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1、学习好资料欢迎下载 求椭圆离心率范围的常见题型解析 解题关键 :挖掘题中的隐含条件,构造关于离心率e 的不等式 . 一、利用曲线的范围,建立不等关系 例 1 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 右顶为 A,点 P在椭圆上, O为坐标原点,且OP垂 直于 PA,求椭圆的离心率e 的取值范围 . 例 2 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcFc,若椭圆上存在 一点P使 1221 sinsin ac PF FPF F ,则该椭圆的离心率的取值范围为21,1. x y OA F1F2 P 学习好资料欢迎下载 二、利用曲线的平
2、面几何性质,建立不等关系 例 3 已知 12 、FF是椭圆的两个焦点,满足的点 P 总在椭圆内部,则椭圆离心 率的取值范围是() (0,1) 1 (0, 2 2 (0,) 2 2 ,1) 2 x y O F1F2 学习好资料欢迎下载 三、利用点与椭圆 的位置关系,建立不等关系 例 4 已知ABC的顶点 B为椭圆1 2 2 2 2 b y a x )0(ba短轴的一个端点, 另两个顶点也在 椭圆上,若ABC的重心恰好为椭圆的一个焦点F)0,(c, 求椭圆离心率的范围. 四、利用函数的值域,建立不等关系 例 5 椭圆1 2 2 2 2 b y a x )0(ba与直线01yx相交于 A、 B两点,
3、且0OBOA(O 为原点),若椭圆长轴长的取值范围为6,5,求椭圆离心率的范围. 五、利用均值不等式,建立不等关系. 例 6已知 F1、F2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点, F1PF260 .求椭圆离心率的范围; 解设椭圆方程为 x 2 a 2 y 2 b 21 (ab0) ,|PF1|m,|PF2|n,则 mn2a. 在PF1F2中,由余弦定理可知, 4c 2m2n22mncos 60 (mn)23mn 4a 23mn4a23mn 2 2 4a23a2a2 x y O A B F M C 学习好资料欢迎下载 (当且仅当mn 时取等号 ) c 2 a 2 1 4,即 e 1 2. 又 0e
4、1,e 的取值范围是 1 2,1 . 例7已 知 1 F、 2 F是 椭 圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的 两 个 焦 点 , 椭 圆 上 一 点P使 90 21PF F,求椭圆离心率e的取值范围 . 解析 1:令nPFmpF 21 ,,则anm2由 21 PFPF 222 4cnm 2 2 222 2 2 4a nm nmc即 2 1 2 2 2 a c e 又1 2 2 10ee 六、利用焦点三角形面积最大位置,建立不等关系 解析 2:不妨设短轴一端点为B 则 22 45tan 21 bbS PFF bcbcS BFF 2 2 1 21 bc 2 b 2 c 22 ca
5、 2 c 2 2 2 a c e 2 1 故 2 2 e1 七、利用实数性质,建立不等关系 解 析 3 : 设yxP,, 由 21 PFPF得1 cx y cx y , 即 222 xcy, 代 入 1 2 2 2 2 b y a x 得 2 222 2 c bca x, 222 0bcx 学习好资料欢迎下载 即 222 cac, 2 2 a c e又1e1 2 2 e 八、利用曲线之间位置关系,建立不等关系 解 析4 : 21 PFPF为直径的圆上点在以 21F FP又P在 椭 圆 上 , 222 cyxP为圆与1 2 2 2 2 b y a x 的公共点 .由图可知 222 acbacb 2222 acca 1 2 2 e 说明:椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长. 九、利用 21PF F最大位置,建立不等关系 解析 4:椭圆1 2 2 2 2 b y a x )0(ba当 P 与短轴端点重合时 21PF F最大 无妨设满足条件的点P 不存在,则 21PF F 0 90 2 2 45sinsin0 0 1 OPF a c 又10e 所以若存在一点P 则1 2 2 e. x y O P F1F2 x y O P F1F2 B
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