高一物理暑期补课讲义——曲线运动及万有引力必修二.pdf
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1、曲线运动、天体与万有引力 1物体是否做曲线运动的条件:F合的方向是否与 v的方向在同一直线上。 F合与 v方向在同一直线,直线运动 F合与 v方向有夹角,曲线运动 2当 F合为恒力时,匀变速运动(a不变)直线或曲线运动。 3所有的天体在计算时轨道均简化成圆周运动,向心力由万有引力提供;g 专指地面重力加 速度,对近地卫星可有mgFF 引向,此式的灵活运用可解决很多实际问题。 曲线运动: 例 1一个物体以v0水平抛出,落地时速度为v,那么运动时间为 A vv g 0 B vv g 0 C vv g 2 0 2 D vv g 2 0 2 解:平抛物体的飞行时间可以从下落高度或竖直分速度求出。本题可
2、以用竖直分速度去解。竖直分速度 vvvgtt vv g y 2 0 2 2 0 2 ,。正确选项是C。 例 2作平抛运动的物体,在落地前的最后1s 内,其速度方向由跟竖直方向成60 0 角变为跟竖直方向成 45 0 角,求:物体抛出时的速度和高度分别是多少? 解:解析1 设平抛运动的初速度为v0,运动时间为t,则经过(t1)s 时,vyg(t一 1) , tan30 0 0 1g t v 经过ts 时:vygt,tan45 0 0 gt v , 0 0 1 tan30 tan45 t t , 33 2 ts ; v0=gt/tan45 023.2 m/s ,H 2 1 gt 227.5 m.
3、解析 2 此题如果用结论解题更简单 vgt=9. 8m/s,又有v0cot45 0 一v0cot60 0= v,解得v0=23. 2 m/s, 由题可知,落地前瞬间vy= v0,所以 H=vy 2/2 g27.5 m 点评此题如果画出最后1s 初、末速度的矢量图,做起来更直观。 例 3如图所示, 一高度为h=0.2m 的水平面在A点处与一倾角为 =30 的斜面连接,一小球以V0=5m/s 的速度在平面上向右运动。求小球从A 点 运动到地面所需的时间(平面与斜面均光滑,取g=10m/s 2) 。某同学对此题 的解法为:小球沿斜面运动,则 2 2 1 0 sin sin tgtv h ,由此可求得
4、落 地的时间t。问:你同意上述解法吗?若同意,求出所需的时间;若不同意,则说明理由并求出你认为正 确的结果。 解:不同意。小球应在A点离开平面做平抛运动,而不是沿斜面下滑。 正确做法为:落地点与A点的水平距离 mghvtvs110/2 .025/2 00 斜面底宽mhl35.032 .0cot 因为ls,所以小球离开A点后不会落到斜面,因此落地时间即为平抛运动时间。 sght2 . 010/2. 02/2 例 4手表的秒针长1 厘米。表针的运动可视为匀速转动,取3。则秒针的角速度 ,这是分针角速度的倍。秒针针尖的线速度v。 解:秒针转一圈用时60 秒,分针转一周用时60 分,根据 2 T ,所
5、以秒针角速度 2 60 01 .弧 度/秒。 秒分 60。又因为vR。所以秒针针尖线速度:v01101010 23 米 /秒 例 5如图 11 所示,细绳一端系一个质量M= 0.6 千克的物体,静止在水平面 上,另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3 千克的物体, M 的中点与圆孔距离为 0.2 米,并已知M 和水平面间的最大静摩擦力为2 牛,现使此平面绕过小孔的 中心轴线转动,问角速度数值在什么范围内m 才会处于静止状态? 解: M 和 m 受力如图16 所示,由于 m 处于静止状态Tmg。 当具有 最大值时 M 有离开圆心趋势, f 指向 圆心 TfMr Tf Mr 1 2 1 65,. 弧
6、度 /秒。当具有最小值时M 有向 圆心运动的趋势,故f 与 T 方向相反,TfMr 2 2 , 2 2 9 Tf Mr .弧度 /秒。 例 6如图所示,直径为d 的纸质圆筒,以角速度 绕轴 O高速运动,有一颗子弹 沿直径穿过圆筒,若子弹穿过圆筒时间小于半个周期,在筒上先、后留下a、b两个弹 孔,已知ao、bo间夹角为 弧度,则子弹速度为 B h A (例 3) (例 6) 解:解析子弹在a处进入筒后,沿直径匀速直线运动,经t=d/v时间打在圆筒上,在t时间内,圆 筒转过的角度t= ,则d/v=()/ ,v=d/ ()答案d / ( ) 例 7如图所示, 小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动,当Q球
7、转到图示位置时,有另一小 球P在距圆周最高点为h处开始自由下落,要使两球在圆周最高点相碰,则Q球的角速度 应满足什么条件? 解:设P球自由落体到圆周最高点的时间为t,由自由落体可得 2 1 gt 2 =h 求得t= g h2 Q球由图示位置转至最高点的时间也是t,但做匀速圆周运动,周期为T,有 t = (4n+1) 4 T (n=0,1,2,3 ) 两式联立再由T= 2 得 (4n+1) 2 = g h2 所以 = 2 (4 n+1) h g 2 (n=0, 1,2,3 ) 例 8如图所示,A、B、C三个物体放在旋转圆台上,动摩擦因数均为,A的质量 是 2m,B和C的质量均为m,A、B离轴为R
8、,C离轴为 2R。当圆台旋转时,则() A若A、B、C均未滑动,则C的向心加速度最大 B若A、B、C均未滑动,则B的摩擦力最小 C当圆台转速增大时,B比A先滑动 D圆台转速增大时,C比B先滑动 解:三个物体在圆台上,以相同的角速度做圆周运动,其向心力是由f静提供的, 2 FmamR, 静摩擦力的大小由m、R三者决定,其中相同。 而 1 2 AC RR,2 AC mm,所以 AC FF; BC mm, 1 2 AC RR所以 B F C F,故 B F最小, B选项正确 . 当圆台转速增大时,f静都随之增大,当增大至刚好要滑动时,达到最大静摩擦力。 2 mgmR,而 AB,AB RR,2 AB
9、mm,则2 AB FF,而 ma xma x 2 AB ff,所以B 不比A先滑动, C错 2 CB RR, BC mm则 C F B F, 而 maxmaxCB ff,所以C比B先滑动。故选项A、B、D 正确。 点评 (1) 解决物理问题切忌想当然地作出结论:“质量大的物体容易甩出去,质量小的物体不易相对 (2) 用代表例法分析问题是论证的技巧,如盘上的A、B、C三个物体运动的性质完全一样,不同的只 是一些量的不同,没有必要逐一讨论,只要选一个为代表讨论就可以了。 (3) 注意抓住临界状态进行分析。 例 9长为L的细线,拴一质量为m的小球,一端固定于O点。让其在水平面内做匀速圆 周运动 (
10、这种运动通常称为圆锥摆运动) ,如图所示。当摆线L与竖直方向的夹角是时, 求: (例 7) (例 8) (例 9) (1) 线的拉力F; (2) 小球运动的线速度的大小; (3) 小球运动的角速度及周期。 解:做匀速圆周运动的小球受力如图所示,小球受重力mg和绳子的拉力F。 因为小球在水平面内做匀速圆周运动,所以小球受到的合力指向圆心O,且是水平 方向。 由平行四边形法则得小球受到的合力大小为mgtan,线对小球的拉力大小为:F=mg/cos 由牛顿第二定律得:mgtan= r mv 2 ,由几何关系得:r=Lsin 所以,小球做匀速圆周运动线速度的大小为v=sintangL 小球运动的角速度
11、= r v = sin sintan L gL = cosL g 小球运动的周期T= 2 =2 g L cos 点评在解决匀速圆周运动问题的过程中,弄清物体圆形轨道所在的平面,明 确圆心和半径是一个关键环节。同时不可忽视对解题结果进行动态分析,明确各变 量之间的制约关系、变化趋势以及结果涉及物理量的决定因素。 例 10如图所示,质量为m的小球用长为l的细绳悬于光滑的斜面上的O点,小 球在这个倾角为的斜面内做圆周运动。若小球在最高点和最低点的速度分别是v1 和v2,则绳子在这两个位置时的张力大小分别是多大? 解:在最高点:分解重力沿斜面的分力为mgsin ,这个重力的分力与绳子拉力的合力充当向心
12、力, 向心力沿斜面向下指心圆心:mgsin +T1=m R v 2 1 ,所以T1=m R v 2 1 mgsin 同理,在最低点:T2mgsin =m R v 2 2 ,所以T2=m R v 2 2 +mgsin 答案最高点:T1=m R v 2 1 mgsin ,最低点:T2=m R v 2 2 +mgsin 点评本题将水平和竖直面内的圆周运动扩展到一般的斜面上的情况,解此类问题的关键仍是正确地 分析向心力的来源。 天体、万有引力应用 例 11假设行星绕太阳的轨道是圆形,火星与太阳的距离比地球与太阳的距离大53,试确定火星上 一年是多少地球年。 解:设地球的周期和轨道半径分别为 1 T、
13、1 R, 火星的周期和轨道半径分别为 2 T、 2 R 则根据开普勒定律知: 2 2 3 2 2 1 3 1 T R T R (例 9 答图) (例 10) 解得: 12 89.1TT所以火星上一年是1.89 地球年 例 12某行星自转一周所需时间为地球上的6h,在这行星上用弹簧秤测某物体的重量,在该行量赤道 上称得物重是两极时测得读数的90,已知万有引力恒量G 6.67 10 11Nm2 kg2,若该行星能看做球 体,则它的平均密度为多少? 解:在两极,由万有引力定律得:. 2 R Mm Gmg,在赤道R T mgm R Mm G 2 2 2 4 ; 依题意 mg=O.9mg; 行星质量 3
14、 3 4 RM 由以上几式联立解得 33 2 /1003.3 1.0 3 mkg GT 例 13一物体在地球表面的重力为16N ,它在以5m/s 2 加速上升的火箭中视重为9N,则此时火箭离地球 表面的距离为地球半径的倍。 (g=10m/s 2) 解答:设物体的质量为m ,则在地球表面上, 2 R mM Gmg且Nmg16 在火箭中的视重即为支持物对物体的支持力,则有 ma hR mM GFN 2 且NFN 9 另 2 /5sma 综合上述式子可以解得Rh3 点评:若不考虑地球自转, 地球表面处有 2 R Mm Gmg, 可以得出地球表面处的重力加速度 2 R M Gg 在 距 地 表 高 度
15、为h 的高 空 处 , 万 有引 力 引 起的 重 力 加 速 度为g ,由 牛 顿 第 二 定律 可 得 : 2 )(hR Mm Ggm即 2 )(hR M Gg 所以g hR R g 2 2 )( ,这是一个很有用的结论,对其它星球天体也适用 1. 人造地球卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系 由 r v m r Mm G 2 2 得 r GM vr 越大, v 越小 由 2 2 mr r Mm G得 3 r GM r 越大, 越小 由r T m r Mm G 2 2 2 4 得 GM r T 32 4 r 越大, T越大 例 14设想人类开发月球,不断把月球上的矿藏搬运到地球上,假定
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