数项为 A252 B 252 C84 D 84 9若 S1 1
4、 21 xdx, S 2 1 2(lnx1)dx,S3 1 2xdx,则 S 1,S2,S3的大小关系为 AS1 S2S3B S2 S1S3CS1S3S2D S3S1S2 10在平面直角坐标系中,双曲线 22 1 124 xy 的右焦点为F,一条过原点O 且倾斜角为锐角的 直线l与双曲线C 交于 A,B 两点。若 FAB 的面识为8 3,则直线l的斜率为 A 13 132 B 2 1 C 4 1 D 7 7 11已知三个正数a, b,c 满足acba3, 22 5)(3bcaab,则以下四个命题正确 的是 p1:对任意满足条件的a、b、c,均有 b c;p2:存在一组实数a、b、c,使得 bc
5、; p3: 对任意满足条件的a、b、c, 均有 6b 4a+c;p4: 存在一组实数a、b、c, 使得 6b4a+c. Ap1,p3Bp1,p4Cp2,p3Dp2,p4 12四次多项式)(xf的四个实根构成公差为2 的等差数列,则( )fx的所有根中最大根与 最小根之差是 A2 B2 3 C4 D52 精品文档 . 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第13 题 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答, 第 22 题 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题包括4 小题,每小题 5 分. 13某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据(单位:百万元) x 2 4
6、5 6 8 y 30 40 60 t70 根据上表提供的数据,求出y 关于x 的线性回归方程为y 6.5x17.5,则表中t 的值 为 14已知函数ysin x( 0)在区间 0, 2上为增函数,且图象关于点 (3 ,0)对称,则 的 取值集合为 15已知球的直径SC 4,A,B 是该球球面上的两点,AB2, ASC BSC45 ,则 棱锥 S-ABC 的体积为 16等比数列 an中,首项a12,公比 q3,anan1 am720(m,nN *,mn), 则 mn 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 (本小题满分12 分) 在ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为a
7、,b,c,证明: (1)coscosbCcBa; (2) 2 2sin coscos 2 C AB abc . 18 (本小题满分12 分) 直三棱柱 111 CBAABC的所有棱长都为2,D 为 CC1 中点 (1)求证:直线BDAAB 11 平面; (2)求二面角BDAA 1 的大小正弦值; 19 (本小题满分12 分) 对某交通要道以往的日车流量(单位:万辆)进行统计,得到如下记录: 日车流量 x 50x105x1510x2015x2520x25x 频率0.05 0.25 0.35 0.25 0.10 0 将日车流量落入各组的频率视为概率,并假设每天的车流量相互独立 (1)求在未来连续3
8、 天里,有连续2 天的日车流量都不低于10 万辆且另1 天的日车流量 低于 5 万辆的概率; (2)用 X 表示在未来3 天时间里日车流量不低于10 万辆的天数,求X 的分布列和数学期 望 精品文档 . 20 (本小题满分12 分) 已知椭圆C:)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦距为2且过点) 2 3 , 1( (1)求椭圆C 的标准方程; (2)若椭圆C 的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点 12 ,F F ,求该平行四边形面 积的最大值 21 (本小题满分12 分) 设函数xcbxaxxfln)( 2 , (其中cba,为实常数) (1)当1,0 cb时,讨论)(x
9、f的单调区间; (2)曲线)(xfy(其中0a)在点)1(f1( ,处的切线方程为33xy, ()若函数)(xf无极值点且)( xf存在零点,求cba,的值; ()若函数)(xf有两个极值点,证明)(xf的极小值小于 4 3 . 请考生在22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10 分)选修41:几何证明选讲. 如图AB是圆O的一条弦,过点A作圆的切线AD,作 BCAC,与该圆交于点D,若2 3AC,2CD. (1)求圆O的半径; (2)若点E为AB中点,求证,O E D三点共线 . 23.(本小题满分10 分)选修44:坐标系与参数方程选讲.
10、 在直角坐标系xOy中,曲线 1 C的参数方程为 2 2cos () sin2 x y 是参数,以原点O为极 点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程为 1 sincos . (1)求曲线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程; (2)求曲线 1 C上的任意一点P到曲线 2 C的最小距离,并求出此时点P的坐标 . 24.(本小题满分10 分)选修45:不等式选讲 . 设函数( )|2|fxxaa. (1) 若不等式( )6f x的解集为|23xx,求实数a的值; (2) 在(1)条件下,若存在实数n,使得( )()f nmfn恒成立,求实数m的取值范围 . 精品文档
11、. 2016 年高考模拟数学试题(全国新课标卷)参考答案 一、选择题:本大题包括12 小题,每小题5 分。 1-12 BDAA BBCC ABCD 二、填空题: 13. 50 14. 1 3, 2 3,1 15. 43 3 16.9 三、解答题 : 17.证法一:(余弦定理法) (1) 2222222 2 coscos 222 abcacba bCcBbca abaca (2) 222222 223223222 coscos 22 2 2()2 acbbca AB acbc abab abacaa bbcbababc abc ababc 222 2 22212sin 1cos2 22 2 ac
12、bC Cababc ac cccabc ,所以等式成立 证法二:(正弦定理法) (1)在ABC 中由正弦定理得2 sin,2 sinbRB cRC,所以 coscos2sincos2sincos 2sin()2 sin bCcBRBCRCB RBCRAa (2)由( 1)知coscosbCcBa, 同理有coscosaCcAb 所以coscoscoscosbCcBaCcAab 即 2 (coscos )()(1cos)() 2sin 2 C cBAabCab 所以 2 2sin coscos 2 C AB abc 18. 解: (1)取BC中点O,连结AO ABC为正三角形,BCAO 111
13、CBAABC直棱柱 11B BCCABC平面平面且相交于BC 11B BCCAO平面 取 11C B中点 1 O,则 11/ BB OOBCOO1 以O为原点,如图建立空间直角坐标系xyzO, 精品文档 . 则 )0,0, 1(,0,2, 1,3,0,0,3, 2, 0,0 ,1 , 1,0, 0, 1 11 CBAADB 3,2 , 1,0, 1 , 2,3, 2, 1 11 BABDAB 0, 0 111 BAABBDAB, 111 ,BAABBDAB 1 AB平面 1 A BD ( 2)设平面ADA1的法向量为zyxn, 0,2,0,3, 1 , 1 1 AAAD , 1 AAnADn
14、02 03 y zyx 令1z得1 , 0,3n为平面ADA 1 的一个法向量 由( 1)3,2 , 1 1 AB为平面 1 A BD的法向量 4 6 ,cos 1 ABn 所以二面角BDAA 1 的大小的正弦值为 4 10 19.解: ()设A1表示事件“日车流量不低于 10 万辆”, A2表示事件“日车流量低于5 万辆”, B 表示事件“在未来连续3 天里有连续2 天日车流量不低于10 万辆且另1 天车流 量低于 5 万辆”则 P(A1)0.350.250.100.70, P(A2)0.05, 所以 P(B)0.70.70.05 20.049 ()X可能取的值为0,1,2, 3,相应的概率
15、分别为 027.0)7 .01 ()0( 30 3 CXP, 189.0)7 .01(7.0)1( 21 3 CXP, 441.0)7.01(7.0)2( 22 3 CXP, 343.07 .0)3( 33 3 CXP. X 的分布列为 X 0123 P 0.0270.1890.4410.343 因为 XB(3, 0.7),所以期望E(X)30.72.1. 精品文档 . 20.解: (1)由已知可得 ,1 4 91 , 222 22 22 ba bac 解得 a24,b23, 所以椭圆 C 的标准方程是1 34 22 yx . (2)由已知得: 12 2F F,由于四边形ABCD 是椭圆的内接
16、四边形, 所以原点 O 是其对称中心,且 12 2 ABCDABF F SS Y 四边形 1211212 22 AF FAF BAF FBF F SSSS 12 2 ABAD F Fyyyy, 当直线 AD 的斜率存在时,设其方程为1yk x, 代入椭圆方程,整理得: 2222 344120kxk xk , 由韦达定理得: 22 22 8412 , 3434 ADAD kk xxx x kk , 22 222 22 2 2 1441 4 34 ADADADAD kk yykxxkxxx x k , 22 2 22 22 1441 89 226 16 3434 ABCDAD kk k Syy k
17、k Y , 当直线 AD 的斜率不存在时,易得: 33 1,1, 22 AD,26 ABCDAD Syy Y , 综上知,符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是 6 21. 解: (1)当1,0 cb时 x ax x axxf 121 2)( 2 ,)0(x 1 分 当0a时,0)( xf很成立,)(xf在),0(上是增函数;2 分 当0a时,令0)( xf得 a x 2 1 或 a x 2 1 (舍)3 分 令0)( xf得 a x 2 1 0;令0)( xf得 a x 2 1 )(xf在上) 2 1 ,0( a 是增函数,在), 2 1 ( a 上是减函数4 分 G O D C B A F
18、1F2 y x 精品文档 . (2) (i) x c baxxf2)( 由题得 3)1 ( 0)1 ( f f , 即 32 0 cba ba ac ab 3 则xaaxaxxfln)3()( 2 , x aaxax x a aaxxf 323 2)( 2 ()由 )(xf无极值点且)( xf存在零点,得0)3(8 2 aaa)0(a 解得 3 8 a,于是 3 8 b, 3 1 c ()由 (i)知)0( 32 )( 2 x x aaxax xf,要使函数)(xf有两个极值点,只要方 程032 2 aaxax有两个不等正根, 设两正根为 21, x x,且 21 xx,可知当 2 xx时有极
19、小值)( 2 xf其中这里, 4 1 0 1 x由 于对称轴为 4 1 x,所以 2 1 x 4 1 2 , 且032 2 2 2 aaxax,得 12 3 2 2 2 xx a 【也可用以下解法:由 ()知)0( 32 )( 2 x x aaxax xf,要使函数)(xf有两个极 值点,只要方程032 2 aaxax有两个不等正根, 那么实数a应满足 0 )2(2 03 0)3(8 2 a a a aaa ,解得3 3 8 a, aa aaaa x 24 9 4 1 4 1 4 )3(8 2 2 3 3 8 a1 24 90 a 即 2 1 x 4 1 2 】 所以有 22 2 22 ln)
20、3()(xaaxaxxf 精品文档 . 12 )ln( 3 ln3ln3)ln( 2 2 2 22 2 2 2222 2 2 xx xxx xxxxxa) 2 1 x 4 1 ( 2 而 2 2 2 2 22 2 22 2 ) 12( )ln)(14( 3 )( xx xxxx xf, 记xxxxgln)( 2 ,) 1 4 1 (x, 有0 )1)(12( )( x xx xg对 1 , 4 1 (x恒成立, 又0) 1(g,故对) 2 1 , 4 1 (x恒有) 1()(gxg,即0)(xg 0)( 2 xf对于 2 1 x 4 1 2 恒成立即)( 2 xf在 2 1 , 4 1 上单调
21、递增, 故 4 3 ) 2 1 ()(f 2 fx 22解:(1) 取BD中点为 F,连结 OF ,由题意知, / /OFAC , OFAC ACQ为圆 O 的切线, BC 为割线 2 CACD CB ,由2 3,2ACCD,6,4,2BCBDBF 在 Rt OBF 中,由勾股定理得, 22 4rOBOFBF . (2) 由(1)知,/ /,OABD OABD 所以四边形 OADB 为平行四边形,又因为E为AB的中点, 所以 OD 与AB交于点E,所以,O E D三点共线 . 23.解: (1) 由题意知, 1C 的普通方程为 22 (1)1xy 2C 的直角坐标方程为1yx . (2) 设(1 cos2 ,sin 2 )P,则 P到 2 C 的距离 2 | 22cos(2)| 24 d,当 cos(2)1 4 ,即 3 22() 4 kkZ时,d取最小值21, 此时P点坐标为 22 (1,) 22 . 24.解: (1) 由( )6f x,得626(6)axaa a,即其解集为|33x ax,由题意 知( )6f x的解集为 |23xx,所以1a. (2) 原不等式等价于,存在实数n,使得( )()|12 |12 | 2mf nfnnn恒成立, 即 min|12 |12 |2mnn,而由绝对值三角不等式,|12 |12 |2nn, 从而实数4m.
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