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1、学习好资料欢迎下载 圆锥曲线基础测试题 一、选择题( 60 ) 1 已知椭圆1 25 2 2 2 y a x )5(a的两个焦点为 1 F、 2 F,且8| 21F F,弦 AB过点 1 F,则 2 ABF的周长为() (A)10 (B)20 ( C)241( D)414 2 椭圆1 36100 22 yx 上的点 P到它的左准线的距离是10, 那么点 P 到它的右焦点的距离是 () (A) 15 (B)12 (C)10 ( D)8 3 椭圆1 925 22 yx 的焦点 1 F、 2 F,P为椭圆上的一点,已知 21 PFPF,则 21PF F的 面积为() (A)9 (B)12 (C) 1
2、0 (D)8 4 以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2 的双曲线方程是() (A)2 22 yx(B)2 22 xy (C)4 22 yx或4 22 xy(D)2 22 yx或2 22 xy 5 双曲线1 916 22 yx 右支点上的一点P 到右焦点的距离为2,则 P 点到左准线的距离为 () (A)6 (B) 8 (C)10 ( D)12 6 过双曲线8 22 yx的右焦点F2有一条弦PQ ,|PQ|=7,F 1是左焦点,那么 F1PQ的周长 为() (A) 28 (B)2814(C)2814(D )28 7 双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2,120 21MF
3、 F,则双曲线的离心率 为() (A)3(B) 2 6 (C) 3 6 (D) 3 3 8 在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为 2 1 ,则该 双曲线的离心率为( C ) A、 2 2 B、2 C、2D、 22 9 如果椭圆1 936 22 yx 的弦被点 (4 ,2) 平分,则这条弦所在的直线方程是() (A)02yx(B)042yx(C )01232yx( D)082yx 学习好资料欢迎下载 10 如果双曲线 22 1 42 xy 上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距 离是(A ) A、 4 6 3 B、 2 6 3 C、2 6D、2 3 1
4、1 中心在原点,焦点在y 轴的椭圆方程是 22 sincos1xy,(0,) 2 , 则() A(0,) 4 B(0, 4 C(,) 42 D,) 42 12 已知双曲线 22 22 10,0 xy Cab ab :的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C 于AB、两点,若4AFFB,则C的离心率为(A ) A、 6 5 B、 7 5 C、 5 8 D、 9 5 二、填空题( 20 ) 13 与椭圆 22 1 43 xy 具有相同的离心率且过点(2,-3)的椭圆的标准 方程是。 14 离 心 率 3 5 e, 一 条 准 线 为3x的 椭 圆 的 标 准 方 程 是。 15 以 知F 是 双 曲
5、线 22 1 412 xy 的 左焦 点,(1,4),AP是双 曲线右支上的动点,则 PFPA的最小值为9 16 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcFc,若双曲线 上 存 在 一 点P使 12 21 sin sin PF Fa PF Fc , 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是 (1, 21)e 三、解答题( 70 ) 17) 已知椭圆 C的焦点 F1(22,0)和 F2(22,0) ,长轴长6,设直线2xy交 椭圆 C于 A、B两点,求线段AB的中点坐标。 学习好资料欢迎下载 18) 已知双曲线与
6、椭圆1 259 22 yx 共焦点,它们的离心率之和为 5 14 ,求双曲线方程. 19) 求两条渐近线为02yx且截直线03yx所得弦长为 3 38 的双曲线方程。 20 (1) 椭圆 C:1 2 2 2 2 b y a x (a b 0) 上的点 A(1, 2 3 ) 到两焦点的距离之和为4, 求椭圆的方程; (2)设 K是(1) 中椭圆上的动点, F1是左焦点 , 求线段 F1K的中点的轨迹方程; (3) 已知椭圆具有性质: 若 M 、N是椭圆 C上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点, 当直线 PM 、PN的斜率都存在并记为kPM、 kPN时,那么 PNPM kk是与点 P位置无关的
7、 定值。试对双曲线1 2 2 2 2 b y a x 写出具有类似特性的性质,并加以证明。 解: (1)1 34 2 2 y x (2)设中点为 (x,y), F1(-1,0) K(-2-x,-y)在1 34 2 2 y x 上1 34 )2( 22 yx 学习好资料欢迎下载 (3) 设 M(x1,y1), N(-x 1,-y1), P(xo,yo), xox1 则)1( 2 2 1 22 a x o by)1( 2 2 1 22 1 a x by 2 2 2 1 2 0 2 2 1 2 02 2 1 2 0 2 1 2 0 10 10 10 10 )( a b xx b xx yy xx y
8、y xx yy PNPM a xx kk 为定值 . 21. 已知双曲线方程为22 22 yx与点 P(1,2), (1)求过点 P(1,2)的直线 l的斜率k的取值范围,使直线与双曲线 有一个交点,两个交点,没有交点。 (2) 过点 P(1,2)的直线交双曲线于A、B两点,若 P为弦 AB的中点, 求直线 AB的方程; (3)是否存在直线l,使 Q(1,1)为l被双曲线所截弦的中点?若存在, 求出直线 l的方程;若不存在,请说明理由。 解: (1) 当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为x=1, 与曲线 C有一个交点 . 当 l 的斜率 存在时,设直线l 的方程为y2=k(x 1), 代入
9、 C的方程,并整理得 (2 k 2)x2+2(k2 2k)x k 2+4k6=0 ( * ) ( ) 当 2k 2=0, 即 k= 2时,方程 ( * ) 有一个根, l 与 C有一个交点 ( ) 当 2k 20, 即 k 2时 =2(k 22k) 24(2 k2)( k2 +4k 6)=16(3 2k) 当 =0, 即 32k=0,k= 2 3 时,方程 ( *) 有一个实根, l 与 C有一个交点 . 当 0, 即 k 2 3 , 又 k2, 故当 k2或2 k2或2k 2 3 时, 方程 ( *) 有两不等实根, l 与 C有两个交点 . 当 0,即 k 2 3 时,方程 ( * ) 无
10、解, l 与 C无交点 . 综上知:当k=2,或 k= 2 3 ,或 k 不存在时, l 与 C只有一个交点; 当2k 2 3 , 或2k2, 或 k2时, l 与 C有两个交点; 学习好资料欢迎下载 当 k 2 3 时, l 与 C没有交点 . ( 2)假设以 P为中点的弦为AB ,且 A(x1,y1),B(x2,y2) ,则 2x1 2y 1 2=2,2x 2 2y 2 2=2 两式 相减得: 2(x1x2)(x 1+x2)=(y1y2)(y1+y2) 又 x1+x2=2,y1+y2=4 2(x1x2)=y1y1 即 kAB= 21 21 xx yy =1 但渐近线斜率为2, 结合图形知直
11、线AB与有交点, 所以以 P为中点的弦为:1xy. (3) 假设以 Q为中点的弦存在, 设为 AB , 且 A(x1,y1),B(x2,y2) , 则 2x1 2y 1 2=2,2x 2 2y 2 2=2 两式相减得:2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2) 又 x1+x2=2,y1+y2=2 2(x1x2)=y1y1 即 kAB= 21 21 xx yy =2 但渐近线斜率为2, 结合图形知直线AB与 C无交点,所以假设不正确,即以Q为 中点的弦不存在. 13) 与椭圆 22 1 43 xy 具有相同的离心率且过点(2, -3)的椭圆的标准方程是 22 1 86 xy 或 2
12、2 34 1 2525 yx 。 14)离心率 3 5 e,一条准线为3x的椭圆的标准方程是 22 9 1 520 xy 。 17) 已知椭圆 C的焦点 F1(22,0)和 F2(22,0) ,长轴长6,设直线2xy交 椭圆 C于 A、B两点,求线段AB的中点坐标。(8 分) 解: 由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上 , 其中 c=22,a=3, 从而 b=1, 所以其标准方程是: 2 2 1 9 x y. 联立方程组 2 2 1 9 2 x y yx ,消去 y 得, 2 1036270xx. 设 A( 11 ,xy),B( 22 ,xy),AB 线段的中点为M( 00 ,xy) 那么 : 1
13、2 18 5 xx, 0 x= 12 9 25 xx 所以 0 y= 0 x+2= 1 5 . 也就是说线段AB中点坐标为 (- 9 5 , 1 5 ). 学习好资料欢迎下载 18) 已知双曲线与椭圆1 259 22 yx 共焦点,它们的离心率之和为 5 14 ,求双曲线方程.(10 分) 解: 由于椭圆焦点为F(0,4), 离心率为 e= 4 5 , 所以双曲线的焦点为F(0,4), 离心率为 2, 从而 c=4,a=2,b=23. 所以求双曲线方程为: 22 1 412 yx . 20) 求两条渐近线为02yx且截直线03yx所得弦长为 3 38 的双曲线方程。 (10 分) 解:设双曲线方程为x2-4y 2= . 联立方程组得: 22 x -4y = 30xy ,消去 y 得, 3x 2-24x+(36+ )=0 设直线被双曲线截得的弦为AB, 且 A( 11 ,xy),B( 22 ,xy), 那么: 12 12 2 8 36 3 2412(36)0 xx x x 那么: |AB|= 222 1212 368(12)8 3 (1)()4(1 1)(84) 333 kxxx x 解得 : =4,所以,所求双曲线方程是: 2 2 1 4 x y
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