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1、第五章 数列 ( 时间 120 分钟,满分150 分) 一、选择题 ( 本大题共12 小题,每小题5 分,共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. 已知实数列 1,x,y,z, 2 成等比数列,则xyz等于 ( ) A. 4 B.4 C.22 D.22 解析:xz( 1)( 2)2,y 22, y2( 正不合题意 ),xyz 22. 答案: C 2. 等差数列 an的通项公式是an12n,其前n项和为Sn,则数列 Sn n 的前 11 项和为 ( ) A. 45 B.50 C. 55 D.66 解析:Sn( a1an)n 2 , Sn n a1an 2 n
2、, Sn n 的前 11 项的和为 66. 答案: D 3. 已知 an是等差数列,a415,S555,则过点P(3,a3) ,Q(4,a4) 的直线斜率为( ) A.4 B. 1 4 C. 4 D. 1 4 解析: an是等差数列, S55a355,a311. a4a315114, kPQ a4a3 43 4 14. 答案: A 4. 在等差数列 an中,若a2a4a6a8a1080,则a7 1 2 a8的值为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 解析:由已知得:(a2a10) (a4a8)a65a680?a616,又分别设等差数列首项为a1,公 差为d,则a7 1 2a 8a16d
3、1 2( a17d) 1 2( a15d) 1 2a 68. 答案: C 5. 记数列 an 的前n项和为Sn,且Sn 2n(n1) ,则该数列是 ( ) A. 公比为 2 的等比数列 B.公比为 1 2的等比数列 C. 公差为 2 的等差数列 D.公差为 4 的等差数列 解析:由条件可得n2 时,anSnSn12n(n1) 2(n1)(n2)4(n1) ,当n 1 时, a1S1 0,代入适合,故an4(n1) ,故数列 an表示公差为4 的等差数列 . 答案: D 6. 定义:在数列an中,an0 且an1,若aan1n为定值,则称数列an 为“等幂数列” . 已知数 列 an为“等幂数列
4、”,且a12,a24,Sn为数列 an的前n项和,则S2009 ( ) A.6026 B .6024 C.2 D.4 解析: 12 a a 2 416 aa32 4a3, 得a32,同理得a44,a52, 这是一个周期数列. S2009 20091 2 (2 4) 26026. 答案: A 7. 在古希腊,毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,这些数叫做三角形数,这是因为这些数 目的点可以排成一个正三角形( 如图 ). 试问三角形数的一般表达式为 ( ) A.n B. 1 2n( n1) C.n 21 D. 1 2n( n1) 解析:由123n 1 2n( n1)可得 . 答案:
5、 B 8. 在数列 an 中,a11,a22,an2an1( 1) n,那么 S100的值等于 ( ) A.2500 B.2600 C.2700 D.2800 解析:据已知当n为奇数时, an 2an0?an1, 当n为偶数时,an2an 2?ann, 100 5050 1() , () 11.1246.100 n an nn S 奇数 故 这偶数 故 5050 2100 2 2600. 答案: B 9. 在函数yf(x) 的图象上有点列xn,yn,若数列 xn是等差数列,数列yn 是等比数列,则函 数yf(x) 的解析式可能为 ( ) A.f(x) 2x1 B.f(x) 4x 2 C.f(x
6、) log3x D.f(x) ( 3 4) x 解析:结合选项,对于函数f(x) ( 3 4) x 上的点列 xn,yn ,有yn( 3 4) xn. 由于 xn 是等差数列, 所以xn1xnd,因此 yn1 yn ( 3 4) xn1 ( 3 4) xn ( 3 4) xn1xn( 3 4) d,这是一个与 n无关的常数,故yn 是 等比数列 . 答案: D 10. 数列 an满足:a11,且对任意的m,nN * 都有:amnamanmn,则 1 a1 1 a2 1 a3 1 a2008 ( ) A. 2007 2008 B. 2007 1004 C. 2008 2009 D. 4016 2
7、009 解析:因为anmanammn,则可得a11,a23,a36,a410,则可猜得数列的通项 an n(n1) 2 , 1 an 2 n(n 1) 2( 1 n 1 n1) , 1 a1 1 a2 1 a3 1 a2008 2(1 1 2 1 2 1 3 1 2008 1 2009) 2(1 1 2009) 4016 2009 答案: D 11. 各项都是正数的等比数列an中,a2, 1 2a 3,a1成等差数列,则 a4a5 a3a4 的值为 ( ) A. 51 2 B. 51 2 C.1 5 2 D. 51 2 或 51 2 解析:设 an的公比为q(q0),由a3a2a1,得q 2q
8、1 0, 解得q1 5 2 . 从而 a4a5 a3a4 q1 5 2 . 答案: B 12. 已知等比数列an 的各项均为不等于1 的正数,数列 bn满足bnlgan,b318,b612,则数 列 bn前n项和的最大值等于 ( ) A.126 B.130 C.132 D.134 解析:由题意可知,lga3b3,lga6b6. 又b318,b612,则a1q 21018, a1q 5 1012, q 3106. 即q10 2, a110 22. 又 an 为正项等比数列, bn 为等差数列,且d 2,b1 22. 故bn22(n1)( 2) 2n24. Sn22n n(n1) 2 ( 2) n
9、 223n ( n23 2 ) 2529 4 . 又n N *,故 n11 或 12 时, (Sn)max132. 答案: C 二、填空题 ( 本大题共4 小题,每小题4 分,共 16 分. 将答案填在题中横线上) 13. 设等比数列 an的前n项和为Sn,若a11,S64S3,则a4. 解析:设等比数列的公比为q,则由S64S3知q1. S6 1q 6 1q 4(1 q 3) 1q .q 33. a1q 3 3. 答案: 3 14. 已知数列 an 满足 an1 an n 2 n (nN *) ,且 a1 1,则an. 解析:由已知得 an an1 n1 n1, an 1 an 2 n n2
10、, a2 a1 3 1, a1 1, 左右两边分别相乘得 an1 3 1 4 2 5 3 6 4 n1 n3 n n 2 n1 n1 n(n 1) 2 答案: n(n1) 2 15. “欢欢”按如图所示的规则练习数数,记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为 an ,则数到 2 008 时对应的指头是,数列 an的通项公式an.( 填出指头的 名称,各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指). 解析:注意到数1,9,17,25,分别都对应着大拇指,且18(251 1)2 001,因此数到 2 008 时对应的指头是食指.对应中指的数依次是:3,7,11,15,因此数列an 的
11、通项公式是 an 3(n1)4 4n1. 答案:食指4n1 16. 等差数列 an 的前n项和为Sn,且a4a28,a3a526. 记Tn Sn n 2,如果存在正整数M,使得 对一切正整数n,TnM都成立,则M的最小值是. 解析: an为等差数列,由a4a28,a3a526, 可解得Sn2n 2 n, Tn2 1 n,若 TnM对一切正整数n恒成立,则只需Tn的最大值M即可 . 又Tn2 1 n 2,只需2M,故M的最小值是2. 答案: 2 三、解答题 ( 本大题共 6 小题,共74 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.( 本小题满分12 分) 已知 an是一个等差
12、数列,且a21,a5 5. (1) 求数列 an 的通项an; (2) 求an前n项和Sn的最大值 . 解: (1) 设an 的公差为d, 由已知条件得, 1 1 1 1, 3,2, 45, ad ad ad 解得 所以ana1(n1)d 2n5. (2)Snna1n( n1) 2 dn 24n4( n2) 2. 所以n2 时,Sn取到最大值4. 18.( 本小题满分12 分) 已知数列 an满足:a11 4,a 2 3 4,a n12anan1(n2,nN *) ,数列 bn 满足b10,3bnbn1n(n2,nN *) ,数列 bn 的前n项和为Sn. (1) 求数列 an 的通项an;
13、(2) 求证:数列 bnan为等比数列 . 解: (1) 证明 2anan1an1(n2,nN *) , an 是等差数列 . 又a1 1 4, a2 3 4, an1 4( n1) 1 2 2n1 4 , (2) 证明:bn 1 3b n1 n 3( n2,nN * ) , bn1an 11 3b n n1 3 2n1 4 1 3b n2n1 12 1 3( bn 2n1 4 ) 1 3( bnan). 又b1a1b11 40, bnan 是以b1 1 4为首项,以 1 3为公比的等比数列 . 19.( 本小题满分12 分)(2010 苏北三市联考) 已知数列 an是等差数列,a23,a56
14、,数列 bn 的前n项和是Tn,且Tn1 2b n1. (1) 求数列 an 的通项公式与前n项的和Mn; (2) 求数列 bn 的通项公式 . 解: (1) 设an 的公差为d,则:a2a1d,a5a14d. 1 25 1 3 3,6, 46 ad aa ad 所以 a12,d1 an2(n1) n1.M nna1n( n1) 2 d n 23n 2 . (2) 证明:当n1 时,b1T1, 由T1 1 2b 1 1,得b1 2 3. 当n2 时,Tn1 1 2b n,Tn11 1 2b n1, TnTn1 1 2( bn1bn) , 即bn 1 2( bn1bn). bn 1 3b n1.
15、 bn 是以 2 3为首项, 1 3为公比的等比数列 . bn 2 3( 1 3) n 12 3 n. 20.( 本小题满分12 分) 用分期付款的方式购买一批总价为2300 万元的住房, 购买当天首付300 万 元,以后每月的这一天都交100 万元,并加付此前欠款的利息,设月利率为1% ,若从首付300 万元之后的第一个月开始算分期付款的第1 个月,问分期付款的第10 个月应付多少万元?全部 贷款付清后,买这批住房实际支付多少万元? 解:购买时付款300 万元,则欠款2000 万元,依题意分20 次付清, 则每次交付欠款的数额顺次构成数列an, 故a110020000.01 120(万元 )
16、 , a2 100(2000 100)0.01 119( 万元 ) , a3 100(2000 1002)0.01 118( 万元 ) , a4 100(2000 1003)0.01 117( 万元 ) , an 1002000 100(n1) 0.01 120 (n1) 121n( 万元)(1 n20,n N *). 因此 an 是首项为120,公差为 1 的等差数列 . 故a1012110111( 万元 ) , a2012120101( 万元 ) , 20 次分期付款的总和为 S20( a1a20) 20 2 (120 101)20 2 2210( 万元 ). 实际要付3002210251
17、0( 万元 ). 即分期付款第10 个月应付111 万元;全部贷款付清后,买这批住房实际支付2510 万元 . 21.( 本小题满分12 分) 已知数列 an 的每一项都是正数,满足a12 且a 2 n1anan12a 2 n0;等差 数列 bn 的前n项和为Tn,b23,T525. (1) 求数列 an 、bn 的通项公式; (2) 比较 1 T1 1 T2 1 Tn与 2 的大小; (3)理 若b 1 a1 b2 a2 bn anc 恒成立,求整数c的最小值 . 解: (1) 由a 2 n1anan12a 2 n0, 得 (an 12an)(an1an) 0, 由于数列 an的每一项都是正
18、数,an1 2an,an2 n. 设bnb1(n1)d,由已知有b1d3,5b154 2 d 25, 解得b11,d 2,bn2n1. (2) 由(1) 得Tnn 2,1 Tn 1 n 2, 当n1 时, 1 T11 2. 当n2 时, 1 n 2 1 (n1)n 1 n1 1 n. 1 T1 1 T2 1 Tn1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 n1 1 n2 1 n 2. (3)理 记Pn b1 a1 b2 a2 bn an 1 2 3 2 2 5 2 3 2n1 2 n. 1 2P n 1 2 2 3 2 3 2n3 2 n 2n1 2 n1, 两式相减得Pn 3 2n 3 2 n.
19、 Pn递增, 1 2 Pn3,P4 37 162, 最小的整数c3. 22.( 本小题满分14 分) 已知等差数列an的前n项和为Sn且满足a23,S636. (1) 求数列 an 的通项公式; (2) 若数列 bn 是等比数列且满足b1b23,b4b524. 设数列 anbn 的前n项和为Tn,求Tn. 解: (1) 数列 an 是等差数列, S63(a1a6)3(a2a5) 36. a23,a5 9, 3da5a26,d2, 又a1a2d 1,an2n1. (2) 由等比数列 bn 满足b1b2 3,b4b524, 得 b4b5 b1b2 q 38, q2, b1b23,b1b1q3,b11,bn2 n1, anbn(2n1) 1 2 n . Tn113252 2 (2 n3) 2 2 n (2n1) 1 2 n , 则 2Tn1232 2523 (2 n3) 1 2 n (2n1)2 n, 两式相减得 (1 2)Tn112222 2 22n221 2 n (2n1)2 n,即 Tn12(2 1 22 21 2 n ) (2n1)2 n 12(2 n2) (2 n1)2 n(32n) 2n3, Tn(2n3)2 n3.
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