初中数学规律题大全及习题练习..pdf
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1、初中数学规律题汇总 “有比较才有鉴别”。通过比较, 可以发现事物的相同点和不同点,更容易找到 事物的变化规律。 找规律的题目, 通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们 根据这些已知的量找出一般规律。 揭示的规律,常常包含着事物的序列号。 所以, 把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。 初中数学考试中,经常出现数列的找规律题,本文就此类题的解题方法进 行探索: 一、基本方法 看增幅 (一)如增幅相等(实为等差数列) :对每个数和它的前一个数进行比较,如 增幅相等,则第 n 个数可以表示为: a1+(n-1)b ,其中 a 为数列的第一位数, b 为增幅, (n-1)b 为第
2、一位数到第n 位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b 。 例:4、10、16、22、28 ,求第 n 位数。 分析:第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅都是 6,所以,第 n 位数 是:4+(n-1) 6 6n2 (二)如增幅不相等,但是增幅以同等幅度增加(即增幅的增幅相等,也即 增幅为等差数列)。如增幅分别为 3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加。此种 数列第 n 位的数也有一种通用求法。 基本思路是: 1、求出数列的第 n-1 位到第 n 位的增幅; 2、求出第 1 位到第第 n 位的总增幅; 3、数列的第 1 位数加上总增幅即是第n 位数。 此解法虽然较烦,但是此类题的通用
3、解法,当然此题也可用其它技巧,或用 分析观察的方法求出,方法就简单的多了。 (三)增幅不相等,但是增幅同比增加,即增幅为等比数列,如:2、3、5、 9,17 增幅为 1、2、4、8. (四)增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加(即增幅的增幅也不相等)。 此类题大概没有通用解法, 只用分析观察的方法, 但是,此类题包括第二类的题, 如用分析观察法,也有一些技巧。 二、基本技巧 (一)标出序列号:找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要 求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律,通常包序列号。所以,把 变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。 例如,观察下列各式数:
4、0,3,8,15,24,。试按此规律写出的第 100 个数是 100 2 1 ,第 n 个数是 n1 2 。 解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100 个数。我 们把有关的量放在一起加以比较: 给出的数: 0,3,8,15,24,。 序列号:1,2,3, 4, 5,。 容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1。因此,第 n 项 是 2 n-1,第 100 项是 2 1001 (二)公因式法:每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与 n,或 2n、3n 有关。 例如: 1,9,25,49, (81) , (121) ,的第 n 项为( 2 ) 12(
5、n) , 1,2,3,4,5 。 。 。 。 。 。 ,从中可以看出 n=2 时,正好是 22-1 的平方 ,n=3 时, 正好是 23-1 的平方,以此类推。 (三)看例题: A: 2、9、28、65.增幅是 7、19、37,增幅的增幅是12、18 答案与 3 有关且是 n 的 3 次幂,即:n 3 +1 B:2、4、8、16. 增幅是 2、4、8 . 答案与 2 的乘方有关即: n 2 (四)有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后 用(一) 、 (二) 、 (三)技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第 一位数,恢复到原来。 例:2、5、10、17、26 ,
6、同时减去 2 后得到新数列:0、3、8、15、24 , 序列号: 1、2、3、4、5,从顺序号中可以看出当n=1 时,得 1*1-1 得 0,当 n=2 时,2*2-1 得 3,3*3-1=8,以此类推,得到第n 个数为 1 2 n 。再看原数列 是同时减 2 得到的新数列,则在 1 2 n 的基础上加 2,得到原数列第 n 项1 2 n (五)有的可对每位数同时加上, 或乘以,或除以第一位数, 成为新数列,然后, 在再找出规律,并恢复到原来。 例 : 4,16,36,64,?, 144,196, ?(第一百个数) 同除以 4 后可得新数列: 1、4、9、16,很显然是位置数的平方,得到新数列
7、 第 n 项即 n 2 ,原数列是同除以 4 得到的新数列, 所以求出新数列n 的公式后再 乘以 4 即,4 n 2 ,则求出第一百个数为4*100 2 =40000 (六)同技巧(四)、 (五)一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除 同一数(一般为 1、2、3) 。当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或 除的不太常见。 (七)观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列, 再分别找规律。 三、基本步骤 1、 先看增幅是否相等,如相等,用基本方法(一)解题。 2、 如不相等,综合运用技巧(一) 、 (二) 、 (三)找规律 3、 如不行,就运用技巧(四)、 (五) 、
8、 (六) ,变换成新数列,然后运用技巧 (一) 、 (二) 、 (三)找出新数列的规律 4、 最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法(二)解题 四、练习题 例 1:一道初中数学找规律题 0,3,8,15,24, 2,5,10,17,26, 0,6,16,30,48 (1)第一组有什么规律? 答:从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。 (2)第二、三组分别跟第一组有什么关系? 答:第一组是位置数平方减一,那么第二组每项对应减去第一组每项,从中 可以看出都等于2,说明第二组的每项都比第一组的每项多2,则第二组第 n 项 是:位置数平方减1 加 2,得位置数平方加1 即1 2 n。 第三组可以
9、看出正好是第一组每项数的2 倍,则第三组第 n 项是:12 2 n (3)取每组的第 7 个数,求这三个数的和? 答:用上述三组数的第n 项公式可以求出,第一组第七个数是7 的平方减一 得 48,第二组第七个数是7 的平方加一得 50,第三组第七个数是2 乘以括号 7 的平方减一得 96,48+50+96=194 2、观察下面两行数 2,4,8,16,32,64, (1) 5,7,11,19,35,67 (2) 根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和。(要求写出最后的计算结 果和详细解题过程。) 解: 第一组可以看出是2 n , 第二组可以看出是第一组的每项都加3, 即 2 n +3,
10、 则第一组第十个数是2 10 =1024,第二组第十个数是2 10 +3 得 1027,两项相加 得 2051。 3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子,前 2002 个中 有几个是黑的? 解:从数列中可以看出规律即:1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,., 每二项中后项减前项为0,1,2,3,4,5,正好是等差数列,并且数列中 偶项位置全部为黑色珠子,因此得出2002 除以 2 得 1001,即前 2002 个中有 1001 个是黑色的。 4、 22 13=8 22 35=16 22 57=24 用含有 N 的代数式表示规律 解:被减数是不包含1 的奇数的平方,减数是包括
11、1 的奇数的平方,差是8 的倍数, 奇数项第 n 个项为 2n-1 , 而被减数正是比减数多2, 则被减数为 2n-1+2, 得 2n+1 ,则用含有 n 的代数式表示为: 22 1212nn=8n。 写出两个连续自然数的平方差为888 的等式 解:通过上述代数式得出,平方差为888 即 8n=8X111, 得出 n=111,代入公 式: (222+1) 2 -(222-1 ) 2 =888 五、对于数表 1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律 2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差 六、数字推理基本类型 按数字之间的关系,可将数字推理题分为以下几种类型: 1.和差
12、关系。又分为等差、移动求和或差两种。 (1)等差关系。 12,20,30,42,( 56 ) 127,112,97,82,( 67 ) 3,4,7,12,( 19 ),28 (2)移动求和或差。从第三项起,每一项都是前两项之和或差。 1,2,3,5,( 8 ),13 A.9 B.11 C.8D.7 选 C。1 +2=3 ,2+ 3=5 ,3+ 5=8 ,5+ 8=13 0,1,1,2,4,7,13,( 24) A.22B.23C.24D.25 选 C。注意此题为前三项之和等于下一项。一般考试中不会变态到要你求前 四项之和,所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。 5,3,2,1,1,(0 )
13、A.-3 B.-2 C.0D.2 选 C。前两项相减得到第三项。 2.乘除关系。又分为等比、移动求积或商两种 (1)等比,从第二项起,每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数 列。 8,12,18,27,(40.5) 后项与前项之比为1.5。 6,6,9,18,45,(135)后项与前项之比为等差数列,分别为1,1.5,2, 2.5,3 (2)移动求积或商关系。从第三项起,每一项都是前两项之积或商。 2,5,10,50,(500) 100,50,2,25,(2/25) 3,4,6,12,36,(216) 从第三项起,第三项为前两项之积除以2 1,7,8,57,(457)第三项为前两项之积加
14、1 3.平方关系 1,4,9,16,25,(36),49 为位置数的平方。 66,83,102,123,(146) ,看数很大, 其实是不难的, 66 可以看作 64+2, 83 可以看作 81+2,102 可以看作 100+2,123 可以看作 121+2 ,以此类推,可 以看出是 8,9,10,11,12 的平方加 2 4.立方关系 1,8,27,(81),125 位置数的立方。 3,10,29,(83),127位置数的立方加2 0,1,2,9,(730)后项为前项的立方加1 5.分数数列。 关键是把分子和分母看作两个不同的数列,有的还需进行简单的通分, 则可得出 答案 2 1 3 4 4
15、 9 5 16 6 25 ( 7 36 )分子为等比即位置数的平方,分母为等差数 列,则第 n 项代数式为: 2 1n n 2/3 1/2 2/5 1/3(1/4)将 1/2 化为 2/4, 1/3 化为 2/6, 可得到如下数列: 2/3, 2/4, 2/5, 2/6, 2/7, 2/8 .可知下一个为 2/9,如果求第 n 项代数式即: 2 2 n ,分解后得: 2 1 n n 6.、质数数列 2,3,5,(7),11 质数数列 4,6,10,14,22,(26) 每项除以 2 得到质数数列 20,22,25,30,37,(48) 后项与前项相减得质数数列。 7.、双重数列。 又分为三种:
16、 (1)每两项为一组,如 1,3,3,9,5,15,7,(21)第一与第二,第三与第四等每两项后项与 前项之比为 3 2,5,7,10,9,12,10,(13)每两项中后项减前项之差为3 1/7,14,1/21,42,1/36,72,1/52,(104 )两项为一组,每组的后项 等于前项倒数 *2 (2)两个数列相隔,其中一个数列可能无任何规律,但只要把握有规律变化 的数列就可得出结果。 22,39,25,38,31,37,40,36,(52) 由两个数列, 22,25,31,40, ( )和 39,38,37,36 组成,相互隔开,均为等差。 34,36,35,35,(36),34,37,(
17、33) 由两个数列相隔而成,一个递增, 一个递减 (3)数列中的数字带小数,其中整数部分为一个数列,小数部分为另一个数 列。 2.01,4.03, 8.04, 16.07,(32.11)整数部分为等比,小数部分为移动 求和数列。双重数列难题也较少。能看出是双重数列,题目一般已经解出。特 别是前两种,当数字的个数超过7 个时,为双重数列的可能性相当大。 8.、组合数列。 最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。 需要熟悉 前面的几种关系后,才能较好较快地解决这类题。 1,1,3,7,17,41,( 99 ) A.89B.99 C.109 D.119 选 B。此为移动求和与乘
18、除关系组合。第三项为第二项*2 加第一项,即 1X2+1=3 、3X2+1=7 ,7X2+3=17 ,17X2+7=41 ,则空中应为 41X2+17=99 65,35,17,3,( 1 ) A.1 B.2 C.0 D.4 选 A。平方关系与和差关系组合,分别为8 的平方加 1,6 的平方减 1,4 的平方加 1,2 的平方减 1,下一个应为 0 的平方加 1=1 4,6,10,18,34,( 66 ) A.50 B.64 C.66 D.68 选 C。各差关系与等比关系组合。依次相减,得2,4,8,16( ),可推知下 一个为 32,32 +34=66 6,15,35,77,( ) A.106
19、B.117C.136D.143 选 D。 此题看似比较复杂, 是等差与等比组合数列。 如果拆分开来可以看出, 6=2X3、15=3x5 、35=7X5 、77=11X7 ,正好是质数 2 、3,5,7、11 数列的后 项乘以前项的结果,得出下一个应为13X11=143 2,8,24,64,( 160 ) A.160B.512 C.124 D.164 选 A。此题较复杂, 幂数列与等差数列组合。 2=1X2 1的 1 次方,8=2X22 的 平方, 24=3*X2 3 ,64=4X2 4 ,下一个则为 5X2 5 =160 0,6,24,60,120,( 210 ) A.186B.210C.22
20、0D.226 选 B。和差与立方关系组合。 0=1 的 3 次方-1,6=2 的 3 次方 -2,24=3 的 3 次方-3,60=4 的 3 次方-4,120=5 的 3 次方 -5。空中应是 6 的 3 次方-6=210 1,4,8,14,24,42,(76 ) A.76 B .66 C.64 D.68 选 A。两个等差与一个等比数列组合依次相减,原数列后项减前项得3,4, 6,10,18,( 34 ),得到新数列后,再相减,得1,2,4,8,16,( 32 ), 此为等比数列,下一个为32,倒推到 3,4,6,8,10,34,再倒推至 1,4,8, 14,24,42,76,可知选 A。
21、9.、其他数列。 2,6,12,20,( 30 ) A.40 B.32 C.30 D.28 选 C。2=1*2,6=2*3,12=3*4 ,20=4*5 ,下一个为 5*6=30 1,1,2,6,24,( 120 ) A.48 B.96 C.120D.144 选 C。后项 =前项 X 递增数列。 1=1*1,2=1*2,6=2*3 ,24=6*4,下一个为 120=24*5 1,4,8,13,16,20,( 25 ) A.20 B.25 C.27 D.28 选 B。每 4 项为一重复, 后期减前项依次相减得3,4,5。下个重复也为 3, 4,5,推知得 25。 27,16,5,( 0 ),1/
22、7 A.16 B.1 C.0 D.2 选 B。依次为 3 的 3 次方, 4 的 2 次方, 5 的 1 次方, 6 的 0 次方, 7 的-1 次方。 四、解题方法 数字推理题难度较大, 但并非无规律可循, 了解和掌握一定的方法和技巧对 解答数字推理问题大有帮助。 1.快速扫描已给出的几个数字,仔细观察和分析各数之间的关系,尤其是前 三个数之间的关系, 大胆提出假设, 并迅速将这种假设延伸到下面的数,如果能 得到验证,即说明找出规律,问题即迎刃而解;如果假设被否定,立即改变思考 角度,提出另外一种假设,直到找出规律为止。 2.推导规律时往往需要简单计算,为节省时间,要尽量多用心算,少用笔算
23、或不用笔算。 3.空缺项在最后的,从前往后推导规律;空缺项在最前面的,则从后往前寻 找规律;空缺项在中间的可以两边同时推导。 (一)等差数列 相邻数之间的差值相等, 整个数字序列依次递增或递减。 等差数列是数字推 理测验中排列数字的常见规律之一。它还包括了几种最基本、 最常见的数字排列 方式: 自然数数列: 1,2,3,4,5,6 偶数数列: 2,4,6,8,10,12 奇数数列: 1,3,5,7,9,11,13 例题 1 :103,81,59,( 37 ),15。 A.68 B.42 C.37 D.39 解析:答案为 C。这显然是一个等差数列,前后项的差为22。 例题 2:2,5,8,( 1
24、1 )。 A.10 B.11 C.12 D.13 解析:从题中的前3 个数字可以看出这是一个典型的等差数列,即后面的 数字与前面数字之间的差等于一个常数。题中第二个数字为5, 第一个数字为 2, 两者的差为 3,由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律,那么在此基础上 对未知的一项进行推理,即8 +3=11 ,第四项应该是11,即答案为 B。 例题 3:123,456,789,( 1122 )。 A.1122 B.101112 C.11112 D.100112 解析:答案为 A。这题的第一项为123,第二项为 456,第三项为 789,三 项中相邻两项的差都是333,所以是一个等差数列,未知项
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