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1、苏州市 20072008学年第一学期期中考试试卷(高三数学) 一、填空题:2007 年 11 月 1、设全集UR,集合|0Mx x,|1 Nx x,则MN_ 2、函数 2 4yx的值域是 _ 3、已知命题 2 :,210pxRx,则p是_ 4、计算: 2 (12 ) 1 i i _ 5、已知函数 2 sin ( ) x f x x ,则( )fx_ 6、等差数列 n a中,若 1815 3120aaa,则 910 2aa_ 7、不等式组 10 0 0 xy xy y 表示的平面区域的面积是_ 8、函数3sin(2)(0,) 6 yxx的减区间是 _ 9、椭圆 22 1 43 xy 的右焦点到直
2、线3yx的距离是 _ 10、在ABC中,边, ,a b c所对角分别为,A B C,且 sincoscosABC abc ,则A_ 11、已知O为坐标原点,( 3,1),(0,5)OAOB,且/ACOB,BCAB,则点C的坐标为 _ 12、设函数 3 ( )2f xxax在区间(1,)上是增函数,则实数a的取值范围是_ 13、在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60,则塔高为 _米 14、方程 ln620xx 的解为x,则满足xx的最大整数解是_ 15、已知 n an,把数列 n a的各项排列成如下的三角形状: 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a
3、 8 a 9 a 记(, )A m n表示第m行的第n个数,则(10,12)A_ 16、已知函数 |sin1 ( )() | 1 xx f xxR x 的最大值为M,最小值为m,则Mm_ 二、解答题: 17、已知向量(5 3cos ,cos )axx,(sin ,2cos )bxx,函数 2 ( )f xa bb (1)求函数( )f x的最小正周期; (2)当 62 x时,求函数( )f x的值域。 18、已知数列 n a的前n项和为 n S,且有 1 2a, 11 353 nnnn SaaS(2)n (1)求数列 n a的通项公式; (2)若(21) nn bna,求数列 n a的前n项的
4、和 n T。 19、如图( 1)一座钢索结构桥的立柱PC与QD的高度都是60cm,,A C之间的距离是200m, ,B D间的距离为250m,,C D间距离为2000m,P点与A点间、Q点与B点间分别用直线式 桥索相连结, 立柱,PC QD间可以近似的看作是抛物线式钢索PEQ相连结,E为顶点, 与AB距 离为10m,现有一只江鸥从A点沿着钢索,AP PEQ QB走向B点,试写出从A点走到B点江鸥 距离桥面的高度与移动的水平距离之间的函数关系。 王小明同学采用先建立直角坐标系,再求关系式的方法,他写道: A Q C BD P E 图( 1) Q CBD P E 图( 2) x y o 如图( 2
5、) ,以A点为原点,桥面AB所在直线为x轴,过A点且垂直与AB的直线为y轴,建立 直角坐标系, 则(0,0)A,(200,0)C,( )P,( )E,(2200,0)D,( )Q,(2450,0)B。 请你先把上面没有写全的坐标补全,然后在王小明同学已建立的直角坐标系下完整地解决本题。 20、设 12 ,F F分别是椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的左、右焦点 (1)若椭圆C上的点 3 (1, ) 2 A到 12 ,F F两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标; (2)设点P是( 1)中所得椭圆上的动点, 1 (0,) 2 Q,求PQ的最大值; (3)已知椭圆具有性
6、质:若,M N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点, 当直线,PMPN的斜率都存在,并记为 PM K、 PN K时,那么 PM K与 PN K之积是与点P位置无关 的定值。试对双曲线 22 22 1 xy ab 写出具有类似特性的性质,并加以证明。 21、设函数 3 ( ) 33 x x f x 上两点 111 (,)P x y、 222 (,)P xy,若 12 1 () 2 OPOPOP,且P点的横 坐标为 1 2 (1)求证:P点的纵坐标为定值,并求出这个值; (2)若 1 ( ) n n i i Sf n ,nN ,求 n S; ( 3)记 n T为数列 1 1 33
7、()() 22 nn SS 的前n项和,若 2 3 () 2 nn TaS对一切nN都 成立,试求实数a的取值范围。 22、已知函数 2 ( ) mx f x x ()mR (1)若 1 3 log 8( )yf x在1,)上是单调减函数,求实数m的取值范围; (2)设( )( )lng xf xx,当2m时,求( )g x在 1 ,2 2 上的最大值。 参考答案: 一、填空题: 1、 R;2、0, 2;3、 2 ,210xRx;4、 71 22 i;5、 3 cos2sinxxx x ; 6、24;7、 1 4 ;8、 2 , 63 ;9、 3 2 ;10、90;11、 29 ( 3,) 4
8、 ; 12、 3,);13、 400 3 ;14、2;15、93;16、2 二、解答题: 17、 解: 2222 ( )5 3sincos2cos4cossin5 3sincos5cos1f xa bxxxxxxxx 5 31cos27 sin 2515sin(2) 2262 x xx,T 由 62 x,得 7 2 266 x, 1 sin(2)1 26 x, 717 15sin(2) 622 x 当 62 x时,函数( )f x的值域为 17 1, 2 18、解:由 11 335(2) nnnn SSaan, 1 2 nn aa,又 1 2a, 1 1 2 n n a a , n a是以 2
9、为首项, 1 2 为公比的等比数列, 122 11 2()()2 22 nnn n a 2 (21)2 n n bn, 1012 1 23252(21) 2 n n Tn(1) 01211 1 232(23) 2(21) 2 2 nn n Tnn(2) (1)( 2)得 01211 22(222)(21) 2 2 nn n Tn 即: 11 11 1 121(2) 2(21) 26(23) 2 212 n nn n Tnn 2 1 2( 23) 2 n n Tn 19、解:(0,0),(200,0),(200,60),(1200,0),(2200,60,(2450,0)ACPEQB 设直线段P
10、A满足关系式ykx,那么由60200k,得0.3k,即有0.3 ,0200yxx 设直线段QB满足关系式ylxb,那么由 02450 602200 lb lb ,解得0.24,588lb 即有0.24588,22002450yxx 设抛物线段PEQ满足关系式 2 (1200)10yr x,那么由 2 60(2001200)10r, 解得0.00005r, 2 0.0005(1200)10,2002200yxx 所以符合要求的函数是 2 0.30200 0.00005(1200)102002200 0.2458822002450 xx yxx xx 20、解: ( 1)椭圆C的焦点在x轴上,由椭
11、圆上的点A到 12 ,F F两点的距离之和是4,得24a 即2a,又 3 (1, ) 2 A在椭圆上, 2 2 3 ( ) 1 2 1 2b ,解得 2 3b,于是 2 1c 所以椭圆C的方程是 22 1 43 xy ,焦点 12 ( 1,0),(1,0)FF 设( , )P x y,则 22 1 43 xy , 22 4 4 3 xy 222222214111713 ()4()5 2343432 PQxyyyyyyy 又 33y ,当 3 2 y时, max 5PQ 类似的性质为:若,M N是双曲线 22 22 :1 xy C ab 上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任 意一点,当直线,
12、PM PN的斜率都存在,并记为, PMPN kk时,那么 PM k与 PN k之积是与点P位置 无关的定值。 设点(, )M m n,则点(,)Nmn,其中 22 22 1 mn ab ,设点( ,)P x y,则由 PM yn k xm , PN yn k xm ,得 22 22 PMPN ynynyn kk xm xmxm ,将 22 222222 22 , bb yxbnmb aa 代入 上式得: 2 2 PMPN b kk a 21、解:设 1 (,) 2 p OPy,又 12 1 () 2 OPOPOP, 12 12 1, 2 p yy xxy, 又 12 12 12 33 1 33
13、33 xx xx yy , 12 1 22 p yy y 由 12 1xx,得 1212 33 ()()1, (1) 2 yyf xf xf 121 ( )()()() n nn Sffff nnnn ,又 121 ()() n nnn Sfff nnn 1 21 111 12 (1)23 n n Sfn 个 ,即 23 2 n n S 1 1 323314 , 2222(2)(3) 33 ()() 22 nn nn nn SS nn SS , 从而 1114 4 3445(2)(3)33 n n T nnn , 由 22 2 33881 (),0, 12 223 (3)(4)3 3 7 2
14、n nnn n Tn Ta SSa nn n S n 令 12 ( )g nn n ,易证( )g n在23,)上是增函数,在(0,23)上是减函数, 且(3)7,(4)7gg,( )g n的最大值为7,即 814 12 321 7n n , 4 21 a 22、解: ( 1)因为函数 1 3 log 8( )yf x在1,)上是单调减函数,则根据复合函数的单调性 可得( )fx在1,)上是单调减函数,其导数在1,)上恒小于等于0,且满足( )8f x在 1,)上恒成立,所以 2 2 ( )0 xm fx x 恒成立,即 2 2 0 xm x 在1,)上恒成立,解得 1m 要使( )8fx在1
15、,)上恒成立,只需要 max ( )8f x,又( )f x在1,)上单调减函数, (1)8f,解得9m,19m (2) 2 22 22 11 () 24 ( )ln ,( ) xm mxxxm g xx g x xxx 当 1 0 4 m,即 1 4 m时,( )0gx,( )g x在 1 ,2 2 上单调递减, max 11 ( )()2ln 2 22 g xgm 当 1 2 4 m时,由( )0g x得 12 114114 , 22 mm xx, 显然 1212 1 111 1,2,2,2 2 222 xxxx,又 12 2 ()() ( ) xxxx gx x 当 2 1 2 xx时,( )0gx,( )g x单调递增;(注意画草图,利用数形结合) 当 2 2xx时,( )0gx,( )g x单调递减 max2 211 411411 4 ( )()ln14ln 222 114 mmmm g xg xm m 综上所述,(1)当 1 4 m时, max 1 ( )2ln 2 2 g xm; (2)当 1 2 4 m时, max 114 ( )14ln 2 m g xm
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