高中数学—期望方差学习.pdf
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1、精品文档 . 一、基本知识概要: 1、 期望的定义: 一般地,若离散型随机变量的分布列为 x1 x2x3xn P P1P2P3Pn 则称 E=x1P1+x2P2+x3P3+xnPn+为的数学期望或平均数、均值,简称期望。 它反映了 :离散型随机变量取值的平均水平。 若 =a+b(a、b 为常数 ),则也是随机变量,且E=aE+b。E(c)= c 特别地,若B(n,P),则 E=nP 2、 方差、标准差定义: D=(x1-E) 2P1+(x 2-E)2P2+(xn-E)2Pn+称为随机变量的方差。 D的算术平方根D=叫做随机变量的标准差。 随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动
2、、集中与离散的程度。 且有 D(a+b)=a 2D,可以证明 D=E 2- (E)2。 若 B(n,p),则 D=npq,其中 q=1-p. 3、特别注意:在计算离散型随机变量的期望和方差时,首先要搞清其分布特征及分布 列,然后要准确应用公式,特别是充分利用性质解题,能避免繁琐的运算过程,提高运 算速度和准确度。 考点一期望与方差 例 1:设随机变量具有分布P(k) 1 5, k1,2,3,4,5,求E( 2) 2, (21)D, (1) 例 2:有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责, 政府到两建材厂抽样检查, 他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数 如下:
3、110 120 125 130 135 P0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中和分别表示甲、 乙两建材厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120 的 条件下,比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好 100 115 125 130 145 P0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 精品文档 . 考点二离散型随机变量的分布、期望与方差 例 3:如图,一个小球从M处投入,通过管道自上而下落到A或 B或 C。已 知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。某商家按上述投球 方式进行促销活动,若投入的小球落到A ,B ,C,则分别设为1,2,3 等奖。 ()已知获得1,2,3 等奖
4、的折扣率分别为50% ,70% ,90% 。记随机变量 为获得 k (k=1, 2, 3) 等奖的折扣率, 求随机变量的分布列及期望E; ()若有3 人次(投入1 球为 1 人次)参加促销活动,记随机变量为获 得 1 等奖或 2 等奖的人次,求P(=2). 2、某同学参加3 门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 4 5 ,第二、 第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(pq) ,且不同课程是否取得优秀成绩相 互独立。记为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 0 1 2 3 p 6 125 a d 24 125 ( ) 求该生至少有1 门课程取得优秀成绩的概率;( ) 求p,
5、q的值;( ) 求数学期望E。 精品文档 . 开锁次数的数学期望和方差 例有 n 把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能把大门上的锁打开用它们去试 开门上的锁 设抽取钥匙是相互独立且等可能的每把钥匙试开后不能放回求试开次数 的数学期望和方差 次品个数的期望 例某批数量较大的商品的次品率是5,从中任意地连续取出10 件,为所含次品 的个数,求E 根据分布列求期望和方差 例设是一个离散型随机变量,其分布列如下表,求 q 值,并求D E 、 1 0 1 P 2 1 q 21 2 q 产品中次品数分布列与期望值 精品文档 . 例一批产品共100 件,其中有 10 件是次品, 为了检验其质量,从中以随机
6、的方式选 取 5 件,求在抽取的这5 件产品中次品数分布列与期望值,并说明 5 件中有 3 件以上 (包括 3 件)为次品的概率 (精确到0 001) 评定两保护区的管理水平 例甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致 相等而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为: 甲保护区: 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保护区: 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平 射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差 例某射手进行射击练习,每射击 5 发子弹算一组, 一旦命中就停止射击,并进入下一 组的练习,
7、 否则一直打完5 发子弹后才能进入下一组练习,若该射手在某组练习中射击命中 一次,并且已知他射击一次的命中率为0.8,求在这一组练习中耗用子弹数的分布列,并 求出的期望E 与方差D (保留两位小数) 准备礼品的个数 例某寻呼台共有客户3000 人,若寻呼台准备了100 份小礼品,邀请客户在指定时间 精品文档 . 来领取假设任一客户去领奖的概率为4问:寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请? 若能使每一位领奖人都得到礼品,寻呼台至少应准备多少礼品? 精品文档 . 精品文档 . 分析: 求)(kP时,由题知前1k次没打开,恰第k 次打开不过,一般我们应从简单 的地方入手,如3 ,2, 1,发现规律后,
8、推广到一般 解:的可能取值为1,2,3, n ; 1 2 1 1 21 2 1 ) 1 1 1() 1 1()3( ; 1 1 11 1 1 ) 1 1()2( , 1 )1( nnn n n n nnn P nnn n nn P n P nknkn kn n n n n n n knknnnn kP 1 1 1 2 1 2 3 1 21 1 1 ) 2 1 1() 2 1 1() 1 1 1 () 1 1()( ;所以的分布列为: 1 2 k n P n 1 n 1 n 1 n 1 2 111 3 1 2 1 1 n n n nnn E; n n n n n k n n n n n n D
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