最新北师大版初二下册三角形证明教案资料.pdf
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1、精品文档 精品文档 全方位一对一教学辅导教案 学科:数学授课教师:黄耀华授课时间: 2016 年月日星期 三角形的证明 【知识点一:全等三角形的判定与性质】 1判定和性质 一般三角形直角三角形 判定 边角边( SAS)、角边角( ASA) 角角边( AAS)、边边边( SSS ) 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等(HL) 性质 对应边相等,对应角相等 对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等 2证题的思路: )找任意一边( )找两角的夹边( 已知两角 )找夹已知边的另一角( )找已知边的对角( )找已知角的另一边( 边为角的邻边 )任意角(若边为角的对边,则找 已知一边一角
2、 )找第三边( )找直角( )找夹角( 已知两边 AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】 1用 直 尺 和 圆 规 作 一 个 角 的 平 分 线 的 示 意 图 如 图 所 示 ,则 能 说 明 AOC = BOC 的 依 据 是() A SSSB ASA C AASD 角 平 分 线 上 的 点 到 角 两 边 距 离 相 等 2下列说法中,正确的是() A两腰对应相等的两个等腰三角形全等B两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 姓 名曾致远性 别年 级总课时 : 第课 教 学 内 容 精品文档 精品文档 C两锐角对应相等的两个直角三角形全等D面积
3、相等的两个三角形全等 3如图, ABC ADE,若 B80 , C30 , DAC35 , 则 EAC 的度数为() A40B35C30D25 4已知:如图,在MPN 中, H 是高 MQ 和 NR 的交点,且MQNQ求证: HNPM. 5用三角板可按下面方法画角平分线:在已知AOB 的两边上,分别取OMON (如图 57) ,再分别过点 M、N 作 OA、OB 的垂线,交点为P,画射线 OP,则 OP 平分 AOB,请你说出其中的道理 图 57 【巩固练习】 1下列说法正确的是() A一直角边对应相等的两个直角三角形全等B斜边相等的两个直角三角形全等 C斜边相等的两个等腰直角三角形全等D一边
4、长相等的两等腰直角三角形全等 2 如 图 , 在 ABC 中 , D 、 E 分 别 是 边 AC 、 BC 上 的 点 , 若 ADB EDB EDC , 则 C 的 度 数 为 () A 15B 20C 25D 30 3如图,已知ABC 的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和ABC 全等的图形是() 精品文档 精品文档 A甲和乙B乙和丙C只有乙D只有丙 4如图 49,已知 ABC ABC,AD、AD分别是 ABC 和 ABC的角平分线 ( 1)请证明ADAD; ( 2)把上述结论用文字叙述出来; ( 3)你还能得出其他类似的结论吗? 图 49 5如图 410,在 ABC 中, ACB
5、90 ,ACBC,直线 l 经过顶点C,过 A、B 两点分别作l 的垂线 AE、 BF,E、F 为垂足 (1)当直线l 不与底边AB 相交时,求证:EF AEBF 图 410 (2)如图 411,将直线 l 绕点 C 顺时针旋转, 使 l 与底边 AB 交于点 D,请你探究直线l 在如下位置时, EF、 AE、 BF 之间的关系 ADBD; ADBD; ADBD 图 411 精品文档 精品文档 【知识点二:等腰三角形的判定与性质】 等腰三角形的判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 等腰三角形的性质: 等腰三角形的两底角相等(等边对等角); 等腰三角形 “ 三线合一 ” 的性质:
6、顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合; 等腰三角形两底角的平分线相等,两腰上的高、中线也相等 【典型例题】 1 等 腰 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 3 和 6, 则 这 个 等 腰 三 角 形 的 周 长 为 () A 12 B 15 C 12 或 15 D 18 2 等 腰 三 角 形 的 一 个 角 是 80 , 则 它 顶 角 的 度 数 是 () A 80B 80 或 20C 80 或 50D 20 3 已 知 ABC 中 , AB= AC=x, BC =6, 则 腰 长 x 的 取 值 范 围 是 () A 0 x 3 B x 3 C 3 x 6 D x 6 4
7、如 图 , MON =43 , 点 A 在 射 线 OM 上 , 动 点 P 在 射 线 ON 上 滑 动 , 要 使 AOP 为 等 腰 三 角 形 , 那 么 满 足 条 件 的 点 P 共 有 () A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 5 如 图 , 在 ABC 中 , BO 平 分 ABC , CO 平 分 ACB , DE 过 O 且 平 行 于 BC , 已 知 ADE 的 周 长 为 10 cm, BC 的 长 为 5cm , 求 ABC 的 周 长 6、如下图,在ABC 中, B=90 ,M 是 AC 上任意一点( M 与 A 不重合) MDBC,交 ABC 的平分线于点
8、 D,求证: MD=MA. 精品文档 精品文档 【巩固练习】 1 如 图 , 已 知 直 线 AB CD , DCF =110且 AE =AF , 则 A 等 于 () A 30B 40C 50D 70 2 下 列 说 法 错 误 的 是 () A 顶 角 和 腰 对 应 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 全 等 B 顶 角 和 底 边 对 应 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 全 等 C 斜 边 对 应 相 等 的 两 个 等 腰 直 角 三 角 形 全 等 D 两 个 等 边 三 角 形 全 等 3如 图 ,是 一 个 5 5 的 正 方 形 网 格 ,网 格 中 的 每 个
9、小 正 方 形 的 边 长 均 为 1点 A 和 点 B 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 点 C 也 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 若 ABC 为 等 腰 三 角 形 , 满 足 条 件 的 C 点 的 个 数 为 () A 6 B 7 C 8 D 9 4 如 图 , 在 ABC 中 , ABC 和 ACB 的 平 分 线 交 于 点 E, 过 点 E 作 MN BC 交 AB 于 M, 交 AC 于 N, 若 BM +CN =9 , 则 线 段 MN 的 长 为 () A 6 B 7 C 8 D 9 5如 图 : E 在 ABC 的 AC 边 的 延 长 线 上 ,D 点 在 AB
10、 边 上 , DE 交 BC 于 点 F, DF =EF , BD =CE , 过 D 作 DG AC 交 BC 于 G 求 证 : ( 1) GDF CEF ; ( 2) ABC 是 等 腰 三 角 形 【知识点三:等边三角形的判定与性质】 判定:有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形; 三条边都相等的三角形是等边三角形; 三个角都是60 的三角形是等边三角形; 有两个叫是60 的三角形是等边三角形 性质:等边三角形的三边相等,三个角都是60 精品文档 精品文档 【典型例题】 1 下 列 说 法 中 不 正 确 的 是 () A 有 一 腰 长 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 全
11、 等 B 有 一 边 对 应 相 等 的 两 个 等 边 三 角 形 全 等 C 斜 边 相 等 、 一 条 直 角 边 也 相 等 的 两 个 直 角 三 角 形 全 等 D 斜 边 相 等 的 两 个 等 腰 直 角 三 角 形 全 等 2 如 图 , 在 等 边 ABC 中 , BAD =20 , AE =AD , 则 CDE 的 度 数 是 () A 10B 12.5 C 15D 20 3、如右图,已知ABC 和 BDE 都是等边三角形,求证:AE=CD. 【变式练习】 1下 列 命 题 : 两 个 全 等 三 角 形 拼 在 一 起 是 一 个 轴 对 称 图 形 ; 等 腰 三 角
12、 形 的 对 称 轴 是 底 边 上 的 中 线 所 在 直 线 ; 等 边 三 角 形 一 边 上 的 高 所 在 直 线 就 是 这 边 的 垂 直 平 分 线 ; 一 条 线 段 可 以 看 作 是 以 它 的 垂 直 平 分 线 为 对 称 轴 的 轴 对 称 图 形 其 中 错 误 的 有 () A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 2 如 图 , AC =CD =DA =BC =DE 则 BAE 是 BAC 的 () A4 倍B 3倍 C2 倍D1 倍 3 如 图 , 等 边 ABC 的 周 长 是 9, D 是 AC 边 上 的 中 点 , E 在 BC 的 延 长 线 上
13、若 DE =DB , 则 CE 的 长 为 4 如 图 , 等 边 ABC 中 , 点 D、 E 分 别 为 BC、 CA 上 的 两 点 , 且 BD =CE , 连 接 AD 、 BE 交 于 F 点 , 则 FAE + AEF 的 度 数 是 () A 60B 110C 120D 135 精品文档 精品文档 5 如 图 , 已 知 : MON =30 , 点 A1、 A2、 A3 在 射 线 ON 上 , 点 B1、 B2、 B3 在 射 线 OM 上 , A1B1A2、 A2B2A3、 A3B3A4均 为 等 边 三 角 形 , 若 OA1=1, 则 A6B6A7的 边 长 为 ()
14、A 6 B 12 C 32 D 64 6.如 图 , M 、 N 点 分 别 在 等 边 三 角 形 的 BC 、 CA 边 上 , 且 BM =CN , AM 、 BN 交 于 点 Q ( 1) 求 证 : BQM =60; ( 2) 如 图 , 如 果 点 M、 N 分 别 移 动 到 BC、 CA 的 延 长 线 上 , 其 它 条 件 不 变 , ( 1) 中 的 结 论 是 否 仍 然 成 立 ? 若 成 立 , 给 予 证 明 ; 若 不 成 立 , 说 明 理 由 7 如 图 , C 为 线 段 BD 上 一 点 ( 不 与 点 B, D 重 合 ) , 在 BD 同 侧 分 别
15、 作 正 三 角 形 ABC 和 正 三 角 形 CDE , AD 与 BE 交 于 一 点 F, AD 与 CE 交 于 点 H, BE 与 AC 交 于 点 G ( 1) 求 证 : BE =AD ; ( 2) 求 AFG 的 度 数 ; ( 3) 求 证 : CG =CH 【知识点四:反证法】 精品文档 精品文档 反证法:先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果,从而 证明命题的结论一定成立这种证明方法称为反证法 【基础练习】 1、否定 “ 自然数 a、b、c 中恰有一个偶数” 时的正确反正假设为() Aa、b、c 都是奇数B a、b、c 或都是奇数
16、或至少有两个偶数 Ca、b、c 都是偶数Da、b、c 中至少有两个偶数 2、用反证法证明命题“ 三角形的内角中至少有一个不大于60”时,反证假设正确的是() A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60 C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60 3、证明:在一个三角形中至少有两个角是锐角 【知识点五:直角三角形】 1、直角三角形的有关知识 勾股定理 :直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方; 勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形; 在直角三角形中,如果一个锐角等于30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半 2、互逆命题、互
17、逆定理 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命 题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题 . 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理 ,其中一个定 理称为另一个定理的逆定理 . 【典型例题】 1、说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假: (1)四边形是多边形;(2)两直线平行,同旁内角互补;(3)如果 ab=0,那么 a=0, b=0; (4)在一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边相等 2 使 两 个 直 角 三 角 形 全 等 的 条 件 是 () A 一 个 锐 角 对 应 相 等B
18、 两 个 锐 角 对 应 相 等 C 一 条 边 对 应 相 等D 两 条 边 对 应 相 等 精品文档 精品文档 3 等 腰 三 角 形 的 底 边 长 为 6, 底 边 上 的 中 线 长 为 4, 它 的 腰 长 为 () A 7 B 6 C 5 D 4 4 如 图 , 矩 形 纸 片 ABCD 中 , AB=4 , AD =3, 折 叠 纸 片 使 AD 边 与 对 角 线 BD 重 合 , 折 痕 为 DG , 则 AG 的 长 为 () A 1 B 4 3 C 3 2 D 2 5 如 图 , 在 ABC 中 , C=90 , B=30 , AD 是 BAC 的 平 分 线 , 若
19、CD =2 , 那 么 BD 等 于 () A 6 B 4 C 3 D 2 6 如 图 , 在 4 4 正 方 形 网 格 中 , 以 格 点 为 顶 点 的 ABC 的 面 积 等 于 3, 则 点 A 到 边 BC 的 距 离 为 () A3B2 2C 4 D 3 7如 图 , ACB 和 ECD 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 , A, C,D 三 点 在 同 一 直 线 上 ,连 接 BD , AE,并 延 长 AE 交 BD 于 F ( 1) 求 证 : ACE BCD ; ( 2) 直 线 AE 与 BD 互 相 垂 直 吗 ? 请 证 明 你 的 结 论 8如 图 ,在 每
20、个 小 正 方 形 的 边 长 均 为 1 个 单 位 长 度 的 方 格 纸 中 有 一 个 ABC , ABC 的 三 个 顶 点 均 与 小 正 方 形 的 顶 点 重 合 ( 1) 在 图 中 画 BCD , 使 BCD 的 面 积 = ABC 的 面 积 ( 点 D 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 ) ( 2) 请 直 接 写 出 以 A、 B、 C、 D 为 顶 点 的 四 边 形 的 周 长 9 如 图 , 把 矩 形 纸 片 ABCD沿 EF 折 叠 , 使 点 B 落 在 边 AD 上 的 点 B 处 , 点 A 落 在 点 A 处 ; ( 1) 求 证 : B E=BF
21、 ; 精品文档 精品文档 ( 2) 设 AE =a, AB=b, BF =c, 试 猜 想 a, b, c 之 间 的 一 种 关 系 , 并 给 予 证 明 【变式练习】 1 利 用 基 本 尺 规 作 图 , 下 列 条 件 中 , 不 能 作 出 唯 一 直 角 三 角 形 的 是 () A 已 知 斜 边 和 一 锐 角B 已 知 一 直 角 边 和 一 锐 角 C 已 知 斜 边 和 一 直 角 边D 已 知 两 个 锐 角 2 在 Rt ABC 中 , C=90 , AC=9 , BC =12 , 则 点 C 到 AB 的 距 离 是 () A 36 5 B 12 25 C 9 4
22、 D 3 3 4 3 如 图 是 一 株 美 丽 的 勾 股 树 , 其 中 所 有 的 四 边 形 都 是 正 方 形 , 所 有 的 三 角 形 都 是 直 角 三 角 形 , 若 正 方 形 A、 B、 C、 D 的 面 积 分 别 为 2, 5, 1, 2 则 最 大 的 正 方 形 E 的 面 积 是 4 已 知 Rt ABC 中 , C=90 , 且 BC = 1 2 AB, 则 A 等 于 () A 30B 45C 60D 不 能 确 定 5 已 知 : 如 图 , 在 ABC 中 , A=30 , ACB =90 , M、 D 分 别 为 AB、 MB 的 中 点 求 证 :
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