高考数学圆锥曲线单元测试卷.pdf
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1、圆锥曲线单元测试卷 (满分: 150 分时间: 120 分钟 ) 一、选择题 (本大题共12 小题,每小题5 分,共 60 分) 1双曲线 x 2 16 y 2 9 1 的焦点坐标为 () A(7,0)、 (7,0)B(0,7)、(0,7) C(5,0)、(5,0) D(0, 5)、 (0,5) 答案: C 解析: c2a2b216925,c5.故选 C. 2椭圆 x 2 100 y 2 361 上的点 P 到它的左准线的距离是 10,那么点 P 到它的右焦点的距离 是() A15 B12 C0 D8 答案: B 解析: 椭圆的离心率为e 4 5,又 P 到它的左准线的距离是 10,所以 P
2、到它的左焦点的 距离是 4 510 8,故 P 到它的右焦点的距离是 20812.故选 B. 3已知双曲线 x 2 a 2 y 2 2 1(a2)的两条渐近线的夹角为 3,则双曲线的离心率为 () A. 23 3 B.2 6 3 C.3 D2 答案: A 4(2009 陕西高三质检 )抛物线 y 4x 2 上的一点 M 到焦点的距离为1,则点 M 的纵坐 标是 () A. 17 16 B.15 16 C 15 16 D 17 16 答案: C 解析: 本题考查抛物线定义的应用;由抛物线方程得其准线方程为y 1 16,据抛物线定 义可得 1 16yM 1? yM 15 16(注本题易错求抛物线准
3、线方程 )故选 C. 5(2008 嘉兴质检 )若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭 圆长轴的最小值为() A1 B.2 C2 D22 答案: D 解析: 设椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,a2b 2c2,由题意,1 2 2c b 1, bc1,b2c2 a 22bc2. a2.长轴最小值为2 2.故选 D. 6(2008 北京海淀模拟)已知 A(0,b), B 为椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的左准线与x 轴的交点, 若线段 AB 的中点 C 在椭圆上,则该椭圆的离心率为() A.3 B. 3 2 C. 3 3 D. 3 4 答案: C 解析: 由
4、已知得B a 2 c ,0 ,又 A(0, b), AB 的中点为C a 2 2c, b 2 . C 点在椭圆上, a 2 4c 2 1 41, a 2 c 23, c 2 a 2 1 3,e c a 3 3 .故选 C. 7设 F1、F2分别是椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的左、 右焦点, P 是其右准线上纵坐标为3c(c 为半焦距 )的点,且 |F1F2|F2P|,则椭圆的离心率是 () A. 31 2 B.1 2 C. 51 2 D. 2 2 答案: D 解析: P 点的坐标为 a 2 c ,3c , |PF2| a 2 c c 2( 3c)2 b 4 c 23c2
5、b 4 3c4 c 2 ,|F1F2|2c, b4 3c44c4,b4c4,bc, e c a c b 2c2 1 2 2 2 .故选 D. 8(2009 北京市东城区)已知 P 为抛物线x 22py(p0)上的动点, F 为抛物线的焦点,过 F 作抛物线在P 点处的切线的垂线,垂足为G,则点 G 的轨迹方程为 () Ax 2y2p2 By p 2 Cx 2 yp 2 2p 2 4 Dy0 答案: D 解析: 如下图所示,由y x 2 2p可得 y x p, 9(2009 东北三省四市联考)已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角 6, 4,则离心率 e
6、的取值范围是 () A 2 3 3 ,2 B2,2 C 2 3 3 ,2 D 23 3 , 答案: C 解析: 由双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1 的一条渐近线倾斜角 6, 4可知 k 21 3,1,因为焦点在 x 轴上,则由e 2k21,可得 e24 3, 2,e 23 3 ,2,故选 C. 解析: 如下图所示,点P、Q 分别为双曲线与抛物线的两个交点,直线PQ 经过焦点F,由 抛物线方程y22px 可得点 P 的坐标为 (p 2,p),由双曲线上此点坐标为 P(c,b 2 a ),可得 b 2 a 2c, 即得 e 22e1 0,解之得 e12(舍去 )或 e2 1,故应选C.
7、11已知双曲线C:x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0,b0),以 C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的 圆的半径是 () AaBb C.abD.a 2b2 答案: B 解析: 圆的半径即为双曲线C 的右焦点到渐近线的距离,渐近线方程为yb ax,即 bx ay0,所以 r |bc| a 2b2b.故选 B. 12 已知 A、 B 是抛物线y 22px(p0)上的两个点, O 为坐标原点, 若 |OA|OB|, 且 AOB 的垂心恰是抛物线的焦点,则直线AB 的方程是 () AxpBx3p Cx5 2p Dx 3 2p 答案: C 解析: 令 A(x1,y1),根据图形的对称性可知 B
8、(x1, y1)焦点 F(p 2, 0),由于 F 是 AOB 的重心,则 y1 x1 p 2 y1 x1 1 又 y2 1 2px1 2p x1p 2 1 x15 2p 故选 C. 二、填空题 (本大题共4 小题,每小题5 分,共 20 分 ) 13已知正方形ABCD,则以 A、B 为焦点, 且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_ 答案:21 解析: 设正方形边长为1,则 AB2c1,c 1 2. ACBC122a,a 2 1 2 e c a 1 2 21 2 21. 14 已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,若在双曲线的右支上 存在一点
9、P,使得 |PF1|3|PF2|,则双曲线的离心率 e 的取值范围为 _ 答案: 11,故 1b0)的右焦点为F,右准线为l,离心率 e 5 5 , 过顶点 A(0, b)作 AMl,垂足为M,则直线FM 的斜率等于 _ 答案: 1 2 解析: AMl 于 M, 且 A(0, b),l:xa 2 c ,M a 2 c ,b . 由 e c a 5 5 得 a5c.ba2c22c. M(5c,2c),F(c,0),kFM 2c 4c 1 2. 16 已知两点A(1,0), B(b,0),若抛物线y 2 4x 上存在点 C 使 ABC 为等边三角形,则 b_. 答案: 5 或 1 3 解析:解决本
10、题的关键是如何把ABC 为等边三角形这一条件转化为与点C 坐标相关的 关系式由题意,A、B 都在 x 轴上,若使 ABC 为等边三角形,则kAC 3,且点 C 在 x 轴上的射影为线段AB 的中点由于点 C 在抛物线y24x 上, 可设点 C y 2 0 4 ,y0, 则 kAC y0 y 2 0 4 1 3,化简可得3y4 040y 2 0480,解之得 y 2 012 或 y 2 0 4 3,又由于 y 2 0 4 1b 2 ,则有 1b 2 3 或1b 2 1 3,所以 b 5或 1 3. 三、解答题 (本大题共6 小题,共70 分 ) 17 (本小题满分10 分)从椭圆 x 2 a 2
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