2019版一轮复习文数通用版:第六单元解三角形1.doc.pdf
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1、正弦定理、余弦定理 过双基 1.正弦定理 =岛=船=2R,其中R是三角形外接圆的半径 . sin D sm c 由正弦定理可以变形 : a : b : c=siq_A : siq_0 : siQ_C; (2)a=2Rsin A, =2Rsin c=2Rsin C. 2.余弦定理 /=X+2CCOS_A , b2=a1+c12accos B, c?=/+沪一2dbcos_C? 小题速通 且bV3(m), 在MON中,由余弦定理得, MN= yj 900+300-2 X 30 X 103 X=V300= l(h/3(m). 答案:l(h/3 3?如图,一艘船上午9: 30在4处测得灯塔S在它的北偏
2、东30。的方向,之后北 它继续沿正北方向匀速航行,上午10: 00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏 东75。的方向,且与它相距82 n mile?则此船的航速是_ n mile/h? 解析:设航速为v n mile/h, 1 8 Fl 2 在厶ABS中刼,BS=8y/i, ZBSA=45。,由正弦定理得盘丽 =品苗 , 则77 = 32? 答案:32 清易错 易混淆方位角与方向角粧念: 方位角是指北方向线按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角, 而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角. 若点A在点C的北偏东30。,点B在点C的南偏东60。,且AC=BC,则点A在点 的 () A.北
3、偏东15B.北偏西15 D.北偏西10。 解析:选B如图所示,ZACB=90 , 又AC=BCf ?ZCB4=45。, 而“=30。, .?.a=90 o-45 -30o = 15 . ?点A在点B的北偏西15 . 双基过关检测 . 、选择题 1.已知中,sinA :sinB :sinC=l :1 :迈,则此三角形的最大内角为() A. 60 B. 90 C.北偏东10。 A A M 解析:选C Vsin A : sin B : sin C=1 : 1 :羽, /.? : b : c=l : 1 :萌,设a=m,贝U b=m, c=y3m. q2+b2c? /+ 加23亦1 cos C=2b
4、= 2m1= T 2.在厶ABC中,已知 =40, c=20, C=60,则此三角形的解的情况是() A.有一解 D.有解但解的个数不确定 ?角不存在,即满足条件的三角形不存在. 3?在厶ABC中,内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若c=2a, b=4, cos B=. 则c的值为() A?4 D?6 解析:选A Vc=2a, b=4, cos B=j, /. 由余弦定理得沪 =/+/ 2accos B, 即16=|c2+c2|c2=c2, 解得c=4? 4?已知AC中,内角A, B, C所对边分别为a, b, c,若人=申,b=2acosBf c= 1,则ZVIBC的面积等于()
5、 解析:选B 由正弦定理得sin B=2sin Acos B, 故tan B=2sin A = 2sinj=/3,又B(0, n),所以 又A=B=务则厶4必是正三角形 , B.有两解 C?5 C.无解 5?(2018-湖南四校联考)在厶ABC中,角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若(/+ b2-c2)tan C=abf则角C的大小为() 6.已知A, B两地间的距离为10 km, B, C两地间的距离为20 km,现测得ZABC= 120 ,则4, C 两地间的距离为() B 10/3 km C. l(h/5 km D? 1怖km 解析:选D 如图所示,由余弦定理可得,AC 2
6、= 100+400- 2X10X20Xcos 120 =700, .?.AC=l(h/7(km). 7. (2018-贵州质检)AABC中,内角A, B, C所对的边分别是a, b, c,若c2=(a 一掰+6, C=即 则皿眈 的面积是 () A. 3 科 D. 3筋 解析:选C 9:c2=(ab) 2+6t /. c2=a2-h 22ab+6 ? V C=.?./=/+方22肋cos =a 2+b2ab. 由得一血+6=0,即ab=6. 8 一艘海轮从A处出发,以每小时40 n mile的速度沿南偏东40。的方向直线航行,30 分钟后到达处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南
7、偏东70。,在 处观察灯塔,其方向是北偏东65。,那么B, C两点间的距离是() Ttf 5兀 A (2)求sin(2A+J)的值. 解在厶ABC中,因为a”, 3 4 故由sin B=E,可得cos B=亍 由已知及余弦定理,得b2=a+c 2-2accos B=13 1 所以b=y13? 由正弦定理七 =七,得sinA=. sin A sin B 9 b 13 由及acos B=acos C +ccos A, 贝0 B= _ ? 解析:法一:由2/cos B=acos C+ccos A及正弦定理,得 2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=si
8、n B0, 因此cos B=*? 又0VBVTT,所以 =号 法二:由2方cos B=acos C+ccos A及余弦定理,得 a2+c 2Z2 a 2+Z2 c2 . Z 2+c2a lac lab +c , 2bc 整理得,a 1+c2b2=ac9 所以2accos B=ac0, cos =壬 又OVB 2)sin(A+ B), A ft 2sin(/l+sin(/- =a2sin0+ sin0- B), /. 2sin Acos B*Z 2=2cos Asin , CE :.cos z DEA =yjlshi 2ZDEA = 題型二 TO决利用正、余弦定理判断三角形形状 ? ? ED=C
9、OS%A=2妁 14 即/cos Asin B=Xsin Acos B? 法一:用“边化角”解题 由正弦定理得a=2RsnAf b=2Rsin Bf sin 2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B, 又sin A*sin H0, /. sin Acos A=sin Bcos B, /. sin 24=sin IB. 在ABC 中,0V24V2TT,0V2BV2 TT, /. 2A = 2B或2A=n2Bf J.A=B或A + B=. ?AABC为等腰三角形或直角三角形. 法二:用“角化边”解题 由正弦定理、余弦定理得: Z 2+c2a2 2 ?2+c2_Z2 a2bc =b5
10、 2ac /. (b 2+c2a)=+c2b2), ?(a 2 一b2)(a + 沪一c?)=0, /. a2Z 2=0 或 a2+b2c2=0. 即a=h或a2+b2=c2? ?AABC为等腰三角形或直角三角形. 方法技巧 厠断手形形状的2种方法 (1)“边化角” 利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等 变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=n这 个结论 . (2)“角化边” 利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相 应关系,从而判断三角形的形状. 提醒在两种解法的等式变形中,一般
11、两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免 漏解. 即时演练 1?设ZkABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若方cos C+ccos =asin A, 则ABC的形状为 () A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不确定 解析:选B 依据题设条件的特点,由正弦定理, 得sin Bcos C+cos Bsin C=sin 3 4A, 有sin(B+C)=sin 2A, 从而sin(B+C)=sin A=sin 2A, 解得sin A = l, ?A=号,?ABC是直角三角形 . 2?在厶ABC中,“2dsinA = (2+c)sinB+(2c+)sinC,且si
12、n +sin C=l”,试判 断的形 状. 解:由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)cf 即a2=b2+c2+hct由余弦定理得,cosA=sin A=, 则sin 2A=sin2B+sin2C+ sin Bsin C. 又sin B+sin C= 1,所以sin Bsin C=春, 解得sin B=sin C=*?因为OvC寻故 B=C= ¥, 所以 ABC是等腰钝角三角形 . 3 4 故SABc =2csin B=pac. 又SMBC=2,则ac. 由余弦定理及a+c=6得 Z 2=a2+c22accos B=(a+c)22ac(A +cos B) 三角形面积问题 (
13、2017-全国卷II)AAC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知sin(A + C)=8sin 2y. (1)求cos B; (2)若a+c=6, AABC的面积为2,求. 解 由题设及A+B+C=n得sin B=8sin 2y, 即sin B=4(l cos B), 故17cos2B-32cosB+15=0, 解得cos =晋或cos B=l(舍去). 5 8 (2)由cos B=p,得sin B=p, 典例 =36-2% ABC中BC边上的高 . 设BC=a,由题意 TT 1 2 知AD=BC=a, =牙,易知BD=AD=a, DCa. 在RtAABD中,由勾股定理得, A
14、B= 帥+闌2爭. 同理,4. RtAACD 中,AC= yj 人=¥? 4 3 于是sin 2B=2sin Bcos B=, cos 2B= 12sin 2B=T, 故sin(2B4)=sin 2Bcos Acos 2sin A 11?在厶ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c?已知asin B=迈方cos A? (1)求角A的大小; 若 a=命, b=2f求的面积 . 解: (1)因为asin B=yJbcos A, 由正弦定理得sin Asin =7 sin Bcos A. 又sin H0,从而tan A=y3? 由于00,所以c=3?故厶ABC的面积S=l/csin A=
15、? 故sin C=sin(A+B)=sin(B+=sin Bcos 申+cos Bsin 所以 ABC的面积S=absin C=. 12.在厶ABC中,内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, sin B?(acos B+bcos CCOS Be 求B; (2)若 b=2 心 AABC的面积为2、R,求厶ABC的周长 . 解:(1)由正弦定理得, sin B(sin Acos B+sin Bcos A)=/3sin Ceos B, /. sin Bsin(A+B)=Q5sin Ceos B, ?*. sin Bsin C=V5sin Ceos B? V sin CHO, /. sin
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