初中数学九大几何模型.pdf
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1、初中数学九大几何模型 一、手拉手模型-旋转型全等 (1)等边三角形 【条件】: OAB和 OCD 均为等边三角形; 【结论】: OAC OBD ; AEB=60 ; OE平分 AED (2)等腰直角三角形 【条件】: OAB和 OCD 均为等腰直角三角形; 【结论】: OAC OBD ; AEB=90 ; OE平分 AED (3)顶角相等的两任意等腰三角形 O AB C D E 图 1 O AB C D E 图 2 O AB C D E 图 1 O AB C D E 图 2 O C D E O D E 【条件】: OAB和 OCD 均为等腰三角形; 且 COD= AOB 【结论】: OAC O
2、BD ; AEB= AOB ; OE平分 AED 二、模型二:手拉手模型-旋转型相似 (1)一般情况 【条件】:CD AB , 将 OCD 旋转至右图的位置 【结论】:右图中 OCD OAB OAC OBD ; 延长 AC交 BD于点 E,必有 BEC= BOA (2)特殊情况 【条件】:CD AB, AOB=90 将 OCD 旋转至右图的位置 【结论】:右图中 OCD OAB OAC OBD ; 延长 AC交 BD于点 E,必有 BEC= BOA ; O AB C D O AB C D E O AB C D E O AB C D OA OB OC OD AC BD tan OCD ; BDA
3、C ; 连接 AD 、BC ,必有 2 2 22 CDABBCAD;BDAC 2 1 SBCD 三、模型三、对角互补模型 (1)全等型 -90 【条件】: AOB= DCE=90 ; OC平分 AOB 【结论】: CD=CE ; OD+OE=2OC ; 2 OCEOCDDCE OC 2 1 SSS 证明提示: 作垂直,如图2,证明 CDM CEN 过点 C作 CF OC ,如图 3,证明 ODC FEC 当 DCE的一边交AO的延长线于D时(如图4) : 以上三个结论:CD=CE ; OE-OD=2OC ; 2 OCDOCE OC 2 1 SS (2)全等型 -120 【条件】: AOB=2
4、DCE=120 ; OC平分 AOB 【结论】: CD=CE ; OD+OE=OC; 2 OCEOCDDCE OC 4 3 SSS A OB C D E 图 1 A OB C D E M N 图 2 A OB C D EF 图 3 A O B C D E M N 图 4 证明提示:可参考“全等型-90 ”证法一; 如右下图:在OB上取一点F,使 OF=OC ,证明 OCF为等边三角形。 (3)全等型 - 任意角 【条件】: AOB=2 ,DCE=180-2; CD=CE ; 【结论】: OC平分 AOB ; OD+OE=2OCcos; cossinOCSSS 2 OCEOCDDCE 当 DCE
5、的一边交AO的延长线于D时(如右下图) : 原结论变成:; ; 。 可参考上述第种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 A O B C E F A O B C E F F A O B E D C A O B E C D 对角互补模型总结: 常见初始条件:四边形对角互补,注意两点:四点共圆有直角三角形斜边中线; 初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别; 注意 OC平分 AOB时, CDE= CED= COA= COB如何引导? 四、模型四:角含半角模型90 (1)角含半角模型90 -1 【条件】:正方形ABCD ; EAF=45; 【结论】: EF=DF+BE ; CEF的周长为正
6、方形ABCD周长的一半; 也可以这样: 【条件】:正方形ABCD ; EF=DF+BE ; 【结论】: EAF=45 ; A OB C D E A B C D E F A BC D E F G (2)角含半角模型90 -2 【条件】:正方形ABCD ; EAF=45; 【结论】: EF=DF-BE ; (3)角含半角模型90 -3 【条件】: RtABC ; DAE=45 ; 【结论】: 222 DECEBD(如图 1) 若 DAE旋转到 ABC外部时,结论 222 DECEBD仍然成立(如图2) A B C D E F A B C D E F A B C D E F A BCDE A BCD
7、E F (4)角含半角模型90变形 【条件】:正方形ABCD ; EAF=45; 【结论】: AHE为等腰直角三角形; 证明:连接AC (方法不唯一) DAC= EAF=45, DAH= CAE ,又 ACB= ADB=45 ; DAH CAE , AE AC AH DA AHE ADC , AHE为等腰直角三角形 模型五:倍长中线类模型 (1)倍长中线类模型-1 【条件】:矩形ABCD ; BD=BE ; DF=EF ; 【结论】:AFCF 模型提取:有平行线AD BE ;平行线间线段有中点DF=EF ; A BC DE A BC DE F A BC D G H F E A BC D G H
8、 F E A BCE F D H A B E F D H 可以构造“ 8”字全等 ADF HEF 。 (2)倍长中线类模型-2 【条件】:平行四边形ABCD ; BC=2AB ; AM=DM; CE AB; 【结论】: EMD=3 MEA 辅助线:有平行AB CD ,有中点AM=DM,延长 EM ,构造 AME DMF ,连接 CM构造 等腰 EMC ,等腰 MCF 。 (通过构造8 字全等线段数量及位置关系,角的大小转化) 模型六:相似三角形360旋转模型 (1)相似三角形(等腰直角)360旋转模型 - 倍长中线法 【条件】: ADE 、 ABC均为等腰直角三角形;EF=CF ; 【结论】:
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