高三数学高考向量与解析几何结合解答题精选全国通用.pdf
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1、09 届高考数学向量与解析几何结合解答题精选 平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理, 目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的 几何意义,利用其几何意义解决有关问题。 1. 已知 1 OF( 3,0) , 2 OF( 3,0) , (O为坐标原点) ,动点 M满足:| 1 MF | 2 MF10。 (1)求动点 M的轨迹 C; (2)若点 P 、Q是曲线 C上任意两点, 且OPOQ=0, 求 22 2 OQOP PQ 的值 【解 】 (1)由| 1 MF| 2 MF10 知: 动点 M到两定点F1和 F2的距离之和为
2、10 根据椭圆的第一定义:动点M的轨迹为椭圆:1 1625 22 yx (2)点 P、O是1 1625 22 yx 上任意两点 设 P(sin4,cos5) ,Q(sin4,cos5) (注意 :这是点在椭圆上的一种常规设法,也是椭圆的参数方程的一个应用) OPOQ=0 得:sinsin16coscos250 而 2 PQ、 22 OQOP都可以用 、 的三角函数表示,利用可以解得: 22 2 OQOP PQ 400 41 2. 已知:过点 A (0, 1) 且方向向量为a (1, k) 的直线l与 C:1)3()2( 22 yx 相交与 M 、N两点。(1)求实数k 的取值范围;(2)求证:
3、AMAN为定值; (3)若 O为坐标原点,且 OMON12,求 k 的值。 x Q P y O 【解 】直线l过点 A( 0,1)且方向向量为 a( 1,k) 直线l的方程为: ykx 1 ( 注意 :这里已知方向向量即已知直线的斜率) 将其代入 C:1) 3()2( 22 yx,得:07)1(4)1( 22 xkxk 由题意: 07)1(4)1(4 2 kk得: 3 74 3 74 k (注意 : 这里用了直线和方程组成方程组,方程有两根; 本题还可以用圆与直线有两个交点, d0) ,点 P在 y 轴上运动,点M在 x 轴上运动,点N为动点, 且PMPF0,PM0PN(1)求点 N的轨迹 C
4、; (2)过点 F(a,0)的直线l(不与 x 轴垂直)与曲线C交于 A、B两点,设点K ( a,0) , KA与KB的夹角为 ,求证 00 KA与KB的夹角为 ,KA与KB不共线,则 0 cos |KBKA KBKA 0 00 把代入化简得:mm4 2 0 m4或 mm 4 1 或 m4为所求的m的取值范围。 7. 已知点 H ( 3,0) ,点 P在 y 轴上,点Q在 x 轴正半轴上,点M在直线 PQ上,且 HPPM0,PM 2 3 MQ(1)当 P在 y 轴上移动时,求点M的轨迹方程; (2) 过点 T ( 1, 0) 作直线l交轨迹 C与 A、 B两点,若在 x 轴上垂直一点E)0,(
5、 0 x, 使| AE | AB, 且AE与AB的夹角为60 0,求 0 x的值 【解 】设 M (x, y) ,由PM 2 3 MQ得 P( 2 ,0 y ) 、Q (0 , 3 x ) 由HPPM0 得: xy4 2 点 Q在 x 轴正半轴上,x0 即所求的轨迹方程为:xy4 2 ( x0) (抛物线去掉顶点) (2)设直线l: yk(x 1)(k0) ,代入xy4 2 得: 0)2(2 2222 kxkxk设 A( 11, y x) 、B ( 22, y x) ,则 1 42 21 2 2 21 xx k k xx 线段 AB的中点坐标为( kk k2 , 2 2 2 ) 线段 AB的垂
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