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1、一元二次方程应用题经典题型汇总 同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有 关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为 难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目, 各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我 们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还 要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典 型题目,举例说明. 一、增长率问题 例 1恒利商厦九月份的销售额为200 万元,十月份的销售
2、额下降了20%,商厦从十 一月份起加强管理,改善经营, 使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6 万元, 求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1 20%)(1+ x)2193.6 , 即(1+ x)21.21,解这个方程,得x10.1,x2 2.1(舍去) . 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中 每一个数据的意义,即可利用公式m(1+ x)2n 求解,其中mn.对于负的增长率问题,若 经过两次相等下降后,则有公式m(1x)2n 即可求解,其中mn. 二、商品定价 例 2
3、益群精品店以每件21 元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商 品售价 a 元,则可卖出(350 10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20% , 商店计划要盈利400 元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解根据题意,得(a21)(350 10a)400 ,整理,得a256 a+775 0, 解这个方程,得a125,a231. 因为 21(1+20%) 25.2,所以 a2=31 不合题意,舍去 . 所以 350 10a350 1025100 (件) . 答需要进货100 件,每件商品应定价25 元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点. 三、
4、储蓄问题 例 3王红梅同学将1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期 后将本金和利息取出,并将其中的500 元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存 入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90% ,这样到期后,可得本金和利 息共 530 元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得1000(1+ x)500(1+0.9 x)530.整理,得90x2+145 x30. 解这个方程,得x10.0204 2.04% ,x2 1.63.由于存款利率不能为负数,所以将 x2 1.63 舍去 . 答第一次存款的年利率约是2
5、.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例 4一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4 米, 旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2 米, 二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多 不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗? 解设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m ,上口宽为 (x+0.1+1.4)m. 则根据题意,得 1 2 (x+0.1+x+1.4+0.1)x1.8,整理,得x2+0.8x1.80. 解这个方程,得x11.8(舍去), x21. 所以 x+
6、1.4+0.1 1+1.4+0.1 2.5. 答渠道的上口宽2.5m ,渠深 1m. 说明求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等 量关系,列出方程求解. 五、古诗问题 例 5读诗词解题:(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄). 大江东去浪淘尽,千古风流数人物; 而立之年督东吴,早逝英年两位数; 十位恰小个位三,个位平方与寿符; 哪位学子算得快,多少年华属周瑜? 解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x3. 则根据题意,得x210( x3)+ x,即 x2-11x+30 0,解这个方程,得x5 或 x6. 当 x5 时,周瑜的年龄25 岁,非而立之年,不合
7、题意,舍去; 当 x6 时,周瑜年龄为36 岁,完全符合题意. 答周瑜去世的年龄为36 岁. 说明本题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题,通过求解同学们应从 中认真口味 . 六、象棋比赛 例 6象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2 分,输者记 0 分.如果平局,两个选手各记1 分,领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数,分 别是 1979 ,1980 ,1984 ,1985. 经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少 个选手参加 . 解设共有 n 个选手参加比赛,每个选手都要与(n1)个选手比赛一局,共计n(n 1)局,但两个选手的对局从每个选手的角
8、度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为 1 2 n(n1)局.由于每局共计2 分, 所以全部选手得分总共为n(n1)分.显然 (n1)与 n 为相 邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是 1979 ,1984 ,1985 ,因此总分只能是1980 ,于是由 n(n1)1980 ,得 n2n1980 0, 解得 n145,n2 44(舍去) . 答参加比赛的选手共有45 人. 说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些 方法求解 . 七、情景对话 例 7春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图1 对话中收费标
9、 准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000 元.请问该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游? 解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为 10002525000 27000 , 所以员工人数一定超过25 人. 则根据题意,得1000 20( x25) x27000. 整理,得 x275 x+1350 0,解这个方程,得x145,x230. 当 x45 时, 1000 20( x25) 600 700,故舍去x1; 当 x230 时, 1000 20( x25) 900 700 ,符合题意 . 答:该单位这次共有30 名员工去天水湾风景区旅游. 说
10、明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中 找出符合题意的结论. 八、等积变形 例 8将一块长18 米,宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积 为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m) 图 1 如果人数超过25 人,每增加1 人,人均旅游费用降低20 元, 但人均旅游费用不得低于700 如果人数不超过25 人, 人均旅游费用为1000 元. (1)设计方案1(如图 2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. (2)设计方案2(如图 3)花园中每个角的扇形都相同. 以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2 中的小路的宽和图3 中扇形的
11、半径;若不能符合条件,请说明理由. 解都能 .(1)设小路宽为x,则 18x+16xx2 2 3 18 15,即 x234 x+180 0, 解这个方程,得x 34436 2 ,即 x6.6. (2)设扇形半径为r,则 3.14r 2 2 3 18 15,即 r 257.32 ,所以 r7.6. 说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式; 其原则是形变积不变; 或形变积也变,但重量不变,等等. 九、动态几何问题 例 9如图 4 所示,在 ABC中, C90 ,AC6cm,BC8cm,点 P 从点 A 出发 沿边 AC向点 C以 1cm/s 的速度移动,点Q从 C 点出发沿CB边向点
12、 B 以 2cm/s 的速度移 动. (1)如果 P、Q 同时出发,几秒钟后,可使PCQ的面积为8 平方厘米? 图 2 Q P C B A 图 4 图 3 (2)点 P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得PCQ的面积等于ABC的面 积的一半 .若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由. 解因为 C90 ,所以 AB 22 ACBC 22 6810 (cm). (1)设 xs 后,可使 PCQ的面积为8cm 2,所以 APxcm,PC(6x)cm ,CQ 2xcm. 则根据题意,得 1 2 (6x) 2x8.整理,得x26x+80,解这个方程,得x12,x2 4. 所以 P、Q同时出发
13、, 2s 或 4s 后可使 PCQ的面积为8cm 2. (2)设点 P 出发 x 秒后, PCQ的面积等于 ABC面积的一半 . 则根据题意,得 1 2 (6x) 2x 1 2 1 2 6 8.整理,得x26x+120. 由于此方程没有实数根,所以不存在使PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻. 说明本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据 路程速度时间. 十、梯子问题 例 10一个长为10m 的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m. (1)若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑动多少米? (2)若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米? (3)如果梯子顶
14、端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多 少米? 解依题意,梯子的顶端距墙角 22 1068(m). (1)若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm. 则根据勾股定理,列方程72+(6+x)2102,整理,得x2+12x150, 解这个方程,得x11.14,x2 13.14 (舍去), 所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1.14m. (2)当梯子底端水平向外滑动1m 时,设梯子顶端向下滑动xm. 则根据勾股定理,列方程(8 x)2+(6+1) 2100.整理,得 x216 x+130. 解这个方程,得x10.86,x215.14 (舍去) . 所以若梯子底端
15、水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m. (3)设梯子顶端向下滑动xm 时,底端向外也滑动xm. 则根据勾股定理,列方程(8x) 2+(6+ x)2102,整理,得 2x24x0, 解这个方程,得x10(舍去), x22. 所以梯子顶端向下滑动2m 时,底端向外也滑动2m. 说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三 角形 . 十一、航海问题 例 11如图 5 所示,我海军基地位于A 处,在其正南方向200 海里处有一重要目标B,在 B 的正东方向200 海里处有一重要目标 C,小岛 D 恰好位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F 位于 BC上且恰好处于小岛D
16、 的正南方向, 一艘军舰从A 出发,经 B 到 C 匀速巡航 一艘补给船同时从D 出发,沿南偏西方向匀速直线航行, F E D C B A 图 5 欲将一批物品送往军舰. (1)小岛 D 和小岛 F 相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的2 倍,军舰在由 B 到 C的途中与补给船相遇于E 处, 那么相遇时补给船航行了多少海里?(精确到0.1 海里) 解 (1) F 位于 D 的正南方向, 则 DFBC.因为 ABBC, D 为 AC的中点,所以 DF 1 2 AB 100 海里,所以,小岛D 与小岛 F 相距 100 海里 . (2) 设相遇时补给船航行了x 海里,那么DEx 海里,
17、 AB+BE2x 海里, EFAB+BC (AB+BE)CF(300 2x)海里 . 在 RtDEF中,根据勾股定理可得方程x2100 2+(300 2x)2,整理,得 3x2 1200 x+100000 0. 解这个方程,得x1200 1006 3 118.4 ,x2200+ 1006 3 (不合题意,舍去). 所以,相遇时补给船大约航行了118.4 海里 . 说明求解本题时,一定要认真地分析题意,及时发现题目中的等量关系,并能从图 形中寻找直角三角形,以便正确运用勾股定理布列一元二次方程. 十二、图表信息 例 12如图 6 所示,正方形ABCD 的边长为12,划分成1212 个小正方形格,
18、将边 长为 n(n 为整数,且 2n11)的黑白两色正方形纸片按图中的方式,黑白相间地摆放, 第一张 n n 的纸片正好盖住正方形ABCD 左上角的n n 个小正方形格,第二张纸片盖住第 一张纸片的部分恰好为(n1)( n1)个小正方形 .如此摆放下去,直到纸片盖住正方形 ABCD的右下角为止 . 请你认真观察思考后回答下列问题: (1)由于正方形纸片边长n 的取值不同,?完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不 同,请填写下表: 纸片的边长n2 3 4 5 6 使用的纸片张数 (2)设正方形ABCD被纸片盖住的面积(重合部分只计一次)为S1,未被盖住的面 积为 S2. 当 n2 时,求 S1S2
19、的值; 是否存在使得S1S2的 n 值?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由. 解(1)依题意可依次填表为:11、10 、9、8、7. (2)S1n2+(12 n) n2(n1) 2 n2+25n12. 当 n2 时, S1 22+252 1234,S212 12 34 110. 所以 S1S234110 1755. 若 S1S2,则有 n2+25n12 1 2 12 2,即 n225 n+840, 解这个方程,得n14,n221 (舍去) . 所以当 n4 时, S1S2.所以这样的n 值是存在的 . 说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表,及时挖掘其中的隐含条件,对 于求解第( 3
20、)小题,可以先假定问题的存在,进而构造一元二次方程,看得到的一元二 次方程是否有实数根来加以判断. 十三、探索在在问题 图 6 例 13将一条长为20cm 的铁丝剪成两段, 并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正 方形 . (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分 别是多少 ? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2 吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不 能,请说明理由. 解( 1)设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为(20x)cm. 则根据题意,得 2 4 x + 2 20 4 x 17,解得 x116 ,x24, 当 x16 时, 20x4
21、,当 x4 时,20 x16, 答这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和 16cm. (2)不能 .理由是:不妨设剪成两段后其中一段为ycm,则另一段为(20y)cm.则 由题意得 2 4 y + 2 20 4 y 12,整理,得y220y+104 0,移项并配方,得(y10) 2 40,所以此方程无解,即不能剪成两段使得面积和为12cm 2. 说明本题的第( 2)小问也可以运用求根公式中的b24ac 来判定 .若 b24ac0, 方程有两个实数根,若b24ac0,方程没有实数根,本题中的b24ac 160 即无 解. 十四、平分几何图形的周长与面积问题 例 14如图 7,在等腰梯形ABCD
22、中, ABDC5,AD4,BC10.点 E?在下底边 BC上,点 F 在腰 AB 上. (1)若 EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为 x,试用含x 的代数式表示BEF 的面积; (2)是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时 BE 的长;若不存在,请说明理由; (3)是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成12 的两部分?若 存在,求此时BE 的长;若不存在,请说明理由. 解(1)由已知条件得,梯形周长为12 ,高 4,面积为28. 过点 F 作 FGBC于 G,过点 A 作 AKBC于 K. 则可得, FG 12 5 x 4 , 所以
23、 SBEF 1 2 BE FG 2 5 x2+ 24 5 x(7x10 ). (2)存在 .由( 1)得 2 5 x2+ 24 5 x14,解这个方程,得x17,x25(不合题意, 舍去), 所以存在线段EF 将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE7. (3)不存在 .假设存在,显然有S BEFS多边形AFECD12, 即(BE+BF)(AF+AD+DC)12.则有 2 5 x2+ 16 5 x 28 3 , 整理,得 3x224x+700,此时的求根公式中的b24ac576840 0, 所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF 将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成 12 的两部分
24、 . F E D CB A 图 7 K G 说明求解本题时应注意:一是要能正确确定x 的取值范围;二是在求得x25 时, 并不属于7x10 ,应及时地舍去;三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方 程来探索问题的存在性. 十五、利用图形探索规律 例 15在如图 8 中,每个正方形有边长为1 的小正方形组成: (1)观察图形,请填写下列表格: 正方形边长1 3 5 7 n(奇数) 黑色小正方形个数 正方形边长2 4 6 8 n(偶数) 黑色小正方形个数 (2)在边长为n(n1)的正方形中,设黑色小正方形的个数为P1,白色小正方形 的个数为P2,问是否存在偶数 n,使 P25P1?若存在,
25、请写出 n 的值;若不存在,请说 明理由 . 图 8 解(1)观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、 n 时,黑色正方形的个 数为 1、5、9、13、2n1(奇数);正方形的边长为2、4、6、8、 n 时,黑色正方 形的个数为4、8、12、16 、2n(偶数) . (2)由( 1)可知 n 为偶数时P12n,所以 P2n22n.根据题意,得n22n5 2n,即 n212n0,解得 n112,n20(不合题意,舍去).所以存在偶数n12 ,使得 P25P1. 说明本题的第( 2)小问是属于存在性问题,求解时,可以先假设结论存在,进而从 中找到数量关系,使问题获解. 综上所言,列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的 延续和发展,列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型,然后通过解方程获得对 实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是:找出未知量与已知量之间的联系,从 而将实际问题转化为方程模型,要善于将普通语言转化为代数式,在审题时,要特别注意 关键词语,如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等,此外, 还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系,如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问 题、增长率问题中的一些特殊关系等等.
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