中考三角形四边形压轴题精选(四)及解析.pdf
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1、学习好资料欢迎下载 20XX 年各地中考数学汇编三角形四边形精选(3140) 【31. 2012 南通】 26 (本小题满分10 分) 如图,菱形ABCD 中, B60o, 点 E 在边 BC 上,点 F 在边 CD 上 (1)如图 1, 若 E是 BC 的中点,AEF 60o ,求证: BEDF ; (2)如图 2,若 EAF60o , 求证: AEF 是等边三角形 【考点 】菱形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定 【专题 】证明题 【分析 】 (1)首先连接AC,由菱形ABCD 中, B=60 ,根据菱形的性质,易得ABC 是 等边三角形,又由三线合一,可证得AEBC,继而求
2、得FEC=CFE,即可得 EC=CF,继而证得BE=DF; ( 2 ) 首 先 连 接AC , 可 得 ABC是 等 边 三 角 形 , 即 可 得AB=AC , 以 求 得 ACF =B=60 ,然后利用平行线与三角形外角的性质,可求得AEB=AFC,证 得AEB AFC,即可得AE=AF,证得: AEF 是等边三角形 【解答 】证明:(1)连接 AC, 菱形 ABCD 中, B=60 , AB=BC=CD, C=180 - B=120 , ABC 是等边三角形, E 是 BC 的中点, AEBC, AEF=60 , FEC=90 -AEF=30 , CFE=180 -FEC-C =180
3、-30 -120 =30 , FEC=CFE , EC=CF, BE=DF ; (2)连接 AC, 四边形ABCD 是菱形, B=60 AB=BC, D=B=60 , ACB=ACF, ABC 是等边三角形, AB=AC, ACB=60 , B=ACF=60 , ADBC, AEB=EAD =EAF+FAD=60 +FAD, AFC =D+FAD=60 +FAD, AEB=AFC , 在 ABE 和AFC 中, B=ACF AEB=AFC AB=AC B E C F A D 图 1 B E C F A D 图 2 学习好资料欢迎下载 ABE ACF(AAS) , AE=AF, EAF=60 ,
4、 AEF 是等边三角形 【点评 】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及 等腰三角形的判定与性质此题难度适中,注意准确作出辅助线,注意数形结合思 想的应用 【32. 2012 南通】 27 (本小题满分12 分) 如图,在 ABC 中, ABAC10cm,BC12cm,点 D 是 BC 边的中点点P 从点 B 出发,以acm/s(a0)的速度沿BA 匀速向点A 运动;点Q 同时以1cm/s 的速度从点D 出发,沿 DB 匀速向点B 运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动, 设它们运动的时间为ts (1)若 a2,BPQ BDA ,求 t 的值;
5、 (2)设点 M 在 AC 上,四边形PQCM 为平行四边形 若 a 5 2,求 PQ 的长; 是否存在实数a, 使得点 P在 ACB 的平分线上? 若存在,请求出a 的值;若不存在,请说明理由 【考点 】相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理;平行四边形的性质 【专题 】几何综合题 【分析 】 (1)由 ABC 中, AB=AC=10 厘米, BC=12 厘米, D 是 BC 的中点,根据等腰三角 形三线合一的性质,即可求得BD 与 CD 的长,又由a=2,BPQ BDA,利用相 似三角形的对应边成比例,即可求得t 的值; (2) 首先过点P 作 PEBC 于 E, 由四边形PQ
6、CM 为平行四边形, 易证得 PB=PQ, 又由平行线分线段成比例定理,即可得方程5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ,解此方程即可求得 答案; 首先假设存在点P 在 ACB 的平分线上, 由四边形PQCM 为平行四边形, 可得四 边形 PQCM 是菱形,即可得PB=CQ,PM:BC=AP:PB,及可得方程组,解此方程 组求得 t 值为负,故可得不存在 【解答 】解: (1) ABC 中, AB=AC=10cm,BC=12cm,D 是 BC 的中点, BD=CD=1 2 BC=6cm, a=2, BP=2tcm,DQ=tcm, BQ=BD-QD=6-t(cm) , BPQ BDA, B
7、P BD =BQ AB , 即 2t 6 =6-t 10 , 解得: t=18 13 ; (2)过点P 作 PEBC 于 E, 四边形PQCM 为平行四边形, 学习好资料欢迎下载 PMCQ,PQ CM,PQ=CM, PB:AB=CM:AC, AB=AC, PB=CM, PB=PQ, BE=1 2 BQ=1 2 (6-t)cm, a=5 2 , PB=5 2 tcm, ADBC, PEAD, PB:AB=BE:BD, 即 5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 , 解得: t=3 2 , PQ=PB=5 2 t=15 4 (cm) ; 不存在理由如下: 四边形PQCM 为平行四边形, PMC
8、Q,PQ CM,PQ=CM, PB:AB=CM:AC, AB=AC, PB=CM, PB=PQ 若点 P 在 ACB 的平分线上,则PCQ=PCM, PMCQ, PCQ= CPM, CPM=PCM, PM=CM, 四边形PQCM 是菱形, PQ=CQ, PB=CQ, PB=atcm,CQ=BD+QD=6+t(cm) , PM=CQ=6+t( cm) ,AP=AB-PB=10-at(cm) , 即 at=6+t, PMCQ, PM:BC=AP:AB, 6+t 12 =10-at 10 , 化简得: 6at+5t=30, 把代入得,t=-6 11 , 不存在实数a,使得点P 在 ACB 的平分线上
9、 【点评 】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及 等腰三角形的性质等知识此题难度较大,注意数形结合思想与方程思想的应用 学习好资料欢迎下载 【33. 2012 常德】 25.已知四边形ABCD 是正方形, O 为正方形对角线的交点,一动点P 从 B 开始,沿射线 BC 运到,连结DP,作 CNDP 于点 M,且交直线AB 于点 N,连结 OP,ON。 (当 P 在线 段 BC 上时,如图9:当 P 在 BC 的延长线上时,如图10) (1)请从图 9,图 10 中任选一图证明下面结论: BN=CP:OP=ON,且 OPON (2) 设 AB=4,BP=x,试
10、确定以O、P、B、N 为顶点的四边形的面积y与x的函数关系。 知识点考察:正方形的性质,三角形外角和定理,全等三角形的判定, 两线垂直的判定,多边形的面积的分解,函数解析式的确定, 分段函数,点到直线的距离。 能力考察:观察能力,逻辑思维与推理能力,书写表达能力,综合运用知识的能 力,分类讨论的能力。 分析:对于图9,证明线段相等,一般情况下找全等。根据BN,CP 的分布情况, 可以观察 CNB 和 DPC,然后证明两三角形全等。也可以观察 CAN 和 DBP,证明 AN=BP,从而有BN=CP。至于以 O、P、B、N 为顶点的四边 形的面积,则要把四边形分解为两个三角形去解决问题。 对于图
11、10 来说图型要稍微复杂一点,先证PDB NCA,得 DP=CN 再证 PDO NCO,则有 OP=ON, 证明:对于图9, (1) ABCD 为正方形, DCP=90o , DCP 为 Rt, 同理: CBN 为 Rt, 而 CMDP PCM=CDP 在 RtDCP 与 RtCBN 中: DCP=CBN=90o CDP=PCN CD=BC RtDCP RtCBN CP=BN 而 OCP=OBN=45o OC=OB COP BONON=OPCOP=BON 又 OCOB COB=COP+POB=90o 学习好资料欢迎下载 =BON+POB=90o ONOP (2)S四边形OPBN=SONB+SO
12、PB =2 2 1 2)-4 2 1 xx(=4 (0x 4) 对于图 10, (1) ABCD 为正方形, AC,BD 为对角线, DCP=90o , 而 CMDP, PCM=PDC PDB=ACN 又 DPB=ANC BD=AC PDB NCA PB=ANDP=CN CP=BN 而 PDB=ACN 且 OD=OC PDO NCO OP=ON, DOP=CON DOC=90o, PON=NOC+POC=DOP+POC =DOC =90o, OPON。 (2) S四边形OBNP=S OBP+SPBN =xxxxx- 2 1 )4-( 2 1 2 2 1 2 (x 4) 点评:这是一个动态几何问
13、题,综合性程度高,图形也比较复杂,但我们只要仔细观 察、冷静思考、 多读几遍题目就会找到解决问题的突破口,千万不能轻易放弃。 【34.2012 珠海】 17. 如图,把正方形ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转45 得到正方形A B CD (此时,点B 落在对角线AC 上,点 A 落在 CD 的延长线上) ,A B 交 AD 于点 E,连接 AA、 CE 求证: (1)ADA CDE; (2)直线 CE 是线段 AA的垂直平分线 学习好资料欢迎下载 解: 证明: ( 1)四边形ABCD 是正方形, AD=CD, ADC=90 , A DE=90 , 根据旋转的方法可得:EA D=45 , ,
14、A ED=45 , AD=DE, 在 AA D 和 CED 中, AA D CED(SAS ) ; (2) AC=A C, 点 C 在 AA 的垂直平分线上, AC 是正方形ABCD 的对角线, CAE=45 , AC=AC,CD=CB, AB= A D, 在 AEB和AED 中, AEB AED, AE=AE, 点 E 也在 AA 的垂直平分线上, 直线 CE 是线段 AA 的垂直平分线 【35.2012 长沙】 24如图,已知正方形ABCD 中,BE 平分 DBC 且交 CD 边于点 E,将BCE 绕点 C 顺时 针旋转到 DCF 的位置,并延长BE 交 DF 于点 G (1)求证: BD
15、G DEG; (2)若 EG?BG=4,求 BE 的长 学习好资料欢迎下载 解答: (1)证明:将 BCE 绕点 C 顺时针旋转到 DCF 的位置, BCE DCF , FDC =EBC, BE 平分 DBC , DBE=EBC, FDC =EBE, DGE=DGE, BDG DEG (2)解: BCE DCF, F=BEC, EBC=FDC, 四边形ABCD 是正方形, DCB=90 , DBC=BDC=45 , BE 平分 DBC , DBE=EBC=22.5 =FDC , BDF=45 +22.5 =67.5 , F=90 22.5 =67.5 =BDF , BD=BF, BCE DCF
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