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1、江苏省海安高级中学高三数学模拟试卷必做题部分 (考试时间120 分钟 ,满分 160 分 ) 一.填空题 :本大题 14 小题 ,每小题 5 分 ,共 70 分.请将正确的答案填在答题纸上相应的横线上. 1复数 10 ) 1 1 ( i i 的值是 2 已知集合RxyyA x , 2 1 |,RxxyyB),1(log| 2 ,则 BA 3在数列 n a中,若1 1 a, 2 1 2 a,)( 112 * 21 Nn aaa nnn ,则该数列的通项 为。 4已知 2 ,0 7 34 sin其中,则) 3 cos( 5 一组数据中每个数据都减去 80构成一组新数据, 则这组新数据的平均数是2.
2、1 , 方差是 4.4 , 则原来一组数的方差为. 6定义在R上的偶函数fx在(0,)上是增函数 .若)2()(faf,则实数a的取值范围 是. 7 函数 2 23 ( )f xx(常数Z)为偶函数,且在(0,)上是单调递减函数,则的 值为 _. 8从集合2, 1,1,2,3A中任取两个元素m、n(mn) ,则方程1 22 n y m x 所对应 的曲线表示焦点在y轴上的双曲线的概率是 9已知 ABC的外接圆的圆心O,BCCAAB,则,OA OB OA OC OB OC的大小关系 为_ 10若直线1byax与圆1 22 yx相切,则实数ab的取值范围是 11在ABC中,已知sinsincoss
3、insincosABCACBsinsincosBCA,若, ,a b c分别 是角,A B C所对的边 ,则 2 ab c 的最大值为. 12已知P为抛物线xy4 2 上一点,设P到准线的距离为 1 d,P到点)4, 1(A的距离为 2 d, 则 21 dd的最小值为 _. 13f(x)是定义在( 0, )上的非负可导函数,且满足xf (x)f(x)0,对任意正数a、 b,若 ab,则( )( )af a bf b,的大小关系为 14设函数 1 2,0 ( ) (1),0 x x f x f xx ,方程 f(x)x+a 有且只有两不相等实数根,则实数a 的取 值范围为. 二.解答题 :本大题
4、 6 小题 ,共 90 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 (本题满分14 分) 如图,在四棱锥PABCD 中,平面PAD平面 ABCD , ABDC,PAD是等边三 角形,已知 4AD ,4 3BD,28ABCD ( 1)设 M是 PC 上的一点,证明:平面MBD 平面 PAD; ( 2)当M点位于线段PC什么位置时,PA平面MBD? 16. (本题满分14 分) 在斜ABC中,角,A B C所对的边分别为,a b c且 AA CA ac cab cossin )cos( 222 . (1)求角A; (2)若2 cos sin C B ,求角C的取值范围。 17.(本题满分
5、15 分) A B C M P D 甲打靶射击,有4 发子弹,其中有一发是空弹. (1)求空弹出现在第一枪的概率; (2)求空弹出现在前三枪的概率; (3) 如果把空弹换成实弹,甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3, 4, 5 的弹孔,P Q R , 第四枪瞄准了三角形PQR 射击 ,第四个弹孔落在三角形PQR 内,求第四个弹孔与前三 个弹孔的距离都超过1 的概率(忽略弹孔大小). 18. (本小题15 分) 已知平面直角坐标系xoy中 O 是坐标原点,)0,8(),32,6(BA,圆C是OAB的外接圆, 过点( 2, 6)的直线l被圆所截得的弦长为34. (1)求圆C的方程及直线l的方程;
6、 (2)设圆N的方程1)sin7()cos74( 22 yx,)(R, 过圆N上任意一点P 作圆C的两条切线PFPE,,切点为FE,,求CE CF的最大值 . 19 (本小 16 分)已知函数 x xf2)( (1)试求函数0,(),2()()(xxafxfxF的最大值; (2)若存在)0,(x,使1)2()(xfxaf成立,试求a的取值范围; (3)当,0a且15,0x时,不等式)2() 1( 2 axfxf恒成立,求a的取值范围; 20 (本题满分16 分) 已知等差数列 n a的首项为a, 公差为 b, 等比数列 n b的首项为 b, 公比为a(其中,a b 均为正整数 ) () 若 1
7、122 ,ab ab,求数列 n a、 n b的通项公式; ()在() 的条件下,若 12 13 , k nnn a a aaa, , 12 (3) k nnn成等比数列,求 数列 k n的通项公式; () 若 11223 ababa,且至少存在三个不同的b值使得等式 mn atbtN成立, 试求a、b的值 高三数学试题参考答案 一.填空题 : 1. -2. ,03. n an 1 4. 14 11 5. 4.46. , 22, 7. 1 8. 3 10 9. .OA OBOA OCOB OC10. 2 1 2 1 ,11. 2 3 12. 4 13. ( )( )bf baf a14. 3,
8、4 二.解答题 : 15.证明:(1)在ABD中, 4AD ,4 3BD,8AB, 222 ADBDAB ADBD 又 平面PAD平面 ABCD, 平面PAD平面ABCDAD,BD平面ABCD, BD平面 PAD又BD 平面MBD, 平面 MBD 平面PAD (2)当M点位于线段PC靠近 C点的三等分点处时,PA平面MBD 证明如下:连接AC,交BD于点 N,连接 MN ABDC,所以四边形ABCD是梯形 2ABCD,:1: 2CNNA 又 :1: 2CMMP, :CNNA:CMMP,PAMN MN平面MBD,PA平面MBD 16. (1) 222 2cos , bac B ac cos()2
9、cos , sincossin2 ACB AAA , 又 222 cos() sincos bacAC acAA , 2cos 2cos, sin2 B B A 而 ABC 为斜三角形, cosB0,sin2A=1. (0,)A, 2, 24 AA. (2) 3 4 BC, 3 33 sin sincoscossin sin224 44 tan2 coscoscos22 C CC B C CCC 12分 即tan1C, 3 0 4 C, 42 C. 17. 解:设四发子弹编号为0(空弹),1,2,3, (1)设第一枪出现“ 哑弹 ” 的事件为A,有 4 个基本事件 ,则: 1 () 4 P A
10、 (2)法一 :前三枪出现 “ 哑弹 ” 的事件为B,则第四枪出现 “ 哑弹 ” 的事件为 B , 那么( )( )P AP B, 13 ()1()1()1. 44 P BP BP A 法二 :前三枪共有4 个基本事件 0,1,2,0,1,3,0,2,3,1,2,3, 满足条件的有三个, 则 3 (). 4 P B (3) RTPQR 的面积为6, 分别以,P Q R 为圆心、 1 为半径的三个扇形的面积和 11 442 ,设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1 的事件为 C, 1 6 2 ()1 612 P C. 18. 解: (1)因为)0,8(),32,6(BA,所以OAB为以OB为斜边
11、的直角三角形, 所以圆C: 16)4( 22 yx (2)斜率不存在时, l:2x 被圆截得弦长为34,所以 l:2x 适合 斜率存在时,设l:)2(6xky即026kykx 因为被圆截得弦长为34,所以圆心到直线距离为2,所以2 1 264 2 k kk 3 4 k02634),2( 3 4 6:yxxyl即 综上,l:2x或02634yx (3)解:设2ECFa,则 2 | | cos216cos232cos16CE CFCECF 在RtPCE中, 4 cos | x PCPC ,由圆的几何性质得 | | 1716PCMC,所以 3 2 cos, 由此可得 9 16 CFCE,则CFCE的
12、最大值为 16 9 . 19、 ( 1) 2 1 , 4 1 2 1 ,1 )( max a a aa xF ( 2)令,2t x 则存在 ) 1 ,0(t 使得 1 2 att 所以存在)1 ,0(t使得11 22 attatt或 即存在)1 ,0(t使得 minmax ) 1 () 1 ( t ta t ta或 20aa或 (3)由 2 )2()1(axfxf得 2 )2(1axx恒成立 因为, 0a且15,0x,所以问题即为axx21恒成立 m a x)12(xxa 设)(xm 12xx 令 4, 1, 1,1 2 ttxtx则 8 17 ) 4 1 (2)1(2)( 22 ttttm
13、所以,当t=1 时,1)( max xm1a 20. 解: ()由 1122 ,ab ab得: ab abab , 解得:0ab或2ab, ,a bN,2ab,从而2 ,2 n nn an b ()由()得 13 2,6aa, 12 13 , k nnn a a aaa, ,构成以2为首项,3为公比的等比数 列,即: 1 2 3 k k n a 又2 k nk an,故 1 22 3 k k n, 1 3 k k n () 由 11223 ababa得:2abababab, 由abab得:1a bb;由2abab得:12a bb, 而 * ,a bNab,即: 1ba ,从而得: 122 11
14、24 1111 bb a bbbb , 2,3a,当3a时,2b不合题意,故舍去, 所以满足条件的 2a . 又2(1) m ab m, 1 2 n n bb,故 1 212 n b mtb, 即: 1 212 n mbt 若 1 210 n m,则2tN,不合题意; 若 1 210 n m,则 1 2 21 n k b m ,由于 1 21 n m可取到一切整数值,且3b,故 要至少存在三个b使得 mnatbtN 成立,必须整数2t至少有三个大于或等于3 的不 等的因数,故满足条件的最小整数为12,所以t的最小值为10,此时3b或4或 12. 数学附加题 (时间 30 分钟 ,满分 40 分
15、) 一.选答题 :本大题共4 小题 ,请从这 4 题中选做 2小题 ,如果多做 ,则按所做的前两题记分.每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. A选修 41几何证明选讲 在直径是AB的半圆上有两点,M N,设AN与BM的交点是P. 求证 : 2 AP ANBP BMAB B选修 42矩阵与变换 设矩阵M对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长3 倍,再将纵坐标伸长2 倍的两个伸 压变换的复合,求其逆矩阵 1 M 以及圆 22 1xy在 1 M 的作用下的新曲线的方程 C选修 44参数方程与极坐标 求圆3cos被直线 22 , 14 xt yt (t是参数)截
16、得的弦长 . D选修 45不等式证明选讲 设函数( )12f xxxa ()当5a时,求函数( )f x的定义域; ()若函数( )f x的定义域为R,试求a的取值范围 二.必答题 :本大题共2 小题 ,第一小题8 分 ,第二小题12 分 ,共 20 分.解答时应写出文字说明,证 明过程或演算步骤. P A N B M 1. (本小题满分8 分)已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形,/ABDC, PADAB,90 底面ABCD,且2, 1 ABDCADPA,M是PB的中点 (1)求AC与PB所成的角余弦值; (2)求二面角 AMCB的余弦值 2.(本小题满分12 分)一个盒子装有六张卡片,上面
17、分别写着如下六个定义域为R 的函数: f1(x)=x,f2(x)=x 2,f 3(x)=x 3,f 4(x)=sinx, f5(x)=cosx, f6(x)=2 (1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数的 概率; (2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片 则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数的分布列和数学期望 附加题答案 数学加试题参考答案及评分标准 A选修 41几何证明选讲 证明 :作PEAB于EAB为直径 , 90ANBAMB ,P E B N四点共圆 ,P E A M四点共圆 . (1) (2) AE AB
18、AP AN BE ABBP BM (1)+(2)得()AB AEBEAP ANBP BM P A N B M E y=5 y= x+1 + x-2 O y x 4 3 21 -3-2-1 5 3 2 1 即 2 AP ANBP BMAB B选修 42矩阵与变换 解: 1 1 0 2 1 0 3 M , 圆 22 1xy在 1 M 的作用下的新曲线的方程为 194 22 yx C选修 44参数方程与极坐标 将极坐标方程转化成直角坐标方程: 3cos即: 22 3xyx,即 22 39 () 24 xy; 22 14 xt yt 即:23xy 所以圆心到直线的距离 22 3 203 2 0 2(
19、1) d ,即直线经过圆心, 所以直线截得的弦长为3. D选修 45不等式证明选讲 (1)由题设知:1250xx, 如图,在同一坐标系中作出函数12yxx和5y的 图象(如图所示),知定义域为 , 23, (2)由题设知,当xR时,恒有120xxa, 即12xxa, 又由( 1)123xx,3,3aa即 1. 证明:以A为坐标原点AD长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为 1 (0,0,0),(0, 2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,) 2 ABCDPM (1)解:因),1, 2,0(),0, 1 , 1(PBAC 10 |2,|5,2,cos,.
20、 5| | AC PB ACPBAC PBAC PB ACPB 故所以 所以,AC与PB所成的角余弦值为 10 5 . (2)解:在MC上取一点( , , )N x y z,则存在,R使,MCNC 2 1 , 1,1), 2 1 ,0, 1 (),1 ,1(zyxMCzyxNC 要使 14 ,00,. 25 ANMCAN MCxz只需即解得 0), 5 2 ,1, 5 1 (), 5 2 , 1 , 5 1 (, .0), 5 2 , 1 , 5 1 (, 5 4 MCBNBNAN MCANN 有此时 能使点坐标为时可知当 ANBMCBNMCANMCBNMCAN所以得由.,0, 0 为 所求二
21、面角AMCB的平面角 30304 |,|,. 555 ANBNAN BN 2 cos(,). 3 | | AN BN AN BN ANBN 2 3 故所求的二面角的余弦值为. 另解:可以计算两个平面的法向量分别为:平面的法向量 1 (1 , 1,2)n,平面 的法向量为)2 , 1 , 1( 2n , 21,cosnn = 3 2 ,所求二面角 AMCB的余弦值为 3 2 2. (1)记事件A 为“ 任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数” ,由题意知 . 5 1 )( 2 6 2 3 C C AP (2) 可取 1,2,3,4 10 3 )2(, 2 1 )1( 1 5 1 3 1 6 1 3 1 6 1 3 C C C C P C C P, 20 1 )4(, 20 3 )3( 1 3 1 3 1 4 1 1 1 5 1 2 1 6 1 3 1 4 1 3 1 5 1 2 1 6 1 3 C C C C C C C C P C C C C C C P ; 故 的分布列为 1 2 3 4 P 2 1 10 3 20 3 20 1 . 4 7 20 1 4 20 3 3 10 3 2 2 1 1E 答: 的数学期望为. 4 7
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