九年级提优(以正方形为载体的中考综合题).pdf
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1、以正方形为载体的中考试题研究课 主备:李维明班级 _姓名 _ 正方形是一种特殊的四边形,它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身,优美漂亮,是中 考的热点 , 与它有关的中考题经常出现. 正方形是初中数学的重要知识内容,纵观近几年全国各 地中考试题,可以发现诸多以正方形为载体,结合其它数学知识的优秀试题,格调清新、构思巧 妙,较好的考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平. 方法迁移类: 1. (11 济宁 )数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图1,正方形ABCD 的边长为12, P 为 边 BC 延长线上的一点,E 为 DP 的中点, DP 的垂直平分线交边DC 于 M,交边 AB 的延长
2、 线于 N. 当 CP6 时, EM 与 EN 的比值是多少? 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过E 作直线平行于BC 交 DC,AB 分别于 F, G,如图 2,则可得: DF FC DE EP,因为 DEEP,所以 DFFC .可求出 EF 和 EG 的值,进而 可求得 EM 与 EN 的比值 . (1) 请按照小明的思路写出求解过程. (2) 小东又对此题作了进一步探究,得出了 DPMN 的结论 .你认为小东的这个结论正确吗? 如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由. 图 1 图 2 2. (11 永州 )探究问题: 方法感悟: 如图,在正方形ABCD 中,点 E,F 分别
3、为 DC,BC 边上的点,且满足EAF=45 ,连接 EF,求证 DE+BF=EF 感悟解题方法,并完成下列填空: 将 ADE 绕点 A 顺时针旋转90 得到 ABG,此时 AB 与 AD 重合,由旋转可得: AB=AD, BG=DE, 1=2, ABG=D=90 , ABG+ABF=90 +90 =180 , 因此,点G,B,F 在同一条直线上 EAF=45 2+3=BAD EAF=90 45 =45 1=2, 1+3=45 即 GAF=_ 又 AG=AE, AF=AF GAF_ _=EF,故 DE+BF=EF 方法迁移: 如图,将ABCRt沿斜边翻折得到ADC,点 E,F 分别为 DC,B
4、C 边上的点, 且 EAF=1 2 DAB试猜想 DE,BF,EF 之间有何数量关系,并证明你的猜想 问题拓展: 如图,在四边形ABCD 中, AB=AD, E, F 分别为 DC,BC 上的点,满足EAF=1 2DAB , 试猜想当 B 与 D 满足什么关系时, 可使得 DE+BF=EF 请直接写出你的猜想 (不必说明理由) 图 图 图 3. (10 绍兴 ) (1) 如图 1,在正方形ABCD 中 ,点 E、F 分别在边BC、CD 上, AE、BF 交于点 O, AOF 90 . 求证: BECF. (2) 如图 2,在正方形ABCD 中,点 E、H、F、G 分别在边AB、BC、CD、DA
5、 上, EF、GH 交于点 O, FOH90 , EF4. 求 GH 的长 . (3) 已知点 E、H、F,、G 分别在矩形ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上, EF、GH 交于点 O, FOH90 ,EF 4.直接写出下列两题的答案: 如图 3,矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成,求 GH 的长; 如图 4,矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成,求 GH 的长 (用 n 的代数式表示). 图 1 图 2 图 4 图 3 4. ( 10 无锡 )(1)如图 1,在正方形ABCD 中, M 是 BC 边(不含端点B、C)上任意一点,P 是 BC 延长线上一点,N 是 DCP
6、 的平分线上一点若AMN=90 ,求证: AM=MN 下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明 证明:在边AB 上截取 AE=MC,连 ME 正方形ABCD 中, B=BCD=90 ,AB=BC NMC=180 AMNAMB =180 BAMB=MAB=MAE (下面请你完成余下的证明过程) (2)若将( 1)中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC” (如图 2) ,N 是 ACP 的平分线上 一点,则当AMN=60 时,结论AM=MN 是否还成立?请说明理由 ( 3)若将( 1)中的“正方形ABCD ”改为“正n边形 ABCD X” ,请你作出猜想: 当
7、AMN= 时,结论AM=MN 仍然成立(直接写出答案,不需要证明) 类似题型 (10 黄冈 )如图,一个含45 的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合,过E 点 作 EFAE 交 DCE 的角平分线于F 点,试探究线段AE 与 EF 的数量关系,并说明理由. 5.(11 舟山 )以四边形 ABCD 的边 AB、BC、 CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直 角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形EFGH (1)如图 1,当四边形ABCD 为正方形时,我们发现四边形EFGH 是正方形;如图2,当四 边形 ABCD 为矩形时,请判断:四边形EFGH 的
8、形状(不要求证明) ; (2)如图 3,当四边形ABCD 为一般平行四边形时,设ADC=(0 90 ) , 试用含的代数式表示HAE; 求证: HE=HG; 四边形 EFGH 是什么四边形?并说明理由 6(11 盐城 ) 情境观察 A B C D H E F G 图 2 E B F G D H A C 图 3 图 1 A BC D H E F G 将矩形 ABCD 纸片沿对角线AC 剪开,得到 ABC 和 ACD,如图 1 所示 .将 ACD 的顶点 A 与点 A 重合,并绕点A 按逆时针方向旋转,使点D、A(A )、 B 在同一条直线上, 如图 2 所示 观察图 2 可知:与 BC 相等的线
9、段是, CAC = 问题探究 如图 3,ABC 中,AG BC 于点 G,以 A 为直角顶点,分别以AB、AC 为直角边,向 ABC 外作 等腰 RtABE 和等腰 RtACF,过点 E、F 作射线 GA 的垂线,垂足分别为P、Q. 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系,并证明你的结论. 拓展延伸 如图 4, ABC 中, AGBC 于点 G,分别以 AB、AC 为一边向 ABC 外作矩形ABME 和矩形 ACNF,射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB= k AE,AC= k AF,试探究 HE 与 HF 之间的数 量关系,并说明理由. 结论探究类: 1(11 临沂 )如图 1,奖三角
10、板放在正方形ABCD 上,使三角板的直角顶点E 与正方形 ABCD 的 顶点 A 重合,三角板的一边交CD 于点 F,另一边交CB 的延长线于点G 图 4 M N G F E CB A H 图 1 图 2 C ABA DC A B CD B C DA(A) C ( 1)求证: EFEG; ( 2) 如图 2, 移动三角板, 使顶点 E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上, 其他条件不变 (1) 中的结论是否仍然成立?若成立,情给予证明;若不成立,请说明理由; ( 3)如图 3,将( 2)中的“ ABCD”改为“矩形ABCD ” ,且使三角板的一边经过点B,其 他条件不变,若ABa,BC b
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