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1、四边形经典 考点 1 特殊的平行四边形的性质与判定 1矩形的定义、性质与判定 (1)矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。 (2)矩形的性质:矩形的对角线_;矩形的四个角都是_角。矩形具有 _的一切性质。矩形是轴对称图形,对 称轴有 _条,矩形也是中心对称图形,对称中心为_的交点。矩形被对角线分成了_个等腰三角形。 (3)矩形的判定 有一个是直角的平行四边形是矩形;有三个角是_的四边形是矩形;对角线_ _的平行四边形是矩形。 温馨提示:矩形的对角线是矩形比较常用的性质,当对角线的夹角中,有一个角为60 度时,则构成一个等边三角形;在判定矩形时, 要注意利用定义或对角线来判定时,必须先证
2、明此四边形为平行四边形,然后再一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。 2菱形的定义、性质与判定 (1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 (2)菱形的性质 菱形的 _都相等;菱形的对角线互相_ _,并且每一条对角线_一组对角;菱形也具有平行四边形的一切性质。菱 形即是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴有_ _条。 (3)菱形的面积 菱形的面积 =底高,菱形的面积= 2 1 ab,其中 a,b 分别为菱形两条对角线的长。菱形被对角线分成了4 个全等的直角三角形。 (4)菱形的判定: _都相等的四边形是菱形;对角线_的平行四边形是菱形;有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
3、温馨提示:在利用菱形的判定时,也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形,而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形, 有对角线时,通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明,否则一般不利用此定理。 3正方形的性质及判定方法 (1)正方形的性质:正方形的四个角都是_,四条边都 _; 正方形的两条对角线_,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 (2)正方形的判定方法:有一组邻边相等的_ _ 是正方形;对角线互相_的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形;对 角线 _的菱形是正方形。 温馨提示:无论
4、是正方形的性质还是正方形的判定,它的中心思想就是正方形即是矩形,又是菱形,如果都从这个出发,则一切的性 质与判定就都有了。但要注意在利用对角线判定正方形时,“平分”这个前提,因为只有对角线平分了,此四边形才是平行四边形了,然 后再证明是矩形又是菱形。 考点 2 梯形的概念及判定方法 1梯形的定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 (1)等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形;(2)直角梯形:一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。在初中阶段重点研究等腰梯形。 2等腰梯形的性质与判定 性质: (1)等腰梯形中,同一底上的两个角相等;(2)等腰梯形的对角线相等; 判定: (1)同一底上的两个
5、角相等的梯形是等腰梯形;(2)对角线相等的梯形是等腰梯形;(3)有两个腰相等的梯形是等腰梯形。 3梯形中常用的辅助线: 梯形的辅助线分割后的图形图形示意 1. 平移一腰 将梯形分割成一个平行四边形和一个三 角形 2. 平移两腰将梯形分割成两个平行四边形和一个三 角形 3. 平移对角线 将梯形分割成一个平行四边形和一个三 角形 4. 作双高 将梯形分割成一个矩形形和一个三角形 5. 延长两腰 将梯形分割成两个三角形 6. 连接一顶点和一腰中 点 将梯形分割成一个三角形 温馨提示:在涉及梯形的题目中,通常要添加辅助线,把梯形问题转化为三角形或平行四边形题,然后再利用这两种图形的性质解题,所 以掌握
6、常用的辅助线对解决梯形问题,至关重要,所以平时同学们要注意搜集或留意辅助线的作法,使它们变成自己的东西。 中考热点难点突破 例 1:如图,菱形ABCD 中, B60,AB2,E、F 分别是 BC 、CD的中点, 连接 AE 、EF 、AF ,则 AEF的周长为() A32 B 33 C34 D3 例 2:如图,把矩形 ABCD 沿EF对折后使两部分重合,若150o,则 AEF =() A110 B 115 C120 D 130 一、选择题 1如图,在菱形ABCD 中, AB = 5, BCD = 120 ,则对角线AC 等于() A20 B15 C 10 D5 B A C D 第 1 题 例
7、1 题图 例 2 题图 2如图,将一个长为10cm,宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下, 再打开,得到的菱形的面积为() A 2 10cmB 2 20cmC 2 40cmD 2 80cm 3如图,菱形ABCD 中,对角线AC、BD 相交于点 O,M、N 分别是 边 AB、AD 的中点,连接OM、ON、MN,则下列叙述正确的是() AAOM 和 AON 都是等边三角形B四边形 MBON 和四边形MODN 都是菱形 C四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形D四边形 MBCO 和四边形 NDCO 都是等腰梯形 4.如图,在菱形ABCD 中, A=11
8、0 ,E,F 分别是边 AB 和 BC 的中点, EPCD 于点 P,则 FPC=() A35B45C50D55 5. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF若AB3,则BC的长为 ( ) A1 B2 C 2 D 3 6如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使C落在C处,BC交AD于E,则下列结论不一定成立的是() AAD BC B EBDEDB CABECBDDsin AE ABE ED 7如图,正方形ABCD 的边长为 8,M在 DC上,且 DM=2 ,N是 AC上一动点,则DN+MN 的最小值为() A8 B82 C217 D10 8已知等腰梯形ABCD 的中位线 EF
9、的长为 6,腰 AB的长为 5,则等腰梯形的周长为(? ) A11 B16 C17 D22 9如图,ABCD 的周长是 28 ,ABC 的周长是 22 ,则 AC 的长为( ) A6 B12 C4 D8 10如图,正方形ABCD 内有两条相交线段MN、EF,M、N、E、F 分别在边 AB、CD、AD、BC 上 小明认为:若MN = EF,则 MNEF;小亮认为 : 若 MNEF,则 MN = EF你认为 A仅小明对B仅小亮对C两人都对D两人都不对 C D C A B E 第 6 题图 A D E P C B F 第 4 题图 D B C A N M O 第 3 题图 第 10 题图 A B C
10、 D 第 8 题图 O A D C B 第 9 题图 第 7 题图 A B C D F E O A B C D 11如图,菱形ABCD 的边长为10cm,DEAB, 3 sin 5 A,则这个菱形的面积= cm 2 12如图,等腰梯形ABCD 中,ADBC,6047BADBC ,则梯形 ABCD 的周长是. 13 )如图,四边形ABCD 是平行四边形,使它为矩形的条件可以是 14在等腰梯形ABCD 中,ADBC, AD3cm, AB4cm, B60, 则下底 BC 的长为cm . 15如图,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为16cm,若墙上钉子间的距离16cmABBC,则1度 16.我们把依次连
11、接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形若一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形, 则四边形 ABCD可以是 17. 在四边形 ABCD中,对角线AC与BD互相平分,交点为O在不添加任何辅助线的前提下,要使四边形ABCD 成为矩形,还需添加一个条件,这个条件可以是 18 )如果用 4 个相同的长为3 宽为 1 的长方形,拼成一个大的长方形,那么这个大的长方形的周长可以是_ 19如图边长为1 的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A 顺时针旋转45,则这两个正方形重叠 部分的面积是 20 如图,在梯形ABCD 中, DCAB,DACB,若 AB10,DC4,tanA2
12、,则这个梯形的面积是_ 三、解答题 21如图,ABCD 是菱形,对角线AC 与 BD 相交于 O, 306ACDBD , (1)求证: ABD 是正三角形; (2)求AC 的长(结果可保留根号) 22. 已知:如图,四边形ABCD 是菱形,过AB 的中点 E 作 AC 的垂线 EF,交 AD 于点 M,交 CD 的延长线于点F. (1)求证: AM=DM ; (2)若 DF=2,求菱形 ABCD 的周长 23如图所示,在RtABC中,90ABC将RtABC绕点C顺时 针方向旋转 60 得到 DEC, 点E在AC上,再将Rt ABC 沿着 AB所在 直线翻转180得到ABF连接AD (1)求证:
13、四边形 AFCD是菱形; (2)连接BE并延长交AD于G,连接CG, 请问:四边形 ABCG是什么特殊平行四边形?为什么? 24如图:已知在ABC中,ABAC,D为BC边的中点,过 1 第 15 题图 A B C A D C B C D B 第 19 题 E D C A B 第 12 题图 第 13 题 第 20 题图 O D C B A 第 23 题图 A D F C E G B 第11 题 B A C D F M 第 22 题图 E 点D作DE ABDFAC, ,垂足分别为 EF, . (1) 求证: BEDCFD ; (2)若90A,求证:四边形 DFAE是正方形 . 25如图,在等腰梯
14、形ABCD 中, C=60 ,ADBC,且 AD=DC,E、F 分 别在 AD、DC 的延长线上,且DE=CF,AF、BE 交于点 P (1)求证: AF=BE; (2)请你猜测 BPF 的度数,并证明你的结论 26如图,在梯形ABCD 中, ABCD,BDAD,BC=CD, A=60, CD=2cm.(1) 求 CBD 的度数; (2)求下底 AB 的长 . 27 如图,ABM为直角,点C为线段BA的中点,点D是射线BM上的一个动点(不与点B重合) ,连结AD,作BEAD, 垂足为E,连结CE,过点E作EF CE,交BD于F (1)求证: BFFD ; (2)A在什么范围内变化时,四边形AC
15、FE是梯形,并说明理由; (3) A在什么范围内变化时,线段DE 上存在点 G ,满足条件 1 4 DGDA,并说明理由 28如图,四边形ABCD 是正方形, ABE是等边三角形, M为对角线 BD (不含 B 点)上任意一点,将 BM绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN ,连接 EN 、AM 、CM. 求证: AMB ENB ; 当 M点在何处时, AM CM的值最小; 当 M点在何处时, AM BM CM的值最小,并说明理由; 当 AM BM CM的最小值为13时,求正方形的边长. 28 数学课上, 张老师出示了问题: 如图 1,四边形 ABCD 是正方形, 点 E 是边 BC 的中点90
16、AEF o ,且 EF 交正方形外角 DCG 的平行线 CF 于点 F,求证: AE=EF 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB 的中点 M,连接 ME,则 AM=EC,易证AMEECF,所以AE EF 在此基础上,同学们作了进一步的研究: (1)小颖提出:如图2,如果把“点E 是边 BC 的中点”改为“点E 是边 BC 上(除 B,C 外)的任意一点” ,其它条件不变,那么结 论“ AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由; (2)小华提出:如图3,点 E 是 BC 的延长线上(除C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=E
17、F”仍然成立你认为小华 的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由 D E F P B A 第 25 题图 C A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B 图 3 A B C D F E M E A D B C N M 第 24 题图 D C B E A F 参考答案 基础知识回放 答案:相等直平行四边形2 对角线4 直角相等四条边垂直平分 11平分 122 13四条 边 14互相垂直 15直角 16相等 17相等 18矩形 19垂直 20相等 中考效能测试 一、选择题 1D【解析】 本题考查了菱形的性质和等边三角形的判
18、定。根据菱形的性质知:AB=BC, B+ BCD=180 ,又有 BCD=120 , B=60 , 所以三角形ABC 为等边三角形,所以AC=AB=5 。 2A【解析】 本题考查了三角形中位线的性质、矩形、菱形的面积的计算等知识点。矩形对折两次后,所得的矩形的长、宽分别为原来的 一半,即为5 cm ,4 cm ,而沿两邻边中点的连线剪下,剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形,所以菱形的两条对 角线的长分别为5 cm,4 cm,所以菱形的面积为 2 1 5410 cm 2. 也可以根据三角形中位线的性质求出剪下的部分的面积占矩形面积的 比例求出菱形的面积。 3C【解析】 本题考
19、查了菱形的有关性质和位似图形的定义。在ABORt中,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得, BMAMOM,但 AO 与 OM 和 AM 的大小却无法判断,所以无法判断AON和AMO是等边三角形。同样,我们也无法判 断 BM 是否等于 OB 和 BM 是否等于OC,所以也无法判断平行四边形MBON 和 MODN 是菱形,也无法判断四边形MBCO 和 NDCO 是 等腰梯形。根据位似图形的定义可知四边形MBCO 和四边形 NDCO 是位似图形,故本题选C。 4C 5D.【解析】 本题综合考查了利用等腰三角形的性质和三角函数及方程的知识求解问题的能力, 由题意得 CAB= ECB=30 ,不
20、妨设BC=x,则由三角函数的知识可得EB= 3 3 x,AB=3x, 即3x=3,解得 x=3, 故选 D。 6C 7D【解析】本题的关键是找到点N的位置,使DN+MN 的和最小,因为B、D关于直线 AC对称,所以BM与 AC的交点即为点N的位置,此 时有最小值, BM的长度就是DN+MN 的最小值 . 根据勾股定理BM= BC 2+CM2=10,故答案为 D. 8D【解析】过点D 作 DEAC ,交 AC的延长线于点C。则此等腰梯形的周长就为三角形DBE的周长,即等于此梯形的中位线的2 倍加上 腰长的 2 倍即可。 9D 10D【解析】 本题综合考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等
21、、 直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的内角和等知识点,是一道综合性很强的题目。 解答本题应首先延长PF交 AB 的延长线于点G,根据题意,利用角角边可证明BGFCPF,于是得到GFPC,PF=FG, 所以在 EGPRt 中, EF 是斜边上的中线,于是得到FE=FG,所以 FEGG ,又因为E、F 分别为中点,所以EB=FB,所以, FE=FG=BF,所以BFEBEFGFPC,又因为 A=110 ,所以 0 70EBF, 因此, 00 180702FPC, 解得 0 55FPC。 第 10题答图 A B C D E P F G 1160 1217 13答案不唯一,如AC=BD, BAD=9
22、0o,等 147 15 120 【解析】本题考查了菱形和等边三角形的性质。如图, 连接 AB, 由题意可知AB=AC=BC=16cm, ABC是等边三角形, 所以 ACB=60 , 2=180-60 =120,由菱形的性质可得1=2=120。 16菱形(对角线互相垂直的四边形均可)【解析】本题考查中点四边形的识别能力,其实质是三角形的中位线定理。由三角形中位线可 知中点四边形的各边是原四边形的对角线的中位线,若中点四边形是矩形,则需原四边形的对角线互相垂直。 17AC=BD ,【解析】 本题考查了矩形的判定方法,是一道开放性问题.由对角线 AC与 BD互相平分, 可知四边形ABCD 是平行四边
23、形 . 根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可添加条件 “AC=BD ” ;根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可考虑添加条件 “ ABC=90 ”. 1814 或 16 或 26【解析】 本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力。解答本题最好能将所有的拼法画出来后再进行求解。本题的 不同拼法有: 1921【解析】 根据题意知:2AC,则12DC,且 EDC 为等腰直角三角形,所以12DCED。所 以,1212() 12( 2 1 11 2 1 ) 阴影EDCABC SSS。 易错易混点: 有的学生因没有挖掘出EDC为等腰直角三角形这一条件,进而使求阴影部分的面积陷入困境。 2042 【
24、解析】本题难度中等,考查等腰梯形的知识. 如图,作DE AB,CFAB,垂足分别为E、F,根据题意可得:矩形CDEF , ADE BCF ,所以 CD=EF=4 ,所以 AE=BF=1( ) 2 ABCD=3. 因为 tanA= DE AE =2, 所以 DE=6 , 所以这个梯形的面积是 1 () 2 ABCD DE42. 三、解答题 21 (1)证明: AC 是菱形 ABCD 的对角线, AC 平分 BCD又ACD= 30, BCD=60 BAD 与 BCD 是菱形的一组对角, BAD=BCD=60 AB、 AD 是菱形的两条边, ABAD ABD 是正三角形 A B C12 (2)解:
25、O 为菱形对角线的交点, 1 2390 2 ACOCODBDCOD,在RtCOD中,tantan30 OD OCD OC , 3 3 3 tan30 3 3 OD OC , 26 3ACOC,答AC的长为6 3 22 (1)略证:四边形ABCD 是菱形, ABCD, AB=AD. ACEF, AM=AE. AE= 2 1 AB, AM= 2 1 AD. AM=DM . (2)提示 : 证明 AME DMF . DF =AE=2. 菱形 ABCD 的周长为 16. 23 (1)证明:RtDEC是由RtABC绕C点旋转60得到, 60ACDCACBACD, ACD 是等边三角形, AD DCAC
26、又Rt ABF 是由Rt ABC 沿AB所在直线翻转 180 得到 90ACAFABFABC, FBC是平角点F、B、C 三点共线AFC是等边三角形 AF FCAC3 分ADDCFCAF 四边形 AFCD是菱形 (2)四边形ABCG是矩形 证明:由( 1)可知: ACD 是等边三角形, DEAC于E AE ECAGBC EAGECBAGEEBC, AEGCEB AG BC四边形ABCG是平行四边形,而90ABC 四边形 ABCG是矩形 24 (1)DEABDFACQ, 90BEDCFD,ABACQ, BC,DQ是BC的中点,BDCD,BEDCFD. (2)Q DEABDFAC, , 90AED
27、AFD,90AQ, 四边形DFAE为矩形 .BEDCFDQ, DEDF ,四边形DFAE为正方形 25 (1) BA=AD,BAE=ADF,AE=DF, BAE ADF,BE=AF; (2)猜想 BPF= 120 . 由( 1)知 BAE ADF, ABE=DAF . BPF= ABE+BAP= BAE,而 ADBC,C= ABC=60 , BPF= 120 . 26解: (1) A60,BDAD ABD30.又 ABCD CDB ABD30.BCCD CBDCDB30. (2) ABD CBD30 ABC60 A.ADBCCD2cm 在 RtABD 中, AB2AD4cm A D F C E
28、 G B A D F C G E B M 27 (1)在RtAEB中, ACBCQ, 1 2 CEAB, CBCE,CEBCBE90CEFCBF o Q, BEFEBF,EFBF90BEFFED o Q,90EBDEDB o, FEDEDFEFFDQBFFD (2)由( 1)BF FD,而BCCA, CFAD,即AECF若ACEF,则ACEF,BCBF BABD,45A o 当045A oo或 4590A oo 时,四边形 ACFE 为梯形 (3)作GH BD,垂足为H,则GHAB 1 4 DGDAQ, 1 4 DHDB又F为BD中点,H为DF的中点GH为DF的中垂线 GDFGFDQ点G在ED
29、上,EFDGFD180EFDFDEDEF o Q, 180GFDFDEDEF o 3180EDF o 60EDF o 又90AEDF o ,3090A oo 当3090A oo 时,DE上存在点G,满足条件 1 4 DGDA 28解: (1)正确 证明:在 AB上取一点M ,使AM EC,连接ME BMBE45BME,135AME CFQ是外角平分线,45DCF,135ECF AMEECF90AEBBAEQ,90AEBCEF, BAECEFAMEBCF(ASA) AEEF (2)正确 证明:在 BA的延长线上取一点N 使ANCE,连接NE BNBE 45NPCE Q四边形ABCD是正方形, A
30、 D F C G E B N A B C D F E M G H ADBE DAEBEA NAECEF ANEECF(ASA) AEEF 7 (2010 年宁德市)(本题满分13 分)如图,四边形ABCD 是正方形, ABE是等边三角形,M为对角线BD (不含 B 点)上任意一点,将 BM绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN ,连接 EN 、AM 、CM. 求证: AMB ENB ; 当 M点在何处时, AM CM的值最小; 当 M点在何处时, AM BM CM的值最小,并说明理由; 当 AM BM CM的最小值为13时,求正方形的边长. 【答案】解:ABE是等边三角形, BABE , ABE
31、 60. MBN 60, MBN ABN ABE ABN. 即 BMA NBE. 又 MB NB , AMB ENB (SAS ). 当 M点落在 BD的中点时, AM CM 的值最小 . 如图,连接CE ,当 M点位于 BD与 CE的交点处时, AM BM CM的值最小 . 9 分 理由如下:连接MN. 由知, AMB ENB , AM EN. MBN 60, MB NB , BMN 是等边三角形 . BM MN. AM BM CM EN MN CM. 根据“两点之间线段最短” ,得 EN MN CM EC最短 当 M点位于 BD与 CE的交点处时, AM BM CM的值最小,即等于EC的长 . 过 E 点作 EF BC交 CB的延长线于 F, EBF 90 60 30. 设正方形的边长为x,则 BF 2 3 x,EF 2 x . 在 RtEFC中, EF 2FC2EC2,( 2 x ) 2( 2 3 xx) 2 2 13. 解得, x2(舍去负值) . 正方形的边长为2. E A D B C N M F E A D B C N M
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