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1、精品文档 精品文档 高中平面几何定理汇总及证明 1. 共边比例定理 有公共边 AB的两个三角形的顶点分别是P、Q,AB与 PQ的连线交于点 M, 则有以下比例式成立: PAB的面积: QAB的面积 PM:QM. 证明:分如下四种情况,分别作三角形高,由相似三角形可证 SPAB=(S PAM-S PMB) =(S PAM/S PMB-1)S PMB =(AM/BM-1)S PMB(等高底共线,面积比 =底长比) 同理, SQAB=(AM/BM-1) S QMB 所以, SPAB/S QAB=S PMB/SQMB=PM/QM(等高底共线,面积比 =底长比) 定理得证! 特殊情况:当 PB AQ时,
2、易知 PAB与QAB的高相等,从而 SPAB=S QAB, 反之, SPAB=S QAB,则 PB AQ。 2. 正弦定理 在任意一个平面三角形中, 各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的 2 倍” ,即 a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R (r 为外接圆半径, R为直径) 证明: 现将ABC ,做其外接圆,设圆心为O。我们考虑 C及其对边 AB。设 AB长度为 c。 若C为直角,则 AB就是 O的直径,即 c= 2r。 (特殊角正弦函数值) 精品文档 精品文档 若C为锐角或钝角,过B作直径 BC 交 O 于 C,连接 CA,显然 BC= 2r=R 。 若C
3、为锐角,则 C与 C落于 AB的同侧, 此时 C=C (同弧所对的圆周角相等) 在 RtABC 中有 若C为钝角,则 C与 C落于 AB的异侧, BC的对边为 a,此时 C=A,亦可推 出。 考虑同一个三角形内的三个角及三条边,同理,分别列式可得 。 精品文档 3. 分角定理 在ABC中,D 是边 BC上异于 B,C或其延长线上的一点, 连结 AD, 则有 BD/CD=(sin BAD/sinCAD)*(AB/AC) 。 证明: SABD/S ACD=BD/CD (1.1) SABD/S ACD=(1 /2) AB AD sinBAD/(1/2) AC AD sinCAD = (sinBAD/
4、sinCAD) (AB/AC) (1.2) 由 1.1 式和 1.2 式得 BD/CD=(sin BAD/sinCAD) (AB/AC) 4. 张角定理 在ABC中,D 是 BC上的一点,连结AD。那么。 证明: 设1=BAD ,2=CAD 由分角定理, SABD/S ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin1/sinBAC) (BD/BC)*(sin BAC/AD)=sin 1 /AC (1.1) SACD/S ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin 2/sinBAC) (CD/BC)*(sin BAC/AD)=sin 2 /AB (1.2) (1.1)式+(1.2)式即得 sin
5、1/AC+sin2/AB=sinBAC/AD 5. 帕普斯定理 直线 l1 上依次有点 A,B,C ,直线 l2 上依次有点 D,E,F ,设 AE,BD交于 G,AF,DC 交于 I, BF,EC 交于 H,则 G,I,H共线。 精品文档 精品文档 精品文档 精品文档 6. 蝴蝶定理 设 S为圆内弦 AB的中点,过 S作弦 CF和 DE 。设 CF和 DE各相交 AB于点 M 和 N, 则 S是 MN 的中点。 证明: 过 O 作 OLED,OTCF,垂足为 L、T, 连接 ON,OM,OS,SL,ST,易明 ESDCSF ES/CS=ED/FC 根据垂径定理得: LD=ED/2 ,FT=F
6、C/2 ES/CS=EL/CT 又 E=C ESLCST SLN=STM S 是 AB 的中点所以 OSAB OSN=OLN=90 O,S,N,L 四点共圆,(一中同长) 同理, O,T,M,S 四点共圆 STM=SOM,SLN=SON SON=SOM OSAB MS=NS 7. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线,则三垂 足共线。(此线常称为西姆松线)。 证明: 若 L、M 、N三点共线,连结 BP ,CP ,则因 PLBC ,PM AC ,PN AB ,有 B、L、P、N 和 P、M 、C 、L 分别四点共圆,有 精品文档 精品文档 NBP = N
7、LP = MLP= MCP. 故 A、B、P、C四点共圆。 若 A、P、B、C四点共圆,则 NBP= MCP 。 因 PLBC ,PM AC ,PN AB , 有 B、L、P、N和 P、M 、C、L 四点共圆,有 NBP = NLP= MCP= MLP. 故 L、M 、N三点共线。 西姆松逆定理:若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的 外接圆上。 证明: PM AC ,PN AB , 所以 A,M,N,P 共圆 精品文档 精品文档 8. 清宫定理 设 P、Q为ABC的外接圆上异于 A、B、C的两点, P关于三边 BC 、CA 、AB的对称点 分别是 U、V、W ,且 QU
8、、QV 、QW 分别交三边 BC 、CA 、AB或其延长线于 D、E、F,则 D、E、F在同一直线上 . 证明: A、B、P、C四点共圆,因此 PCE= ABP 点 P和 V关于 CA对称 所以 PCV=2 PCE 又因为 P和 W关于 AB对称,所以 PBW=2 ABP 从这三个式子,有 PCV= PBW 另一方面,因为 PCQ 和PBQ 都是弦 PQ所对的 圆周角,所以 PCQ= PBQ 两式相加,有 PCV+ PCQ= PBW+ PBQ 即QCV= QBW 即QCV 和QBW 有一个顶角相等,因此 但是,所以 同理 , 精品文档 精品文档 于是 根据梅涅劳斯定理的逆定理,D、E、F三点在
9、同一直线上。 精品文档 精品文档 9. 密克定理 三圆定理:设三个圆C1, C2, C3交于一点 O ,而 M, N, P分别是 C1 和 C2, C2和 C3, C3和 C1的另一交点。设 A为 C1的点,直线 MA交 C2于 B,直线 PA交 C3于 C。那么 B, N, C 这三点共线。 逆定理:如果是三角形, M, N, P三点分别在边 AB, BC, CA 上,那么 AMP 、BMN 、CPN 的外接圆交于一点O 。 完全四线形定理 如果 ABCDEF 是完全四线形,那么三角形的外接圆交于一点 O ,称为密克点。 四圆定理 设 C1, C2,C3, C4 为四个圆, A1和 B1是
10、C1和 C2的交点, A2和 B2是 C2 和 C3的交点, A3和 B3是 C3和 C4的交点, A4和 B4是 C1和 C4的交点。那么 A1, A2, A3, A4四点共圆当且仅当B1, B2, B3, B4 四点共圆。 证明:在ABC的 BC,AC,AB边上分别取点 W,M,N ,对 AMN, BWN 和CWM 分别作其外 接圆,则这三个外接圆共点。 该定理的证明很简单,利用“圆内接四边形对角和为180 度”及其逆定理。 现在已知 U是和的公共点。连接UM 和 UN , 四边形 BNUW 和四边形 CMUW 分别是和的内接四边形, UWB+UNB= UNB+ UNA=180 度 UWB
11、=UNA 。 同理 UWB+ UWC=UWC+UMC=180 度 UWB=UMC 。 UMC+ UMA=180 度 UNA+ UMA=180 度, 这正说明四边形 ANUM 是一个圆内接四边形,而该圆必是,U必在上。 精品文档 精品文档 10. 婆罗摩笈多定理 圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC BD ,垂足为 M 。EF BC ,且 M在 EF上。那么 F是 A D的中点。 证明: AC BD ,ME BC CBD= CME CBD= CAD ,CME= AMF CAD= AMF AF=MF AMD=90 ,同时 MAD+ MDA=90 FMD= FDM MF=DF ,即 F 是 AD中
12、点 逆定理: 若圆内接四边形的对角线相互垂直,则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。 证明: MA MD ,F是 AD中点 AF=MF CAD= AMF CAD= CBD ,AMF= CME CBD= CME CME+ BME= BMC=90 CBD+ BME=90 EFBC 精品文档 精品文档 11. 托勒密定理 圆内接四边形中,两条对角线的乘积( 两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积 之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)圆内接四边形 ABCD ,求证: AC BD=AB CD+AD BC 证明:过 C作 CP交 BD于 P,使 1=2,又3=4, ACD B
13、CP 得 AC :BC=AD :BP ,AC BP=AD BC 。 又ACB= DCP ,5=6, ACB DCP 得 AC :CD=AB :DP ,AC DP=AB CD 。 +得 AC(BP+DP)=ABCD+AD BC 即 AC BD=AB CD+AD BC 12. 梅涅劳斯定理 当直线交三边所在直线于点时, 。 证明:过点 C作 CP DF交 AB于 P,则 两式相乘得 梅涅劳斯逆定理:若有三点F、D、E分别在边三角形的三边AB 、BC 、CA或其延长线 上,且满足 AF/FBBD/DC CE/EA=1 ,则 F、D 、E三点共线。 证明:先假设 E、F、D三点不共线,直线DE与 AB
14、交于 P。 由梅涅劳斯定理的定理证明(如利用平行线分线段成比例的证明方法)得: (AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 。 精品文档 精品文档 AP/PB=AF/FB ; (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ; AB/PB=AB/FB ; PB=FB ;即 P与 F 重合。 D、E、F三点共线。 13. 塞瓦定理 在ABC内任取一点 O ,延长 AO 、BO 、CO分别交对边于 D 、E、F,则 (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1。 ADC 被直线 BOE 所截, (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1
15、ABD 被直线 COF 所截, (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 / 约分得: (DB/CD)(CE/EA)(AF/FB)=1 14. 圆幂定理 相交弦定理:如图, AB 、CD为圆 O的 两条任意弦。 相交于点 P,连接 AD 、BC , 由于B 与D 同为弧 AC所对的圆周角, 因此由圆周角定理知: B=D ,同理 A=C ,所以。所以有: ,即:。 割线定理:如图,连接AD 、BC 。可知 B=D,又因为 P为公共角,所以有 ,同上证得。 切割线定理:如图,连接AC 、AD 。PAC为切线 PA与弦 AC组成的弦切角,因此 有PBC= D ,又因为 P为公共角,所以有
16、,易证 图, PA 、PC均为切线,则 PAO= PCO=90 ,在直角三角形中:OC=OA=R,PO为 精品文档 精品文档 公共边,因此 。所以 PA=PC ,所以 。 综上可知, 是普遍成立的。 弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度 数的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 点对圆的幂 P点对圆 O的幂定义为 点 P在圆 O内P 对圆 O的幂为负数; 点 P在圆 O外P 对圆 O的幂为正数; 点 P在圆 O上P 对圆 O的幂为 0。 三角形五心: 内心:三角形三条内角平分线的交点 外心:三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点 重心:三角形三边中线的交点 垂心:三角形的
17、三条高线的交点 旁心:三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心 九点圆心:三角形三边的中点, 三高的垂足和三个欧拉点连结三角形各顶点与垂心 所得三线段的中点九点共圆的圆心 15. 根心定理 三个两两不同心的圆,形成三条根轴,则必有下列三种情况之一: (1) 三根轴两两平行; (2) 三根轴完全重合; (3) 三根轴两两相交,此时三根轴必汇于一点,该点称为三圆的根心。 平面上任意三个圆,若这三个圆圆心不共线,则三条根轴相交于一点,这个点叫它 们的根心;若三圆圆心共线,则三条根轴互相平行。 精品文档 精品文档 根轴定义: A与 B的根轴 L1:到 A与 B的切线相等的点。
18、B与 C的根轴 L2:到 B与 C的切线相等的点。 证明 设 A、B、C三个圆,圆心不重合也不共线。 考察 L1 与 L2 的交点 P。 因为 P在 L1 上,所以: P到 A的切线距离 =P到 B的切线距离。 因为 P在 L2 上,所以: P到 B的切线距离 =P到 C的切线距离。 所以: P到 A的切线距离 =P到 B的切线距离 =P到 C的切线距离。 也就是: P到 A的切线距离 =P到 C的切线距离。所以: P在 A与 C的根轴上。 所以:三个根轴交于一点。 精品文档 精品文档 16. 鸡爪定理 设ABC的内心为I , A 内的旁心为J,AI 的延长线交三角形外接圆于K,则 KI=KJ
19、=KB=KC 。 证明: 由内心和旁心的定义可知IBC=ABC/2 , JBC=(180- ABC)/2 IBC+JBC= ABC/2+90 - ABC/2=90 =IBJ 同理, ICJ=90 IBJ+ICJ=180 IBJC 四点共圆,且 IJ 为圆的直径 AK平分 BAC KB=KC (相等的圆周角所对的弦相等) 又 IBK=IBC+KBC= ABC/2+ KAC= ABI+BAK= KIB KB=KI 由直角三角形斜边中线定理逆定理可知K是 IJ 的中点 KB=KI=KJ=KC 逆定理:设 ABC中BAC的平分线交 ABC的外接圆于 K。在 AK及延长线上截取 KI=KB=KJ , 其
20、中 I 在ABC的内部, J 在ABC的外部。则 I 是ABC 的内心,J 是ABC 的旁心。 证明: 利用同一法可轻松证明该定理的逆定理。 取ABC的内心 I 和旁心 J,根据定理有KB=KC=KI=KJ 又KB=KI=KJ I 和 I 重合, J 和 J重合 即 I 和 J 分别是内心和旁心 17. 费尔巴哈定理 精品文档 精品文档 三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆相切 设ABC的内心为 I ,九点圆的圆心为V。三边中点分别为L,M ,N ,内切圆与三边 的切点分别是 P,Q ,R,三边上的垂足分别为D,E,F。 不妨设 ABAC 。 假设 I 与V 相切于点 T,那么 LT 与I
21、相交,设另 一个交点为 S。 过点 S作I 的切线,分别交AB和 BC于 V,U,连接 AU 。 又作两圆的公切线TX ,使其与边 AB位于 LT的同侧。 由假设知 XTL= LDT 而 TX和 SV都是 I 的切线,且与弦ST所夹 的圆弧相同,于是 XTL= VST 因此 LDT= VST 则 UDT+ UST=180 这就是说, S,T,D,U共圆。 而这等价于: LU LD=LS LT 又 LP2=LS LT 故有 LP2=LU LD 另一方面, T是公共的切点,自然在V上, 因此 L ,D,T,N共圆,进而有 LTD= LND 由已导出的 S,T,D ,U共圆,得 LTD= STD=1
22、80 - SUD= VUB =AVU- B 而 精品文档 精品文档 LND= NLB-NDB =ACB- NBD =C-B (这里用了 LN AC ,以及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半) 所以,就得到 AVU= C 注意到 AV ,AC ,CU ,UV均与 I 相切,于是有 AIR=AIQ UIS=UIP RIS=QIS 三式相加,即知 AIU=180 也即是说, A,I ,U三点共线。 另外, AV=AC ,这可由 AIV AIC 得到。 (这说明,公切点T 可如下得到: 连接 AI,并延长交 BC于点 U , 过点 U作I 的切线,切点为S,交 AB于 V, 最后连接 LS,其延长线与
23、 I 的交点即是所谓的公切点T。) 连接 CV ,与 AU交于点 K, 则 K是 VC的中点。 前面已得到: LP2=LU LD 而 2LP=(BL+LP)-(CL-LP) =BP-CP =BR-CQ =(BR+AR)-(CQ+AQ) =AB-AC 精品文档 精品文档 =AB-AV =BV 即 LP= BV 然而 LK是CBV的中位线 于是 LK= BV 因之 LP=LK 故 LK2=LU LD 由 于 以 上 推 导 均 可 逆 转 , 因 此 我 们 只 需 证 明 : LK2=LU LD 。往证之 这等价于: LK与圆 KUD 相切 于是只需证: LKU= KDU 再注意到 LKAB (
24、LK是CBV的中位线),即有 LKU= BAU 又 AU是角平分线,于是 LKU= CAU= CAK 于是又只需证: CAK= KDU 即证: CAK+ CDK=180 这即是证: A,C ,D,K四点共圆 由于 AKKC (易得), AD DC 所以 A,C,D,K确实共圆。 这就证明了 I 与V内切。 旁切圆的情形是类似的。 证毕 另略证: OI 2=R2-2Rr 精品文档 精品文档 IH 2=2r2-2Rr OH 2=R2-4Rr( 其中 r是垂心 H的垂足三角形的内切圆半径, R、r 是三角形 ABC外接 圆和内切圆半径 ) FI 2=1/2(OI2+IH2)-1/4OH2=(1/2R
25、-r)2 FI=1/2R-r这就证明了九点圆与内切圆内切(九点圆半径为外接圆半径一半。F 是九 点圆圆心, I 为内心) 18. 莫利定理 将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相交 得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形 证明:设 ABC 中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ 为各角的三等分线, 三边长为 a,b,c, 三内角为 3, 3, 3, 则 +=60。 在ABC中,由正弦定理,得AF=csin/sin( +) 。 不失一般性, ABC 外接圆直径为 1,则由正弦定理,知c=sin3 ,所以 AF= (sin3 *sin )/sin(60 - ) = sin*
26、sin (3- 4sin2 )/1/2(3cos-sin ) = 2sin sin (3cos+sin ) = 4sin sin sin (60+ ). 同理,AE=4sin sin sin(60 + ) AF:AE=4sin sin sin(60 + ) :4sin sin sin(60 + ) =sin(60 + ):sin(60+ )=sin AEF:sin AFE AEF=60 + , AFE=60 + . 同理得, CED=60 + FED=180 -CED-(AEF- )=180-60- - 60+ =60 FED为正三角形 19. 精品文档 精品文档 20. 拿破仑定理 若以任意
27、三角形的各边为底边向形外作底角为60的等腰三角形,则它们的中心构 成一个等边三角形。 在ABC的各边上向外各作等边 ABF ,等边ACD ,等边BCE 。 证明:设等边 ABF的外接圆和等边 ACD的外接圆相交于 O ;连 AO 、CO 、BO 。 AFB= ADC=60 ; A、F、B、O四点共圆; A、D、C、O四点共圆; AOB= AOC=120 ; BOC=120 ; BCE是等边三角形 BEC=60 ; B、E、C、O四点共圆; 这 3 个等边三角形的外接圆共点。 A、D、B、O四点共圆 A、F、C、O四点共圆 B、E、C、O四点共圆 AFC= ADB= BEC=60 ; AOB= AOC= BOC=120 ; NP、MP 、MN 是连心线; BO 、CO 、AO是公共弦; N A B O CE P M F D XZ Y 精品文档 精品文档 BONP于 X; CO MP 于 Y; AO NM 于 Z。 X、P、Y、O四点共圆; Y、M 、Z、O四点共圆; Z、N、X、O四点共圆; N=M= P=60 ; 即MNP 是等边三角形。
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