2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含答案).pdf
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1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷) 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页,均为非选择题( 第 1 题第 20 题,共 20 题 ) 。本卷满分为160 分,考试时间为120 分钟。 考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回。 2答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位 置。 3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4作答试题, 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。 5如需作图,须用2B铅笔
2、绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式: 锥体的体积 1 3 VSh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高 一、填空题:本大题共14 小题,每小题5 分,共计70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1已知集合0,1,2,8A, 1,1,6,8B,那么 AB 2若复数z 满足i12iz,其中 i 是虚数单位,则z 的实部为 3已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 4一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为 5函数 2( )log1f xx的定义域为 6某兴趣小组有2 名男生和3 名女生,现从中任选2 名学生去参加活动
3、,则恰好选中2 名女生的概率为 7已知函数sin(2)() 22 yx的图象关于直线 3 x对称,则的值是 8在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点( ,0)F c到一条渐近线的距离为 3 2 c ,则其离心率的值是 9函数( )f x 满足(4)( )()fxf x xR ,且在区间 ( 2,2 上, cos,02, 2 ( ) 1 |, 20, 2 x x f x xx- 则(15)ff的值为 10如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 11若函数 32 ( )21()f xxaxaR 在 (0,) 内有且只有
4、一个零点,则( )f x 在 1,1 上的最大值与最小值 的和为 12在平面直角坐标系xOy 中,A为直线:2lyx 上在第一象限内的点,(5,0)B,以AB为直径的圆C与直 线l交于另一点D若0AB CD,则点A的横坐标为 13 在 ABC 中,角,A B C 所对的边分别为, ,a b c , 120ABC , ABC的平分线交AC于点D, 且1BD , 则4ac的最小值为 14已知集合 * |21,Ax xnnN, * |2 , n Bx xnN将 AB 的所有元素从小到大依次排列构成 一个数列 n a记 n S 为数列 n a的前n项和,则使得 1 12 nn Sa成立的n的最小值为
5、二、解答题:本大题共6小题,共计 90分请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 15 (本小题满分14 分) 在平行六面体 1111 ABCDAB C D 中, 1111 ,AAAB ABBC 求证: ( 1) 11 ABAB C平面; (2) 111 ABB AABC平面平面 16 (本小题满分14 分) 已知,为锐角, 4 tan 3 , 5 cos() 5 (1)求cos2的值; (2)求 tan() 的值 17 (本小题满分14 分) 某农场有一块农田, 如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧 MPN(P为此圆弧的中点) 和线段MN构成 已 知圆O的半径为4
6、0 米,点P到MN的距离为50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚内的 地块形状为矩形ABCD, 大棚内的地块形状为CDP, 要求,A B 均在线段MN上, ,C D 均在圆弧上 设 OC与MN所成的角为 (1) 用分别表示矩形ABCD和CDP的面积,并确定sin的 取值范围; (2) 若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3求当为何值时, 能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 18 (本小题满分16 分) 如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点 1 ( 3,) 2 ,焦点 12 (3,0),( 3,0)FF,圆O的直径为 12 F F
7、(1)求椭圆C及圆O的方程; (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P 若直线l与椭圆 C有且只有一个公共点,求点P的坐标; 直线l与椭圆C交于,A B两点若OAB的面积为 2 6 7 , 求直线l的方程 19 (本小题满分16 分) 记( ),( )fxg x 分别为函数( ),( )f xg x 的导函数若存在 0 xR ,满足 00 ()()f xg x且 00 ()()fxgx,则 称 0 x 为函数( )f x 与( )g x 的一个“ S点” (1)证明:函数( )f xx 与 2 ( )22g xxx不存在“S点”; (2)若函数 2 ( )1f xax与( )lng xx 存
8、在“S点”,求实数a的值; (3)已知函数 2 ( )f xx a , e ( ) x b g x x 对任意0a,判断是否存在0b,使函数( )f x 与( )g x 在 区间 (0, ) 内存在“S点”,并说明理由 20 (本小题满分16 分) 设 na 是首项为 1a ,公差为 d的等差数列, nb 是首项为 1b ,公比为 q的等比数列 (1)设 11 0,1,2abq,若 1 | nn ab b 对 1,2,3,4n均成立,求d的取值范围; (2)若 * 11 0,(1, 2 m abmqN,证明:存在dR,使得 1 | nn ab b 对 2,3,1nm均成立, 并求d的取值范围(
9、用 1, ,b m q 表示) 数学试题参考答案 一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法每小题5 分,共计70 分 11 ,8 22 3 90 48 52 ,+)6 3 10 7 6 82 9 2 2 10 4 3 11 3 123 13 9 1427 二、解答题 15本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证 能力满分14 分 证明: ( 1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1 因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C, 所以AB平面A1B1C (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1
10、A1为平行四边形 又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形, 因此AB1A1B 又因为AB1B1C1,BCB1C1, 所以AB1BC 又因为A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC, 所以AB1平面A1BC 因为AB1平面ABB1A1, 所以平面ABB1A1平面A1BC 16本小题主要考查同角三角函数关系、两角和(差)及二倍角的三角函数,考查运算求解能力满分14 分 解: (1)因为 4 tan 3 , sin tan cos ,所以 4 sincos 3 因为 22 sincos1,所以 29 cos 25 , 因此, 27 cos22cos1 25 (2)因为,为锐角,
11、所以(0, ) 又因为 5 cos() 5 ,所以 22 5 sin()1cos () 5 , 因此 tan()2 因为 4 tan 3 ,所以 2 2tan24 tan 2 1tan7 , 因此, tan2tan()2 tan()tan2() 1+tan2tan()11 17本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知 识分析和解决实际问题的能力满分14 分 解: (1)连结PO并延长交MN于H,则PHMN,所以OH=10 过O作OEBC于E,则OEMN,所以COE=, 故OE=40cos ,EC=40sin , 则矩形ABCD的面积为240cos
12、 (40sin +10) =800(4sin cos+cos CDP的面积为 1 2 240cos( 4040sin )=1600(cossin cos) 过N作GNMN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10 令GOK=0,则 sin 0= 1 4 ,0( 0, 6 ) 当 0, 2 )时,才能作出满足条件的矩形ABCD, 所以 sin 的取值范围是 1 4 ,1) 答:矩形ABCD的面积为800(4sin cos+cos)平方米,CDP的面积为 1600(cossin cos) , sin 的取值范围是 1 4 , 1) (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43,
13、设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k0) , 则年总产值为4k800( 4sin cos+cos)+3k1600( cossin cos) =8000k(sin cos+cos) , 0, 2 ) 设f()= sin cos+cos, 0, 2 ) , 则 222 ( )cossinsin(2sinsin1)(2sin1)(sin1)f 令( )=0f,得 = 6 , 当 ( 0, 6 )时,( )0f,所以f( )为增函数; 当 ( 6 , 2 )时,( )0,设 32 ( )3h xxxax a 因为(0)0(1)1320hahaa,且h(x)的图象是不间断的, 所
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