离散数学课后习题答案左孝凌版.pdf
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1、 Word 资料 . 1-1 ,1-2 (1) 解: a)是命题,真值为 T。 b)不是命题。 c)是命题,真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题,真值为 T。 f)是命题,真值为 T。 g)是命题,真值为 F。 h)不是命题。 i)不是命题。 (2) 解: 原子命题:我爱北京天安门。 复合命题:如果不是练健美操,我就出外旅游拉。 (3) 解: 、- a)(P R)Q b)QR c)P d)PQ (4) 解: a)设 Q:我将去参加舞会。 R:我有时间。 P:天下雨。 Q (RP):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设 R:我在看电视。 Q:我在吃苹果。 RQ:我在
2、看电视边吃苹果。 c) 设 Q:一个数是奇数。 R:一个数不能被 2 除。 (QR)(RQ):一个数是奇数, 则它不能被 2 整除并且一个数不能 被 2 整除,则它是奇数。 (5) 解: a)设 P:王强身体很好。 Q:王强成绩很好。 PQ b)设 P:小看书。 Q:小听音乐。 PQ Word 资料 . c)设 P:气候很好。 Q:气候很热。 PQ d)设 P: a 和 b 是偶数。 Q:a+b 是偶数。 PQ e)设 P:四边形 ABCD 是平行四边形。 Q :四边形 ABCD 的对边平 行。PQ f)设 P:语法错误。 Q:程序错误。 R:停机。 (P Q) R (6) 解: a)P:天气
3、炎热。 Q:正在下雨。PQ b)P:天气炎热。 R:湿度较低。PR c)R:天正在下雨。 S:湿度很高。RS d)A:英上山。 B:进上山。AB e)M:老王是革新者。 N:小是革新者。MN f)L:你看电影。 M:我看电影。LM g)P:我不看电视。 Q:我不外出。R:我在睡觉。PQR h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。PQ 1-3 (1)解: a)不是合式公式,没有规定运算符次序(若规定运算符次序后亦可 作为合式公式) b)是合式公式 c)不是合式公式( d)) e)不是合式公式( R和 S之间缺少联结词) f)是合式公式。 (2)解: a) A 是合式公式, (
4、AB)是合式公式, (A(AB) 是合式公式。 这 个过程可以简记为: A;(AB);(A(AB) 同理可记 b) A;A ;(AB) ;(AB)A) Word 资料 . c) A;A ;B;(AB) ;(BA) ;(AB)(BA) d) A;B;(AB) ;(BA) ;(AB)(BA) (3)解: a) (AC)(BC)A)(BC)A)(AC) b) (BA)(AB)。 (4)解: a) 是由 c) 式进行代换得到,在c) 中用 Q 代换 P, (PP)代换 Q. d) 是由 a) 式进行代换得到,在a) 中用 P(QP)代换 Q. e) 是由 b) 式进行代换得到, 用 R 代换 P, S
5、代换 Q, Q 代换 R, P代换 S. (5)解: a) P: 你没有给我写信。R: 信在途中丢失了。P Q b) P: 三不去。 Q: 四不去。 R: 他就去。(PQ)R c) P: 我们能划船。Q: 我们能跑步。(PQ) d) P: 你来了。 Q: 他唱歌。 R: 你伴奏。 P(QR) (6)解: P:它占据空间。Q:它有质量。R:它不断变化。S:它是物质。 这个人起初主: (PQR) S 后来主: (PQS)(SR) 这个人开头主与后来主的不同点在于:后来认为有 PQ 必同时有 R, 开头时没有这样的主。 (7)解: a) P: 上午下雨。Q:我去看电影。R:我在家里读书。S:我在家里
6、看 报。(PQ) (P(RS) b) P: 我今天进城。 Q:天下雨。 QP c) P: 你走了。Q:我留下。 QP 1-4 (4)解: a) PQQRP(QR)PQ(PQ)R Word 资料 . R TT T TT F TF T TF F FT T FT F FF T T F F F T F F F T F F F F F F F T T F F F F F F T F F F F F F F FF F 所以, P(QR) (PQ)R b) PQR Q R P (Q R) P Q (P Q) R TTT TTF TFT TFF FTT FTF Word 资料 . FFT FF F 所以, P
7、(QR) (PQ)R ) () ()() Word 资料 . 所以, P(QR) (PQ)(PR) ) PQPQPQ(PQ)PQ(PQ) TT TF FT FF F F T T F T F T F T T T F T T T F F F T F F F T 所以, (PQ) PQ,(PQ) PQ (5)解:如表,对问好所填的地方,可得公式F1F6,可表达为 PQRF1F2F3F4F5F6 TTTTFTTFF TTFFFTFFF TFTTFFTTF TFFFTFTTF FTTTFFTTF FTFTFFFTF FFTTFTTTF FFFFTFTTT F1:(QP)R F2:(P Q R)(PQR)
8、 F3:(P Q)(QR) F4:(PQR)(PQR) F5:(PQR)(PQR) Word 资料 . F6:(PQR) (6) PQ 1 234 56789 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 F F F TF TFTFTF TFTFTFT F TF FTTFFTTF FTT FFTT T FF FFFTTTTF FFFTTTT T TF FFFFFFFT TTTTTTT 解:由上表可得有关公式为 1.F2.(PQ)3.(Q P)4.P 5.(PQ)6.Q7. (PQ)8.(PQ) 9.P Q10.PQ11.Q12.PQ 13.P14.QP15.P Q16.T (7) 证
9、明: a) A(BA)A(BA) A(AB) A(AB) A(AB) b) (AB) (AB)(AB) (AB)(AB) (AB)(AB) 或 (AB) (AB)(BA) (AB)(BA) (AB)(AA)(BB)(BA) Word 资料 . (AB)(BA) (AB)(AB) (AB)(AB) c) (AB) (AB)AB d) (AB)(AB)(BA) (AB)(BA) (AB)(AB) e) (ABC)D)(C(ABD) (ABC)D)(C(ABD) (ABC)D)(ABC)D) (ABC)(ABC)D (ABC)(ABC)D (AB)(AB)C)D (C(AB)D) f)A(BC) A
10、(BC) (AB)C (AB)C (AB)C g) (AD)(BD)(AD)(BD) (AB)D (AB)D (AB)D h) (AB)C)(B(DC) (AB)C)(B(DC) (AB)(BD)C (AB) (DB)C (AB)(DB)C (AD)B)C (B(DA)C (8)解: Word 资料 . a) (AB) (BA)C (AB) (BA)C (AB) (AB)C TCC b) A(A(BB) (AA)(BB) TF T c) (ABC)(ABC) (AA) (BC) T(BC) BC (9)解: 1)设 C 为 T,A 为 T,B 为 F,则满足 ACBC,但 AB 不成立。 2)
11、设 C 为 F,A 为 T,B 为 F,则满足 ACBC,但 AB 不成立。 3)由题意知 A 和B 的真值相同, 所以 A 和 B 的真值 也相同。 习题 1-5 (1) 证明: a) (P(PQ)Q (P(PQ)Q (PP)(PQ)Q (PQ)Q (PQ)Q PQQ PT T b) P(PQ) P(PQ) (PP)Q TQ T Word 资料 . c) (PQ)(QR)(PR) 因为(PQ)(QR)(PR) 所以(PQ)(QR)为重言式。 d) (ab)(bc) (ca)(ab)(bc)(ca) 因为(ab)(bc)(ca) (ac)b)(ca) (ac)(ca)(b(ca) (ac)(b
12、c)(ba) 所以(ab)(bc) (ca)(ab)(bc)(ca) 为重言 式。 (2) 证明: a)(PQ)P(PQ) 解法 1: 设 PQ 为 T (1)若 P 为 T,则 Q 为 T,所以 PQ 为 T,故 P(PQ)为 T (2)若 P 为 F,则 Q 为 F,所以 PQ 为 F,P(PQ)为 T 命题得证 解法 2: 设 P(PQ)为 F,则 P 为 T,(PQ)为 F,故必有 P 为 T,Q 为 F,所以 PQ 为 F。 解法 3: (PQ) (P(PQ) (PQ)(P(PQ) (PQ)(PP)(PQ) T 所以(PQ)P(PQ) b)(PQ)QPQ 设 PQ 为 F,则 P 为
13、 F,且 Q 为 F, 故 PQ 为 T,(PQ)Q 为 F, 所以(PQ)QPQ。 Word 资料 . c)(Q(PP)(R(R(PP)RQ 设 RQ 为 F,则 R 为 T,且 Q 为 F,又 PP 为 F 所以 Q(PP)为 T,R(PP)为 F 所以 R(R(PP)为 F, 所以(Q(PP)(R(R(PP) 为 F 即(Q(PP)(R(R(PP)RQ 成立。 (3) 解: a)PQ 表示命题“如果8 是偶数,那么糖果是甜的”。 b) a)的逆换式 QP 表示命题“如果糖果是甜的,那么 8 是偶数”。 c) a)的反换式 PQ 表示命题“如果8 不是偶数,那么糖果不是甜 的”。 d) a
14、)的逆反式 QP 表示命题“如果糖果不是甜的,那么 8 不是偶 数”。 (4) 解: a) 如果天下雨,我不去。 设 P:天下雨。 Q:我不去。 PQ 逆换式 QP 表示命题 :如果我不去,则天下雨。 逆反式 QP 表示命题 :如果我去,则天不下雨 b) 仅当你走我将留下。 设 S:你走了。 R:我将留下。 RS 逆换式 SR 表示命题:如果你走了则我将留下。 逆反式 SR 表示命题:如果你不走,则我不留下。 c) 如果我不能获得更多帮助,我不能完成个任务。 设 E:我不能获得更多帮助。 H:我不能完成这个任务。 EH 逆换式 HE 表示命题:我不能完成这个任务,则我不能获得更多帮 助。 逆反
15、式 H E表示命题:我完成这个任务,则我能获得更多帮助 (5) 试证明 PQ,Q 逻辑蕴含 P。 证明:解法 1: 本题要求证明 (PQ) QP, Word 资料 . 设(PQ) Q 为 T,则(PQ)为 T,Q 为 T,故由的定义,必有 P 为 T。 所以(PQ) QP 解法 2: 由体题可知,即证 (PQ)Q)P 是永真式。 (PQ)Q)P (PQ) (P Q) Q)P (PQ) (PQ) Q) P (PQ) (PQ) Q) P (QPQ) (QPQ) P (QP) T) P QPP QT T (6) 解: P:我学习Q:我数学不及格R:我热 衷于玩扑克。 如果我学习,那么我数学不会不及格
16、:PQ 如果我不热衷于玩扑克,那么我将学习:RP 但我数学不及格 : Q 因此我热衷于玩扑克。R 即本题符号化为: (P Q)(RP)QR 证: 证法 1:(PQ)(RP)Q)R (P Q)(RP)Q) R (PQ)(RP)QR (QP)(QQ)(R R)(RP) QPR P T 所以,论证有效。 证法 2:设(PQ)(RP)Q 为 T, Word 资料 . 则因 Q 为 T,(PQ) 为 T,可得 P 为 F, 由(RP)为 T,得到 R为 T。 故本题论证有效。 (7) 解: P:6 是偶数Q:7 被 2 除尽R:5 是素数 如果 6 是偶数,则 7 被 2 除不尽PQ 或 5 不是素数,
17、或 7 被 2 除尽RQ 5 是素数R 所以 6 是奇数P 即本题符号化为:(PQ)(RQ)R P 证: 证法 1:(PQ)(RQ)R)P (PQ) (RQ) R) P (PQ) (RQ) R) P (PP) (PQ) (RR) (RQ) (PQ) (RQ) T 所以,论证有效,但实际上他不符合实际意义。 证法 2:(PQ)(RQ)R 为 T, 则有 R为 T,且RQ 为 T,故 Q 为 T, 再由 PQ 为 T,得到 P 为 T。 (8) 证明: a) P(PQ) 设 P为 T,则 P 为 F,故 PQ 为 T b) ABCC 假定 ABC 为 T,则 C为 T。 c) CABB 因为 AB
18、B 为永真,所以 CABB 成立。 d) (AB) AB 设(AB)为 T,则 AB 为 F。 Word 资料 . 若 A 为 T,B 为 F,则 A 为 F,B 为 T,故 AB 为 T。 若 A 为 F,B 为 T,则 A 为 T,B 为 F,故 AB 为 T。 若 A 为 F,B 为 F,则 A 为 T,B 为 T,故 AB 为 T。 命题得证。 e) A(BC),DE,(DE)ABC 设A(BC),DE,(DE)A 为 T, 则 DE为 T,(DE)A 为 T,所以 A 为 T 又A(BC)为 T,所以 BC 为 T。命题得证。 f)(AB)C,D,CDAB 设(AB)C,D,CD 为
19、 T,则D 为 T,CD 为 T,所以 C 为 F 又(AB)C 为 T,所以 AB 为 F,所以 AB 为 T。命题得证。 (9)解: a) 如果他有勇气,他将得胜。 P:他有勇气Q:他将得胜 原命题: PQ逆反式: QP 表示:如果他 失败了,说明他没勇气。 b) 仅当他不累他将得胜。 P:他不累Q:他得胜 原命题: QP逆反式: PQ 表示:如果他 累,他将失败。 习题1-6 (1)解: a)(PQ)P(PP)Q(TQ) b)(P(QR) PQ (P(QR)PQ (PPQ)(QPQ)(RPQ) (PQ)(PQ)(P RQ) PQ Word 资料 . (PQ) c)PQ(RP) PQ(RP
20、) (PQR)(PQP) (PQR)F PQR (PQR) (2) 解: a)P P P b)PQ(P Q) (P Q) (P Q) c)PQP Q (P P) (Q Q) (3)解: P(PQ) P(PQ) T PP (P P)(PP) P (P P) P(PQ) P(PQ) T PP (P P) (P P) P) (P P) P) (P P) P) (4)解: P Q (P Q) (P P) (Q Q) Word 资料 . (P P) (Q Q) (P P) (Q Q) (5)证明: (B C) (BC) B C (B C) (BC) B C (6)解:联结词“”和“”不满足结合律。举例如
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