高三数学第一轮复习《双曲线》讲义.pdf
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1、双曲线 要点梳理 1双曲线的概念 平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2| 2c0) 的距离之差的绝对值为常数2a(2a0,c0; (1) 当_ ac_时,P点不存在 这里要注意两点: (1) 距离之差的绝对值 (2)2a|F1F2| 时,动点轨迹不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1 (a0,b0) y 2 a 2 x 2 b 21 (a0,b0) 图形 性 质 范围xa或xa,yRxR,ya或ya 对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点 顶点A1(a,0) ,A2(a,0)A1(0 ,a) ,A2(0 ,a) 渐近线 y b ax y a bx
2、 离心率 e c a, e(1, ) ,其中ca 2b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2| 2a;线段B1B2叫做双曲线 的虚轴,它的长|B1B2| 2b;a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的 半虚轴长 a、b、c 的关系 c 2 a 2b2 ( ca0,cb0) 1双曲线中a,b,c的关系 区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆中的a,b,c大小关系,在椭圆中a 2 b 2 c 2,而在双曲线中 c 2a2 b 2 双曲线中有一个重要的RtOAB( 如右图 ) , 它的三边长分别是a、b、c易见c 2 a 2 b 2, 若记AOB ,则e c a 1 cos 2渐近
3、线与离心率 x 2 a 2y 2 b 21 (a0,b0)的一条渐近线的斜率为 b a b 2 a 2 c 2 a 2 a 2e 21可以看出,双 曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小 双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e(0,1) 3与渐近线有关的性质: 焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b 共用渐近线的两条双曲线可能是:共轭的双曲线或放大后共轭的双曲线 与双曲线 x 2 a 2y 2 b 21 共用渐近线的双曲线的方程可设为 x 2 a 2y 2 b 2t (t0) 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中的“1”为 “0”就得到两渐近线方程,即方程
4、x 2 a 2 y 2 b 20 就是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 的两条渐近线方程 双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 (a0,b0) 的渐近线方程是y b ax, y 2 a 2 x 2 b 21 (a0,b0)的渐近线方程 是y a b x 实轴长和虚轴长相等的双曲线为_等轴双曲线_,其渐近线方程为_ yx _,离心率为 _ e2_ 4 直线与双曲线的位置关系: 直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如: 当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双 曲线相交于一点, 但不是相切; 反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点 若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意
5、说明斜率不存在的情况 基础自测 1双曲线2x 2 y 28 的实轴长是 ( ) A2 B 22 C4 D42 1C 2x 2 y 28, x 2 4 y 2 8 1,a2, 2a4. 2已知双曲线 x 2 2 y 2 b 21 (b0) 的左、右焦点分别为F1、F2,其中一条渐近线方程为yx, 点P(3,y0) 在该双曲线上,则PF1 PF2 等于 ( ) A 12 B 2 C0 D4 3设直线l过双曲线C的一个焦点, 且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB| 为C的实轴长的2 倍,则C的离心率为 ( ) A.2 B.3 C 2 D3 3B 设双曲线的标准方程为 x 2 a 2
6、y 2 b 21(a0,b0) ,由于直线l过双曲线的焦点且与对称 轴垂直,因此直线l的方程为l:xc或xc,代入 x 2 a 2y 2 b 21 得y 2 b 2(c 2 a 21) b 4 a 2,y b 2 a,故 | AB| 2b 2 a ,依题意 2b 2 a 4a, b 2 a 22, c 2 a 2 a 2e 212, e3. 4已知点F1( 4,0) 和F2(4,0) ,一曲线上的动点P到F1,F2距离之差为6,该曲线方程是 _x 2 9 y 2 7 1 (x3)_ _ 5 双曲线mx 2 y 21 的虚轴长是实轴长的 2 倍, 则m_ 1 4_ 6已知以双曲线C的两个焦点及虚
7、轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为60, 则双曲线C的离心率为 _ 6 2 _ 7已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 (a0,b0)和椭圆 x 2 16 y 2 9 1 有相同的焦点,且双曲线的离心率是 椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为_x 2 4 y 2 3 1_ 8若双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1 (a0,b0) 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心 率为 ( ) A 5 B 5 C 2 D2 9已知点 (m,n) 在双曲线8x 23y224 上,则 2m 4 的范围是 _ ( , 423 4 23,) 10已知A(1,4) ,F是双曲线 x
8、2 4 y 2 121 的左焦点, P是双曲线右支上的动点,求|PF| |PA| 的最小值 解设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义可知 |PF| 2a|PF1| 4|PF1| , |PF| |PA| 4|PF1| |PA|. 当满足 |PF1| |PA| 最小时, |PF| |PA| 最小 由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时,满足 |PF1| |PA| 最小,易求得最小值为|AF1| 5,故所求最小值为9. 双曲线标准方程的求法:(1) 定义法,根据题目的条件,判断是否满足双曲线的定义,若满 足,求出相应的a、b、c,即可求得方程(2) 待定系数法,其步骤是:定位:确定双曲 线的焦点
9、在哪个坐标轴上;设方程:根据焦点的位置设出相应的双曲线方程;定值:根 据题目条件确定相关的系数 题型一双曲线的标准方程 例 1 (1) 与双曲线 x 2 9 y 2 161 有共同的渐近线,且过点 ( 3,23) 求双曲线的标准方程; 解(1) 设所求双曲线方程为 x 2 9 y 2 16 ( 0), 将点 ( 3,23) 代入得 1 4,所求双曲线方程为 x 2 9 y 2 16 1 4 , 即x 2 9 4 y 2 4 1. (2) 已知双曲线与椭圆 x 2 9 y 2 251 的焦点相同, 且它们的离心率之和等于 14 5 ,则双曲线的方 程为 _ y 2 4 x 2 12 1 解析由于
10、在椭圆 x 2 9 y 2 251 中, a 225, b 2 9,所以 c 216,c4,又椭圆的焦点在 y轴上,所以其焦点坐标为(0 ,4),离心率e 4 5. 根据题意知,双曲线的焦点也应在 y轴 上,坐标为 (0,4),且其离心率等于 14 5 4 52. 故设双曲线的方程为 y 2 a 2 x 2 b 21 (a0,b0) , 且c4,所以a 1 2c2, a 2 4, b 2 c 2 a 212,于是双曲线的方程为 y 2 4 x 2 121. 探究提高求双曲线的方程,关键是求a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e) 之 间的关系,并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线
11、方程为axby0,可设双曲线 方程为a 2x2 b 2y2 ( 0) 变式训练 1 根据下列条件,求双曲线方程: (1) 若双曲线的渐近线方程为y3x,它的一个焦点是(10,0),求双曲线的方程; (1)x 2y 2 9 1 (2) 已知双曲线的渐近线方程为y 4 3x,并且焦点都在圆 x 2 y 2100 上,求双曲线的方 程 (2) x 2 36 y 2 641 或 y 2 64 x 2 36 1 题型二双曲线的定义及应用 例 2已知定点A(0,7) ,B(0, 7) ,C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,求另一 焦点F的轨迹方程 解题导引求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条
12、件探求轨迹的曲线类型,从而再用待 定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量,提高解题速度与质量在运用双曲线的定 义时, 应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线,还是双曲线 的一支,若是一支,是哪一支,以确保轨迹的纯粹性和完备性 解设F(x,y) 为轨迹上的任意一点, 因为A,B两点在以C,F为焦点的椭圆上, 所以 |FA| |CA| 2a,|FB| |CB| 2a ( 其中a表示椭圆的长半轴) 所以 |FA| |CA| |FB| |CB|. 所以 |FA| |FB| |CB| |CA| 12 292 12 2522. 所以 |FA| |FB| 2. 由双曲线的定义知,
13、F点在以A,B为焦点, 2 为实轴长的双曲线的下半支上 所以点F的轨迹方程是y 2x 2 48 1 (y 1) 探究提高双曲线的定义理解到位是解题的关键应注意定义中的条件“差的绝对值”,弄 清所求轨迹是双曲线的两支,还是双曲线的一支若是一支, 是哪一支,以确保解答的正确 性 变式训练2 已知动圆M与圆C1:(x4) 2 y 2 2 外切,与圆 C2:(x4) 2 y 22 内切,求 动圆圆心M的轨迹方程 解设动圆M的半径为r,则由已知得,|MC1| r2, |MC 2| r2, |MC 1| |MC2| 22, 又C1( 4,0) ,C2(4,0) , |C1C2| 8. 221 解(1) 由
14、已知:c13,设椭圆长、短半轴长分别为a、b,双曲线半实、虚轴长分别为 m、n,则 am4 7 13 a 3 13 m ,解得a7,m3. b 6,n2. 椭圆方程为 x 2 49 y 2 36 1,双曲线方程为 x 2 9 y 2 4 1. (2) 不妨设F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1| |PF2| 14, |PF1| |PF2| 6, 所以 |PF1| 10,|PF2| 4. 又|F1F2| 213, cosF1PF2 |PF1| 2 | PF2| 2 |F1F2| 2 2|PF1|PF2| 10 242 (2 13) 2 2104 4 5. 变式训练3 (
15、1)如图,已知F1、F2为双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 (a0,b0) 的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P, 且PF1F230,求: (1) 双曲线的离心率; (2) 双曲线的渐近线方程 (1)3 (2)y2x (2) 已知点 P 是双曲线 22 2222 22 1(0,0) xy abxyab ab 和圆的一个交点,F1, F2是该双曲线的两个焦点,PF2F1=2PF1F2,则该双曲线的离心率为 A 1 2 B 31 2 C2 D 31 题型四直线与双曲线的位置关系 例 4 过双曲线 x 2 3 y 2 6 1 的右焦点F2,倾斜角为30的直线交双曲线于A,B两点,O
16、为坐 标原点,F1为左焦点 (1) 求|AB| ; (2) 求AOB的面积; (3) 求证: |AF2| |BF2| |AF1| |BF1| (1) 解由双曲线的方程得a3,b6, ca 2b23, F1( 3,0) ,F2(3,0) 直线AB的方程为y 3 3 (x3) 设A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由 y 3 3 (x3) , x 2 3 y 2 6 1, 得 5x 26x270. x1x2 6 5, x1x2 27 5 . |AB| 1k 2| x1x2| 1 3 3 2 (x1x2) 24x 1x2 4 3 36 25 108 5 163 5 . (2) 解直线AB的方程变
17、形为3x3y330. 原点O到直线AB的距离为d | 33| (3) 2(3)2 3 2. SAOB1 2| AB| d1 2 163 5 3 2 123 5 . (3) 证明如图,由双曲线的定义得 |AF2| |AF1| 23, |BF1| |BF2| 23, |AF2| |AF1| |BF1| |BF2| , 即|AF2| |BF2| |AF1| |BF1|. 探究提高双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系 解 决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程,然后把直线方程和双曲线方程组成方 程组,消元后转化成关于x( 或y) 的一元二次方程,利用根与系数的关系及整体代入的思想 解题
18、 设直线与双曲线交于A(x1,y1) ,B(x2,y2) 两点, 直线的斜率为k,则|AB| 1k 2| x1 x2| 变式训练4 直线l:ykx1 与双曲线C:2x 2 y 21 的右支交于不同的两点 A、B (1) 求实数k的取值范围; (2) 是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在, 求 出k的值;若不存在,说明理由 解(1) 将直 线l的方程y=kx+1代入双曲 线C 的 方 程2x2-y2=1后,整理得 (k2-2)x2+2kx+2=0. 依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点, 故 k 220, (2k) 2 8(k 22)0 , 2k k 22
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