高三物理第一轮复习万有引力与航天.pdf
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1、万有引力与航天 考纲解读1.掌握万有引力定律的内容、公式及应用 .2.理解环绕速度的含义并会求解.3.了解 第二和第三宇宙速度 考点一天体质量和密度的计算 1解决天体 (卫星 )运动问题的基本思路 (1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力,即 GMm r 2manmv 2 r m 2rm4 2r T 2 (2)在中心天体表面或附近运动时,万有引力近似等于重力,即 G Mm R 2mg(g 表示天体表面的 重力加速度 ) 2天体质量和密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R. 由于 GMm R 2 mg,故天体质量 M gR 2 G , 天体密度 M V M 4 3 R
2、3 3g 4 GR. (2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r. 由万有引力等于向心力,即GMm r 2m4 2 T 2r,得出中心天体质量M4 2r3 GT 2; 若已知天体半径R,则天体的平均密度 M V M 4 3 R 3 3 r 3 GT 2R3; 若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为其轨道半径r 等于天体半径R,则天 体密度 3 GT 2.可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密 度 例 11798 年,英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G,因此卡文迪许被人们称为能 称出地球质量的人若已知万有引力常量G,地球表面处的重力加速度
3、g,地球半径R,地 球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期 ),一年的时间 T2(地球公转周期 ),地球中心到月球中 心的距离L1,地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出 ( ) A地球的质量m地 gR 2 G B太阳的质量m 太 4 2L3 2 GT 2 2 C月球的质量m 月 4 2L3 1 GT 2 1 D可求月球、地球及太阳的密度 解析对地球表面的一个物体m0来说,应有m0g Gm地m0 R 2 ,所以地球质量m 地 gR 2 G ,选项 A 正确对地球绕太阳运动来说,有 Gm太m地 L 2 2 m地 4 2 T 2 2 L2,则 m太 4 2 L 3 2 GT 2 2 ,B 项正确对
4、月球 绕地球运动来说,能求地球的质量,不知道月球的相关参量及月球的卫星的运动参量,无法 求出它的质量和密度,C、D 项错误 答案AB 变式题组 1天体质量的估算(2013 大纲全国 18)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星,它在距 月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行,运行周期为127 分钟已知引力常量G 6.6710 11 N m2/kg2,月球的半径为 1.74103 km.利用以上数据估算月球的质量约为 () A8.110 10 kg B7.410 13 kg C5.410 19 kg D7.410 22 kg 答案D 解析由 G Mm Rh 2m(Rh)(2 T ) 2,解得
5、月球的质量 M 4 2(Rh)3/GT2,代入数据得: M 7.410 22 kg,选项 D 正确 2天体密度的计算“嫦娥三号”探测器已于2013 年 12 月 2日 1 时 30 分,在西昌卫星发 射中心成功发射 “嫦娥三号”携带“玉免号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察, 并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测已知月球半径为R0,月球表面处重力加速度 为 g0,地球和月球的半径之比为 R R0 4,表面重力加速度之比为 g g06,则地球和月球的密度 之比 0为( ) A. 2 3 B.3 2 C4 D6 答案B 解析设星球的密度为 , 由 GMm R 2 m g 得 GMgR 2,
6、 M V M 4 3 R 3, 联立解得: 3g 4G R, 则: 0 g R0 g0 R,将 R R04, g g06 代入上式,解得: 0 3 2,选项 B 正确 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时,估算的只是中心天体的质 量,并非环绕天体的质量 (2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r,只有在天体表面附近的卫星才有rR;计算天体密 度时, V 4 3 R 3 中的 R 只能是中心天体的半径 考点二卫星运行参量的比较与计算 1卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 2极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极,由于地球自转
7、,极地卫星可以实现全球覆盖 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星,其运行的轨道半径可近似 认为等于地球的半径,其运行线速度约为7.9 km/s. (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心 例 2(2013 广东 14)如图 1,甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和 2M 的 行星做匀速圆周运动,下列说法正确的是() 图 1 A甲的向心加速度比乙的小 B甲的运行周期比乙的小 C甲的角速度比乙的大 D甲的线速度比乙的大 答案A 解析由万有引力提供向心力得GMm r 2 mv 2 r m 2rmam4 2 T 2r,变形得: a GM r 2 , v GM r ,
8、 GM r 3,T 2 r 3 GM ,只有周期T和 M 成减函数关系,而a、v、和 M 成 增函数关系,故选A. 变式题组 3卫星运行参量的比较(2013 海南 5)“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同 步卫星 )、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上 运行,它们距地面的高度分别约为地球半径的6 倍和 3.4 倍下列说法正确的是() A静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2 倍 B静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2 倍 C静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的 1 7 D静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的 1 7 答案A 4同步卫星
9、问题的有关分析已知地球质量为M,半径为 R,自转周期为T,地球同步卫星 质量为 m,引力常量为G.有关同步卫星,下列表述正确的是() A卫星距地面的高度为 3 GMT 2 4 2 B卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C卫星运行时受到的向心力大小为GMm R 2 D卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 答案BD 解析天体运动的基本原理为万有引力提供向心力,地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运 动,即 F万F向mv 2 r 4 2mr T 2 .当卫星在地表运行时,F 万GMm R 2 mg(R 为地球半径 ),设同 步卫星离地面高度为h,则 F万 GMm Rh 2F 向ma向mv 2 r ,
10、即万有引力大于所需要的向心力,卫星将做近心 运动,脱离原来的圆轨道,轨道半径变小, 当卫星进入新的轨道稳定运行时由v GM r 可 知其运行速度比原轨道时增大 卫星的发射和回收就是利用这一原理 例 3在完成各项任务后, “神舟十号”飞船于2013 年 6月 26 日回归地球 如图 2 所示, 飞船在返回地面时,要在P 点从圆形轨道进入椭圆轨道,Q 为轨道上的一点,M 为 轨道上的另一点,关于“神舟十号”的运动,下列说法中正确的有() 图 2 A飞船在轨道上经过P 的速度小于经过Q 的速度 B飞船在轨道上经过P 的速度小于在轨道上经过M 的速度 C飞船在轨道上运动的周期大于在轨道上运动的周期 D
11、飞船在轨道上经过P 的加速度小于在轨道上经过M 的加速度 解析由开普勒行星运动定律可知选项A 正确;飞船在轨道上做匀速圆周运动,故飞船 经过 P、M 两点时的速率相等,由于飞船在P 点进入轨道 时相对于轨道 做向心运动, 可知飞船在轨道 上 P 点速度小于轨道上 P 点速度,故选项B 正确;根据开普勒第三定 律可知,飞船在轨道上运动的周期小于在轨道上运动的周期,选项C 错误;根据牛顿 第二定律可知,飞船在轨道上经过 P 的加速度与在轨道上经过 M 的加速度大小相等, 选项 D 错误 答案AB 递进题组 5变轨中运行参量的比较2013 年 12 月 2 日,我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发
12、 射中心成功发射升空,此飞行轨道示意图如图3 所示,地面发射后奔向月球,在P 点从圆 形轨道进入椭圆轨道,Q 为轨道上的近月点下列关于“嫦娥三号”的运动,正确的 说法是 () 图 3 A发射速度一定大于7.9 km/s B在轨道上从P 到 Q 的过程中速率不断增大 C在轨道上经过P 的速度小于在轨道上经过P 的速度 D在轨道上经过P 的加速度小于在轨道上经过P 的加速度 答案ABC 解析“嫦娥三号 ”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s,A 正确在轨道 上从 P 到 Q 的 过程中速率不断增大,选项B 正确 “嫦娥三号 ”从轨道 上运动到轨道上要减速,故 在轨道 上经过 P 的速度小于在轨
13、道上经过 P 的速度,选项C 正确在轨道上经过 P 的加速度等于在轨道上经过 P 的加速度, D 错 6变轨中运行参量的比较如图 4 所示,搭载着“嫦娥二号”卫星的长征三号丙运载火箭 在西昌卫星发射中心点火发射,卫星由地面发射后,进入地月转移轨道,经多次变轨最终进 入距离月球表面100 km、周期为118 min 的工作轨道,开始对月球进行探测,则() 图 4 A卫星在轨道上的运动速度比月球的第一宇宙速度小 B卫星在轨道上经过P 点的速度比在轨道上经过P 点时的大 C卫星在轨道上运行周期比在轨道上短 D卫星在轨道上的运行周期比在轨道上长 答案AC 考点四宇宙速度的理解与计算 1第一宇宙速度又叫
14、环绕速度 推导过程为:由mg mv 2 1 R GMm R 2 得: v1 GM R gR7.9 km/s. 2第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度 3第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度,也是人造地球卫星的最小发射速度 注意(1)两种周期 自转周期和公转周期的不同 (2)两种速度 环绕速度与发射速度的不同,最大环绕速度等于最小发射速度 (3)两个半径 天体半径 R 和卫星轨道半径r 的不同 (4)第二宇宙速度(脱离速度 ):v211.2 km/s,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 (5)第三宇宙速度(逃逸速度 ):v316.7 km/s,使物体挣脱太阳引
15、力束缚的最小发射速度 例 4“伽利略”木星探测器,从1989 年 10 月进入太空起,历经6 年,行程37 亿千米, 终于到达木星周围此后在 t 秒内绕木星运行N 圈后, 对木星及其卫星进行考察,最后坠入 木星大气层烧毁设这 N 圈都是绕木星在同一个圆周上运行,其运行速率为v,探测器上的 照相机正对木星拍摄整个木星时的视角为 (如图 5 所示 ),设木星为一球体求: 图 5 (1)木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径; (2)木星的第一宇宙速度 答案(1) vt 2 N (2) v sin 2 解析(1)设木星探测器在题述圆形轨道运行时,轨道半径为r,由 v 2 r T 可得: r vT
16、 2 由题意可知, T t N 联立解得r vt 2 N (2)探测器在圆形轨道上运行时,万有引力提供向心力, GmM r 2mv 2 r . 设木星的第一宇宙速度为v0,有, GmM R 2m v 2 0 R 联立解得: v0 r Rv 由题意可知Rrsin 2,解得: v0 v sin 2 . 变式题组 7第一宇宙速度的理解与计算某人在一星球表面上以速度v0竖直上抛一物体,经过时间 t 后物体落回手中已知星球半径为R,那么沿星球表面将物体抛出,要使物体不再落回星 球表面,抛射速度至少为() A. v0t R B. 2v0R t C. v0R t D. v0 Rt 答案B 解析要使物体不再落
17、回星球表面,抛射速度必须达到星球的第一宇宙速度,满足v GM R gR,而由竖直上抛规律知v0 1 2gt,所以 v 2v0R t ,B 对 8宇宙速度的理解与计算2011 年中俄联合实施探测火星计划,由中国负责研制的“萤火 一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯 土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运 载火箭发射前往火星已知火星的质量约为地球质量的 1 9,火星的半径约为地球半径的 1 2.下 列关于火星探测器的说法中正确的是() A发射速度只要大于第一宇宙速度即可 B发射速度只有达到第三宇宙速度才可以 C发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度 D火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球
18、第一宇宙速度的 2 3 答案CD 解析根据三个宇宙速度的意义,可知选项A、B 错误,选项C 正确;已知M火 M地 9 ,R火 R 地 2 ,则 vm v1 GM 火 R火 GM 地 R地 2 3 . 考点五双星或多星模型 绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统,如图 6所示, 双星系统模型 有以下特点: 图 6 (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供,即 Gm1m2 L 2 m1 2 1r1, Gm1m2 L 2 m2 2 2r2 (2)两颗星的周期及角速度都相同,即 T1T2, 12 (3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为:r1r2L (4)两颗星到圆心的距离r1
19、、r2与星体质量成反比,即 m1 m2 r2 r1 (5)双星的运动周期T2 L 3 G m1m2 (6)双星的总质量公式m1m2 4 2L3 T 2G 例 5宇宙中,两颗靠得比较近的恒星,只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转,称之 为双星系统在浩瀚的银河系中,多数恒星都是双星系统设某双星系统A、B 绕其连线上 的 O 点做匀速圆周运动,如图7 所示若AOOB,则 () 图 7 A星球 A 的质量一定大于星球B 的质量 B星球 A 的线速度一定大于星球B 的线速度 C双星间距离一定,双星的质量越大,其转动周期越大 D双星的质量一定,双星之间的距离越大,其转动周期越大 解析设双星质量分别为mA、
20、mB,轨道半径分别为RA、RB,两者间距为L,周期为T,角 速度为 ,由万有引力定律可知: GmAmB L 2mA 2R A GmAmB L 2mB 2R B RARBL 由 式可得 mA mB RB RA , 而 AOOB,故 A 错误 vA RA, vBRB,B 正确 联立 得 G(mAmB) 2L3, 又因为 T2 , 故 T 2 L 3 G mA mB ,可知 C 错误, D 正确 答案BD 变式题组 9双星模型 (2013 山东 20)双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别 围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动研究发现, 双星系统演化过程中,两星 的总质量、距
21、离和周期均可能发生变化若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过 一段时间演化后,两星总质量变为原来的k 倍,两星之间的距离变为原来的n 倍,则此时圆 周运动的周期为() A. n 3 k 2TB. n 3 k T C. n 2 k TD. n k T 答案B 解析双星靠彼此的引力提供向心力,则有 Gm 1m2 L 2m1r14 2 T 2 Gm 1m2 L 2m2r24 2 T 2 并且 r1r2L 解得 T2 L 3 G m1m2 当两星总质量变为原来的k 倍,两星之间距离变为原来的n 倍时 T2 n 3 L 3 Gk m1m2 n 3 k T 故选项 B 正确 10多星模型 宇宙中存在
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- 物理 第一轮 复习 万有引力 航天
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