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1、欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 2017 年长沙市中考数学模拟试卷(一) 一、选择题(共12 小题,每小题3 分,共 36 分) 1给出四个数0, 1,其中最小的是( ) A0 BCD 1 2下列图形中是轴对称图形的是() ABCD 3将一个长方体内部挖去一个圆柱(如图所示),它的主视图是() A B C D 4下面是一位同学做的四道题: 2a+3b=5ab; (3a3)2=6a 6; a6 a2=a3; a2?a3=a5, 其中做对的一道题的序号是() ABCD 5今年清明节期间,我市共接待游客48.6 万人次,旅游收入218 000 000 元数据218 000 000 用科学记数法表
2、示为() A2.18 108B0.218 109 C2.2 108D2.2 109 6 抛物线 y=x 2 先向右平移1 个单位,再向上平移3 个单位,得到新的抛物线解析式是() Ay=( x+1) 2+3 By=(x+1)2 3 Cy=(x1) 2 3 Dy=(x1) 2+3 7下列说法属于不可能事件的是() A四边形的内角和为360 B对角线相等的菱形是正方形 C内错角相等D存在实数x 满足 x2+1=0 8如图, A,B,C,D 为 O 上四点,若BOD=110 ,则 A 的度数是() A110B115C120D125 9二次函数y=ax 2+bx+c 图象上部分点的坐标满足下表: x
3、3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 则该函数图象的顶点坐标为() A ( 3, 3)B ( 2, 2) C ( 1, 3)D (0, 6) 10若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是() A矩形 B等腰梯形 C对角线相等的四边形D对角线互相垂直的四边形 11正六边形的边心距为,则该正六边形的边长是() A B2 C3 D2 12已知:在 ABC 中,BC=10,BC 边上的高h=5,点 E 在边 AB 上,过点 E 作 EFBC , 交 AC 边于点 F点 D 为 BC 上一点,连接DE、DF设点 E 到 BC 的距离为x,
4、则 DEF 的面积 S关于 x 的函数图象大致为() A B C D 二、填空题(共6 个小题,每小题3 分,共 18 分) 13因式分解2x 28xy+8y2= 14如图,边长为1 的小正方形网格中,O 的圆心在格点上,则AED 的余弦值 是 15如图,四边形ABCD 为矩形,添加一个条件:,可使它成为正方形 16若关于x 的一元二次方程kx22x+1=0 有实数根,则 k 的取值范围是 17综合实践课上,小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度,把一面镜子放在与假山 AC 距离为 21 米的 B 处,然后沿着射线CB 退后到点E,这时恰好在镜子里看到山头 A,利 用皮尺测量BE=2.1 米若
5、小宇的身高是1.7 米,则假山AC 的高度为 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 18用半径为2cm 的半圆围成一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面半径是 三、解答题: (本大题2 个小题,每小题6 分,共 12 分) 19计算: 20先化简,再求值: (x+1) ,其中 x=3 四、解答题: (本大题2 个小题,每小题8 分,共 16 分) 21为了解中考体育科目训练情况,长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了 一次中考体育科目测试(把测试结果分为四个等级:A 级:优秀; B 级:良好; C 级:及格; D 级:不及格) ,并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图请根据统计图中的信息解
6、答下列问题: (1)本次抽样测试的学生人数是; (2)图 1中 的度数是,并把图2 条形统计图补充完整; (3)若全市九年级有学生35000 名,如果全部参加这次中考体育科目测试,请估计不及格 的人数为 (4)测试老师想从4 位同学(分别记为E、 F、G、H,其中 E 为小明)中随机选择两位同 学了解平时训练情况,请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率 22如图, ABC 中, BCA=90 ,CD 是边 AB 上的中线,分别过点C,D 作 BA 和 BC 的平行线,两线交于点E,且 DE 交 AC 于点 O,连接 AE (1)求证:四边形ADCE 是菱形; (2)若 B=60 , BC=
7、6,求四边形ADCE 的面积 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 五、解答题: (本大题2 个小题,每小题9 分,共 18 分) 23 某校为美化校园, 计划对面积为1800m 2 的区域进行绿化, 安排甲、乙两个工程队完成 已 知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2 倍, 并且在独立完成面积为 400m2区域的绿化时,甲队比乙队少用 4 天 (1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2? (2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4 万元,乙队为0.25 万元,要使这次的绿化总 费用不超过8 万元,至少应安排甲队工作多少天? 24如图,在 ABC 中, CA=C
8、B ,以 BC 为直径的圆 O 交 AC 于点 G,交 AB 于点 D, 过点 D 作 O 的切线,交CB 的延长线于点E,交 AC 于点 F (1)求证: DFAC (2)如果 O 的半径为5,AB=12 ,求 cosE 六、解答题: (本大题2 个小题,每小题10 分,共 20 分) 25定义:若函数y1 与 y 2同时满足下列两个条件: 两个函数的自变量x,都满足 a x b; 在自变量范围内对于任意的x1都存在 x2,使得 x1所对应的函数值 y1与 x2所对应的函数 值 y 2相等 我们就称y1 与 y 2这两个函数为 “ 兄弟函数 ” 设函数 y1=x22x3,y2=kx 1 (1
9、)当 k=1 时,求出所有使得y1=y2成立的 x 值; (2)当 1 x 3 时判断函数y1= 与 y2=x+5 是不是 “ 兄弟函数 ” ,并说明理由; (3)已知:当 1 x 2 时函数 y1=x 22x 3 与 y 2=kx 1 是“ 兄弟函数 ” ,试求实数 k 的取值 范围? 26如图, E 的圆心 E(3,0) ,半径为5, E 与 y 轴相交于A、B 两点(点A 在点 B 的上方),与 x 轴的正半轴交于点C,直线 l 的解析式为y=x+4,与 x 轴相交于点D,以点 C 为顶点的抛物线过点 B (1)求抛物线的解析式; (2)判断直线l 与 E 的位置关系,并说明理由; (3
10、)动点 P 在抛物线上,当点P 到直线 l 的距离最小时求出点P的坐标及最小距离 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 2017 长沙市中考数学模拟试卷(一) 参考答案与试题解析 一、选择题(共12 小题,每小题3 分,共 36 分) 1给出四个数0, 1,其中最小的是() A0 BCD 1 【考点】 实数大小比较 【分析】 正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大 的反而小,据此判断即可 【解答】 解:根据实数比较大小的方法,可得 10, 四个数0, 1,其中最小的是1 故选: D 2下列图形中是轴对称图形的是() ABCD
11、【考点】 轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形的概念进行判断即可 【解答】 解: A、是轴对称图形,故正确; B、不是轴对称图形,故错误; C、不是轴对称图形,故错误; D、不是轴对称图形,故错误 故选: A 3将一个长方体内部挖去一个圆柱(如图所示),它的主视图是() AB CD 【考点】 简单组合体的三视图 【分析】 找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 【解答】 解:从正面看易得主视图为长方形,中间有两条垂直地面的虚线 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 故选 A 4下面是一位同学做的四道题: 2a+3b=5ab; (3a 3)2=6a6; a6 a2=a3
12、 ; a2?a3=a5, 其中做对的一道题的序号是() A B C D 【考点】 同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方 【分析】 根据合并同类项,可判断 , 根据积的乘方,可得答案; 根据同底数幂的除法,可得答案; 根据同底数幂的乘法,可得答案 【解答】 解: 不是同类项不能合并,故 错误; 积的乘方等于乘方的积,故 错误; 同底数幂的除法底数不变指数相减,故 错误; 同底数幂的乘法底数不变指数相加,故 正确; 故选: D 5今年清明节期间,我市共接待游客48.6 万人次,旅游收入 218 000 000 元数据218 000 000 用科学记数法表示为() A2.1
13、8 108B0.218 109 C2.2 108D2.2 109 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 根据科学记数法的表示方法:a 10n,可得答案 【解答】 解: 218 000 000 用科学记数法表示为2.18 108, 故选: A 6 抛物线 y=x 2 先向右平移1 个单位,再向上平移3 个单位,得到新的抛物线解析式是() Ay=( x+1) 2+3 By=(x+1)2 3 Cy=(x1) 2 3 Dy=(x1) 2+3 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 根据 “ 上加下减,左加右减” 的原则进行解答即可 【解答】 解:由 “ 左加右减 ” 的原则可知,抛物线y=
14、x 2 向右平移1 个单位所得抛物线的解析 式为: y=(x1) 2; 由“ 上加下减 ” 的原则可知,抛物线y=(x1) 2 向上平移3 个单位所得抛物线的解析式为: y=( x1)2+3 故选 D 7下列说法属于不可能事件的是() A四边形的内角和为360 B对角线相等的菱形是正方形 C内错角相等D存在实数x 满足 x2+1=0 【考点】 随机事件 【分析】 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可 【解答】 解:四边形的内角和为360 是必然事件,A 错误; 对角线相等的菱形是正方形是必然事件,B 错误; 内错角相等是随机事件,C 错误; 存在实数x 满足 x2+1=0 是不
15、可能事件, 故选: D 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 8如图, A,B,C,D 为 O 上四点,若BOD=110 ,则 A 的度数是() A110B115C120D125 【考点】 圆周角定理;圆内接四边形的性质 【分析】 由 A,B,C,D 为 O 上四点,若 BOD=110 ,根据在同圆或等圆中,同弧或等 弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得 C 的度数, 又由圆的 内接四边形的性质定理,即可求得答案 【解答】 解: A,B,C,D 为 O 上四点, BOD=110 , C=BOD=55 , A=180 C=125 故选 D 9二次函数y=ax 2+bx+c
16、图象上部分点的坐标满足下表: x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的顶点坐标为() A ( 3, 3)B ( 2, 2)C ( 1, 3)D (0, 6) 【考点】 二次函数的性质 【分析】 根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴,然后解答即可 【解答】 解: x=3 和 1 时的函数值都是3 相等, 二次函数的对称轴为直线x=2, 顶点坐标为(2, 2) 故选: B 10若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是() A矩形 B等腰梯形 C对角线相等的四边形D对角线互相垂直的四边形 【考点】 中点四边形 【分析】 首先根据题意画出图形,由四边
17、形EFGH 是菱形,点E, F,G,H 分别是边AD , AB,BC,CD 的中点,利用三角形中位线的性质与菱形的性质,即可判定原四边形一定是 对角线相等的四边形 【解答】 解:如图,根据题意得:四边形EFGH 是菱形,点E,F,G,H 分别是边AD , AB,BC,CD 的中点, EF=FG=GH=EH , BD=2EF ,AC=2FG , BD=AC 原四边形一定是对角线相等的四边形 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 故选: C 11正六边形的边心距为,则该正六边形的边长是() A B2 C3 D2 【考点】 正多边形和圆;勾股定理 【分析】 运用正六边形的性质,正六边形边长等于外接圆的
18、半径,再利用勾股定理解决 【解答】 解:正六边形的边心距为, OB=,AB=OA, OA 2=AB2+OB2, OA 2 =( OA ) 2 +( ) 2, 解得 OA=2 故选: B 12已知:在 ABC 中,BC=10,BC 边上的高h=5,点 E 在边 AB 上,过点 E 作 EFBC , 交 AC 边于点 F点 D 为 BC 上一点,连接DE、DF设点 E 到 BC 的距离为x,则 DEF 的面积 S关于 x 的函数图象大致为() A B C D 【考点】 动点问题的函数图象 【分析】 判断出 AEF 和ABC 相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出EF,再根据 三角形的面积列式表示
19、出S与 x 的关系式,然后得到大致图象选择即可 【解答】 解: EFBC, AEF ABC , 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 =, EF=?10=102x, S=(102x)?x=x 2+5x=( x ) 2+ , S 与 x 的关系式为S=( x) 2+ ( 0x5) , 纵观各选项,只有D 选项图象符合 故选: D 二、填空题(共6 个小题,每小题3 分,共 18 分) 13因式分解2x 28xy+8y2= 2( x2y) 2 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分析】 首先提取公因式2,进而利用完全平方公式分解因式即可 【解答】 解: 2x28xy+8y 2 =2( x24x
20、y+4y 2) =2( x2y) 2 故答案为: 2(x 2y) 2 14 如图,边长为1的小正方形网格中, O的圆心在格点上, 则AED 的余弦值是 【考点】 圆周角定理;勾股定理;锐角三角函数的定义 【分析】 根据同弧所对的圆周角相等得到ABC= AED ,在直角三角形ABC 中,利用锐 角三角函数定义求出cos ABC 的值,即为cosAED 的值 【解答】 解: AED 与 ABC 都对, AED= ABC , 在 RtABC 中, AB=2 ,AC=1 , 根据勾股定理得:BC=, 则 cosAED=cos ABC= 故答案为: 15如图,四边形ABCD 为矩形,添加一个条件: AB
21、=AD,可使它成为正方形 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 【考点】 正方形的判定 【分析】 由四边形 ABCD 是矩形,根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形 是正方形,即可求得答案 【解答】 解:四边形ABCD 是矩形, 当 AB=AD 或 AC BD 时,矩形ABCD 是正方形 故答案为: AB=AD 16若关于x 的一元二次方程 kx22x+1=0 有实数根,则 k 的取值范围是k 1 且 k 0 【考点】 根的判别式 【分析】 根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围,进而可以得到关于k 的不等 式,解得即可,同时还应注意二次项系数不能为0 【解答】 解:关于x 的
22、一元二次方程kx22x+1=0 有实数根, =b24ac 0, 即: 44k 0, 解得: k 1, 关于 x 的一元二次方程kx 22x+1=0 中 k 0, 故答案为: k 1 且 k 0 17综合实践课上,小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度,把一面镜子放在与假山 AC 距离为 21 米的 B 处,然后沿着射线CB 退后到点E,这时恰好在镜子里看到山头A,利 用皮尺测量BE=2.1 米若小宇的身高是1.7 米,则假山AC 的高度为17 米 【考点】 相似三角形的应用 【分析】 因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等且人和树均垂直于地面,所以构成两个 相似三角形,利用相似比可求出假山AC
23、 的高度 【解答】 解: DEEC,ACEC, DEB= ACB=90 , DBE= ABC DEB ACB , DE:AC=BE :BC, 又 DE=1.7 米, BE=2.1 米, BC=21 米, 1.7:AC=2.1 :21, AC=17 米, 故答案为: 17 米 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 18用半径为2cm 的半圆围成一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面半径是 1cm 【考点】 圆锥的计算 【分析】 首先求得扇形的弧长,即圆锥的底面周长,然后根据圆的周长公式即可求得半径 【解答】 解:圆锥的底面周长是:2 cm, 设圆锥的底面半径是r,则 2 r=2 , 解得: r=1 故答案
24、是: 1cm 三、解答题: (本大题2 个小题,每小题6 分,共 12 分) 19计算: 【考点】 实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值 【分析】 原式第一项利用特殊角的三角函数值计算,第二项利用负整数指数幂法则计算,第 三项利用绝对值的代数意义化简,最后一项利用立方根定义计算即可得到结果 【解答】 解:原式 =+4+ 14 = 20先化简,再求值: (x+1) ,其中 x=3 【考点】 分式的化简求值 【分析】 先把括号内通分,再把分子分解因式,接着把除法运算化为乘法运算,然后约分后 得到原式 =,再把 x=3 代入计算即可 【解答】 解:原式 = =? =, 当 x=3 时,原式
25、= 四、解答题: (本大题2 个小题,每小题8 分,共 16 分) 21为了解中考体育科目训练情况,长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了 一次中考体育科目测试(把测试结果分为四个等级:A 级:优秀; B 级:良好; C 级:及格; D 级:不及格) ,并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图请根据统计图中的信息解 答下列问题: (1)本次抽样测试的学生人数是40; (2)图 1中 的度数是54 ,并把图 2 条形统计图补充完整; (3)若全市九年级有学生35000 名,如果全部参加这次中考体育科目测试,请估计不及格 的人数为7000 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 (4)测试老
26、师想从4 位同学(分别记为E、 F、G、H,其中 E 为小明)中随机选择两位同 学了解平时训练情况,请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率 【考点】 列表法与树状图法;用样本估计总体;扇形统计图;条形统计图 【分析】 (1)由统计图可得:B 级学生 12 人,占 30%,即可求得本次抽样测试的学生人数; (2)由 A 级 6 人,可求得A 级占的百分数,继而求得的度数;然后由C 级占 35%,可 求得 C 级的人数,继而补全统计图; (3)首先求得D 级的百分比,继而估算出不及格的人数; (4)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况, 再利用概率公式即可求
27、得答案 【解答】 解: (1)本次抽样测试的学生人数是:=40(人) ; 故答案为: 40; (2)根据题意得: =360 =54 , C 级的人数是:40 612 8=14(人) , 如图: (3)根据题意得: 35000=7000(人) , 答:不及格的人数为7000 人 故答案为: 7000; (4)画树状图得: 共有 12 种情况,选中小明的有6 种, 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 P(选中小明)= 22如图, ABC 中, BCA=90 ,CD 是边 AB 上的中线,分别过点C,D 作 BA 和 BC 的平行线,两线交于点E,且 DE 交 AC 于点 O,连接 AE (1)求证
28、:四边形ADCE 是菱形; (2)若 B=60 , BC=6,求四边形ADCE 的面积 【考点】 菱形的判定与性质;勾股定理 【分析】(1)欲证明四边形ADCE 是菱形,需先证明四边形ADCE 为平行四边形,然后再 证明其对角线相互垂直; (2)根据勾股定理得到AC 的长度,由含30 度角的直角三角形的性质求得DE 的长度,然 后由菱形的面积公式:S=AC?DE 进行解答 【解答】(1)证明: DEBC,ECAB, 四边形 DBCE 是平行四边形 ECDB ,且 EC=DB 在 RtABC 中, CD 为 AB 边上的中线, AD=DB=CD EC=AD 四边形 ADCE 是平行四边形 EDB
29、C AOD= ACB ACB=90 , AOD= ACB=90 平行四边形ADCE 是菱形; (2)解: RtABC 中, CD 为 AB 边上的中线,B=60 ,BC=6 , 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 AD=DB=CD=6 AB=12 ,由勾股定理得 四边形 DBCE 是平行四边形, DE=BC=6 五、解答题: (本大题2 个小题,每小题9 分,共 18 分) 23 某校为美化校园, 计划对面积为1800m 2 的区域进行绿化, 安排甲、乙两个工程队完成 已 知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2 倍, 并且在独立完成面积为 400m 2 区域的绿化时,甲队比乙
30、队少用4 天 (1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2? (2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4 万元,乙队为0.25 万元,要使这次的绿化总 费用不超过8 万元,至少应安排甲队工作多少天? 【考点】 分式方程的应用;一元一次不等式的应用 【分析】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是x( m2) ,根据在独立完成面积为400m 2 区域的绿化时,甲队比乙队少用4 天,列出方程,求解即可; (2)设应安排甲队工作y 天,根据这次的绿化总费用不超过8 万元,列出不等式,求解即 可 【解答】 解: (1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是x(m2) ,根据题意得: =4, 解得
31、: x=50, 经检验 x=50 是原方程的解, 则甲工程队每天能完成绿化的面积是50 2=100(m 2) , 答:甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2; (2)设应安排甲队工作y 天,根据题意得: 0.4y+ 0.25 8, 解得: y 10, 答:至少应安排甲队工作10 天 24如图,在 ABC 中, CA=CB ,以 BC 为直径的圆 O 交 AC 于点 G,交 AB 于点 D, 过点 D 作 O 的切线,交CB 的延长线于点E,交 AC 于点 F (1)求证: DFAC (2)如果 O 的半径为5,AB=12 ,求 cosE 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档
32、 【考点】 切线的性质 【分析】(1)首先连接OD,由 CA=CB ,OB=OD ,易证得ODAC,又由 DF 是 O 的切 线,即可证得结论; (2)首先连接BG,CD,可求得CD 的长,然后由AB ?CD=2SABC=AC ?BG,求得 BG 的 长,易证得BGEF,即可得cosE=cosCBG= 【解答】(1)证明:连接OD, CA=CB ,OB=OD , A=ABC , ABC= ODB, A=ODB , ODAC , DF 是 O 的切线, ODDF, DFAC (2)解:连接BG,CD BC 是直径, BDC=90 , CA=CB=10 , AD=BD=AB= 12=6, CD=8
33、 AB ?CD=2SABC=AC ?BG, BG= BGAC ,DFAC, BGEF E=CBG, cosE=cosCBG= 六、解答题: (本大题2 个小题,每小题10 分,共 20 分) 25定义:若函数y1 与 y 2同时满足下列两个条件: 两个函数的自变量x,都满足a x b; 在自变量范围内对于任意的x1都存在 x2,使得 x1所对应的函数值 y1 与 x 2所对应的函数 值 y2相等我们就称y1与 y2这两个函数为 “ 兄弟函数 ” 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 设函数 y1=x22x3,y2=kx 1 (1)当 k=1 时,求出所有使得y1=y2成立的 x 值; (2)当
34、1 x 3 时判断函数y1= 与 y 2=x+5 是不是 “ 兄弟函数 ” ,并说明理由; (3)已知:当 1 x 2 时函数 y1=x 22x 3 与 y 2=kx 1 是“ 兄弟函数 ” ,试求实数k 的取值 范围? 【考点】 一次函数综合题 【分析】(1)将 k=1 代入一次函数,与二次函数联立方程组,求出方程组的解即为x 的 值; (2)假设两个函数是兄弟函数,联立方程组,求出x 的值,判断x 值是否符合相应取值范 围,经过判断,两个函数不是兄弟函数; (3)利用兄弟函数的定义,联立函数解析式,求出x 的值,然后将x 的值带入x 的取值范 围,得到一个不等式组,解不等式组即可 【解答】
35、 解: (1)当 k=1 时, y2=x1, 根据题意得: x 22x3=x1, 解得: x=2 或 x= 1; x 的 值为 2 或 1 (2)不是 若=x+5, 则 x25x+3=0, 解得: x= , 3 4 4,1, 两根均不在1 x 3, 函数 y1= 与 y2=x+5 不是 “ 兄弟函数 ” (3)函数y1=x 22x3 与 y 2=kx 1 是“ 兄弟函数 ” , x 2 2x3=kx1, 整理得: x2( 2+k)x2=0, 解得: x=, 1 x 2 时函数 y1=x 22x 3与 y 2=kx1 是“ 兄弟函数 ” , 1 2, 解得: k 3, 或 1 2, 欢迎来主页下
36、载-精品文档 精品文档 解得: k 1 实数 k 的取值范围: k 3 或 k 1 26如图, E 的圆心 E(3,0) ,半径为5, E 与 y 轴相交于 A、B 两点(点A 在点 B 的上方),与 x 轴的正半轴交于点C,直线 l 的解析式为y=x+4,与 x 轴相交于点D,以点 C 为顶点的抛物线过点 B (1)求抛物线的解析式; (2)判断直线l 与 E 的位置关系,并说明理由; (3)动点 P 在抛物线上,当点P 到直线 l 的距离最小时求出点P的坐标及最小距离 【考点】 二次函数综合题 【分析】(1)连接 AE,由已知得: AE=CE=5 ,OE=3,利用勾股定理求出OA 的长,结
37、合 垂径定理求出OC 的长,从而得到C 点坐标,进而得到抛物线的解析式; (2)求出点D 的坐标为(, 0) ,根据 AOE DOA ,求出 DAE=90 ,判断出直 线 l 与 E 相切与 A (3)过点 P 作直线 l 的垂线段PQ,垂足为Q,过点 P 作直线 PM 垂直于 x 轴,交直线l 于 点M设 M(m,m+4) ,P(m,m2+m4) ,得到 PM=m+4(m2+m4) =m2 m+8=(m2)2+ ,根据 PQM 的三个内角固定不变,得到PQ 最小 =PM最 小?sinQMP=PM最小?sinAEO= =,从而得到最小距离 【解答】 解: (1)如图 1,连接 AE,由已知得:
38、AE=CE=5 ,OE=3, 在 RtAOE 中,由勾股定理得,OA=4, OCAB , 由垂径定理得,OB=OA=4 , 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 OC=OE+CE=3+5=8 , A(0,4) ,B(0, 4) , C(8,0) , 抛物线的顶点为 C, 设抛物线的解析式为y=a(x8) 2, 将点 B 的坐标代入上解析的式,得64a=4,故 a=, y=(x8) 2, y=x2+x 4 为所求抛物线的解析式, (2)在直线l 的解析式 y=x+4 中,令 y=0,得x+4=0,解得 x=, 点 D 的坐标为(,0) , 当 x=0 时, y=4, 点 A 在直线 l 上, 在
39、RtAOE 和 RtDOA 中, =,=, =, AOE= DOA=90 , AOE DOA , AEO= DAO , AEO+ EAO=90 , DAO+ EAO=90 ,即 DAE=90 ,因此,直线l 与 E 相切与 A (3)如图 2,过点 P 作直线 l 的垂线段PQ,垂足为 Q,过点 P 作直线 PM 垂直于 x 轴,交 直线 l 于点 M 设 M(m,m+4) ,P(m,m2+m4) ,则 PM=m+4(m2+m4)=m2 m+8=(m2) 2+ , 当 m=2 时, PM 取得最小值, 此时, P(2,) , 对于 PQM, PMx 轴, QMP= DAO= AEO , 欢迎来主页下载-精品文档 精品文档 又 PQM=90 , PQM 的三个内角固定不变, 在动点 P 运动的过程中,PQM 的三边的比例关系不变, 当 PM 取得最小值时,PQ 也取得最小值, PQ 最小 =PM最小?sinQMP=PM 最小?sinAEO= =, 当抛物线上的动点P 的坐标为 (2, ) 时,点 P 到直线 l 的距离最小, 其最小距离为
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