2019版一轮复习文数通用版:第四单元导数及其应用.docx.pdf
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1、第四单元导数及其应用 知识点一 1.基本初等函数的导数公式 原函数导函数 /U)=c(c为常数)f (x)=0 f (X)= 71X n_1 f f ( 兀)=COS X f(x)=cosxf (x)= sin x f(x)=a x f (x)=a xln_fl f(x)=e x f W=e x fix) =logaX(a0,且a H1)f (x)_ xln a J(x)=nx f ( 心 2.导数的运算法则 (1) 心) 士处)=f (x)g, (x); 心)=r(x)g(x)+f (x)g , (X); (g(go) ? 小题速通 i?下列求导运算正确的是() D. (x 2cosx) 1
2、 = 2sinx /sin x,故选B? 2.函数fix)= (x+2a)(x a)2的导数为 () A. 2(x-a) B. 2(x 2+a2) C?3(x 2-a2) D?3(x 2+a2) 解析:选C */f(x)=(x+2a)(xa) 2=x33a2x+2a3 , : ?f (x)=3(x 2a2). 过双 基 解析:选B p; (log2x) xln2* (3 “) = 3 xln 3; (x2cos x) f = 2xcos x B? (10胡 =爲 教材复习课 导数的基本运算 f (x)gd) 一心0 ( 兀) gd)F C. (3了=3 xlog 3e 3.函数f(x)=ax
3、3+3x1 2 3 +2f若f (-1)=4,则a 的值是 () 解析:选D 因为f (x)=3ax 2+6x f 所以f (_l)=3a_6=4, 4. (2016?天漳髙考 ) 已知函数f(x)=(2x+)e x f f (x)为心) 的导函数,则f (0)的值为 解析:因为/(x)=(2x+l)e x, 所以f (x) = 2e x+(2x+ l)ex=(2x+3)ex, 所以f (0)=3e=3? 答案:3 清易错 1?利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如( 兀“) =/n:“T中川H0且 畀WQ*, (cos x) = sinx? 2.注意公式不要用混 ,WY “Ina
4、,而不是 ( 巧 =xa x_,. 2 已知函数/lx)=sinx cosx,若f(x)=U),则tan兀的值为 () A.1 B. -3 C?一1 D. 2 解析:选B ?:f (x)=(sin x cos x)z =cos 兀+sin x, 又f (x)=|/U), .?.cosx+sinx=|sinx-|cosx, :.tanx= 3. 3 若函数f(x)=2 x+nx 且f (d)=0,则2nln 2 a=( ) A?一1 B. 1 C?-In 2 D. In 2 解析:选A f (x)=2 xn 2+, 由f =2“ln2+ =0,得2“ln2=丄,则a?2“?ln2 Cw c0,则
5、ZU)在这个区 间上是增加的 . 若f(X)VO,则7U)在这个区间上是减少的 . (3)若f ( 工)=0,则/U)在这个区间内是常数 . 2.利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求厂( 兀)? (2)在定义域内解不等式f (x)0或f (Qv0? (3)根据结果确定/U)的单调性及单调区间 . 小题速通 1.函数/U)=2X 3-9X2+12X +1 的单调减区间是 () A.(1,2) B. (2, +8) C?( 一 8, 1) D. ( 一8, 1)和(2, +8) 解析:选A 解f (X)=6X 2-18X +12x+c0时,由导函数f (x)=aX L+hx+c 的图象可知,
6、导函数在区间(0, xj) 内的值是大于0的,则在此区间内函数/U)单调递增 . 只有D选项符合题意 . 3.已知/(x)=x 2+?x+31nx 在(1, +8)上是增函数,则实数a的取值范围为 ( A.(8, 2令f (x)0), 因为函数f(x)=x 2ax+n x 有极值 , 令g( 工)=/ 处+1,且g(0)=l0, 答案:(2, +8) 5.设 X,兀2是函数f(x) =xlax 2+a2x 的两个极值点,若xi0 可得Q1 或x2. 1.已知函数/(x)=logflx(a0 且aHl),若f (1)=-1,则d=() A. e C7 D*2 解析:选B因为f ( 兀)=盲匕,所
7、以f(1)=金=一1,所以加a= 1,所以a=|. 2?直线y=kx+1与曲线y=x 2+ax+b 相切于点A(l,3),则2a+b的值为 ( ) A. 一1 B. 1 C. 2 D. 2 解析:选C 由曲线y=x 2+ax+b f得=2x+af 卜+1=3, 由题意可得,k=2+a, j+a+b=3, 所以2a+b=2? 3.函数J=2X 3-3X2 的极值情况为 () A.在x=0处取得极大值0,但无极小值 B.在x= l处取得极小值一1,但无极大值 C.在工=0处取得极大值0,在工=1处取得极小值一1 D.以上都不对 解析:选C y =6x 26x, 由y f =6x 26x0,可得 x
8、l或x1,所以加 Wl? 5.函数/(x)=(x-3)e x 的单调递增区间是 () A. (8, 2) B. (0,3) C. (1,4) D. (2, +8) 解析:选D 依题意得f (x)=(x-3) / ex+(x-3)(ex)/ =(x-2)e 令f (x)0,解得 k=2, 解得2, :.fix)的单调递增区间是 (2, +8).故选D. 6.已知函数 /U)=x(x m) 2 在兀=1处取得极小值,则实数m=( ) A. 0 B? 1 C?2 D?3 解析:选B f(x)=x(x 2-2mx+m2)=x3-2mx2+m2x, 所以f,(x)=3x 24mx+m2= (x-m)(3
9、x-m). 由 f (1)=0 可得m=l 或m=3?当m=3 时,f 仪)=3仪一1)仪一3),当lvxv3时,f (x)3时,f (x)0,此时在x=l处取得极大值,不合题意,/.m= 1,此时(x)=(xl)(3x1),当 vxvl 时,f (x)l 时,f 7 (x)0, 此时在 x=l处取得极小值 . 选B? 7.已知曲线j=j-31nx的一条切线的斜率为 *, 则切点的横坐标为 () A. 3 B? 2 C. 1 D.| 解析:选A 已知曲线31n x(x0)的一条切线的斜率为 *, 由 得兀=3,故选A. 12“, xWO, 8.若函数f(x)= .“的值域为0, +8),则实数
10、a的取值范围是 () lx 3x+a, x0 A?23 B. (2,3 C?( 一8, 2 D?( 一 8, 2) 解析:选A 当兀WO时,0W/)=l-2*vl; 当x0 时,f(x)=x 33x+a, f (x)=3x 23, 当工日0,1)时,f (x)0, /U)单调递增, 所以当x=l时,函数血0取得最小值f(l)=l-3+a=a-2.由题意得0Wa2W1,解 得 2WaW3,选A? 二、填空题 9.若函数f(x)=x+anx不是单调函数,则实数a的取值范围是 _ ? 解析:由题意知/U)的定义域为(0, + ), f (x)=l+¥,要使函数f(x)=x+an x不 是单调函 数,
11、则需方程1+¥ =0在(0, +8)上有解,即x=at?.avO? 答案: ( 一 8, 0) 10.已知函数fix)=n x-f (-1)X 2+3X -4,则f (1)= _ ? 解析:Tf M= 2f r ( l)x+3, ?f ( 一1)=一1+“ ( 一1)+3, ?f ( 一1)=一2,?f (1)=1+4+3=8. 答案:8 11.已知函数何的图象在点M(l,川) 处的切线方程是j=|x+3,则(1)= 117 解析:由题意知f (1)=2, 1+3=2, 7 1 ?/U)+f (1)=2 +2=4- 答案:4 12.已知函数g(x)满足g(x)=g , eig(O)x+|?,且
12、存在实数工 , 使得不等式亦 lMggj)成立,贝IJ实数m的取值范围为 _ ? 解析:g (Q=g (l)e x_1-g(0)+x, 令工=1 时,得g(l)=g (1)一g(0)+l, ?g(0)=l, g(0)=g (l)e 0_1 = l, ?/ (l)=e, ?g(x)=e xx+|x2, g (x)=ev1+x, 当兀v0 时,g f (x)0, :. 当x=0时, 函数g( 兀) 取得最小值g(O)=l? 根据题意得2m 1 g(x)mjn = 1,? ? 加Ml. 答案:1, +8) 三、解答题 13.已知函数 ./U)=X+¥ +(XHO),其中a,方WR? 若曲线y=/U)
13、在点P(2,人2)处的切线方程为j=3x+l,求函数7U)的解析式; (2)讨论函数/U)的单调性; (3)若对于任意的a电,2不等式/(x)10在事1上恒成立,求实数的取值范围. 解:f ( 工)=1 一令( 兀HO), 由已知及导数的几何意义得f (2)=3,则a=-8? 由切点P(2, ./(2)在直线y=3x+l上可得一2+方=7,解得b=9,所以函数 ./( 兀) 的解析 式为f(x)=x-+9. (2)由(1)知f (x)=l ? 当aWO时,显然f (x)0,这时/U)在(一8, 0), (0, +8)上是增函数 . 当a0 时,令f (x)=0,解得x= V, 当兀变化时,f
14、(x),只兀) 的变化情况如下表: X ( 8, 逅) yfa( 込,0)(0, ya)(yfa, +) f(X)+ 0 0 + f(x)极大值 极小值 所以当?0时,/U)在( 一込 ) ,( 逅,+8)上是增函数,在 ( 一寸0), (0, ya) 上是减函数 . (3)由(2)知,对于任意的aE 2 ,不等式/U)W10在1上恒成立等价于 所以实数的取值范围是( 一8,孑. 14.已知函数心 )=汁( 一111兀一扌,其中aWR,且曲线 )=何在点(1, /U)处的切线 垂直于直线丿 =去? 求a的值; (2)求函数/U)的单调区间与极值 . 解:对心 ) 求导,得f (x)=|4(xo
15、),由/U)在点(i, /(!)处的切线垂直于直 3 5 知f (1)=一二一。 =一2,解得a=T. (2)由(1)知几劝 =亍+忑一In x , X 24x5 则 / (x)= TZ2 , 令f (x)=0,解得x= 1或兀=5? 因为兀 =一1不在. 兀T)的定义域(0, +8)内,故舍去 . 当xG(0,5)时,f (x)0, 故/U)在(5, +8)内为增函数 . 由此知函数ZU)在x=5时取得极小值J(5) = -ln5,无极大值 . 高考研究课 ( 一) 导数运算是基点、几何意义是重点 全国卷5年命题分析 考点考査频度考査角度 导数的几何意义5年8考求切线、已知切线求参数、求切点
16、坐标 sse 一 导数的运算 (2)已知/!(x)=sin x+cos xtf ,+i(x)是( 工) 的导函数,即( 工)=斤(x) 9f3(x)=f2 , (x), fn+lM=fn , (x), 则f 2 018(X)等于() A. sin 兀cos兀B. sin xcos x C. sinx+cosx D. cos xsin x (3)已知函数 /( 兀) 的导函数为f(X),且满足心)=2灯 (l)+lnx,则f (1)=() A. e B. 1 C. 1 D. e 解析(l)v/ (x)= pcos x+ (sin x), ?w)+f ?=4+? ( _i)=4- (2) V/i(
17、x)=sin x+cos xt (x)=cos xsin x, ? /i(x)= (x) = sin xcosx, ? /i(x)=Z/ (x) = cos x+sin x, ?/( 兀)=打(x)=sin x+cos x, :.fn(X)是以4为周期的函数, ?fi 01 s() =cos Xsin x,故选D? 由心)=2灯/ (l)+lnx,得f (x)=2f (l)+p ?f (l)=2f f (1)+1,则f (1)=-1. 答案(1)C D (3)B (1)(2018?恵州棋拟 ) 已知函数/U)=osx,则/0r)+f ? =( 典 方法技巧 1.可导函数的求导步骤 (1)分析函
18、数y=f(x)的结构特点,进行化简; (2)选择恰当的求导法则与导数公式求导; (3)化简整理答案 . 2.求导运算应遵循的原则 求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运 算量,提高运算速度,减少差错. 1?(2018-江西九校联考 ) 已知j=(x+l)(x+2)(x+3),则十 =( ) A?3X 45-12X +6B. X 2+12X -11 C?X 2+12X +6D?3X 2+12X +11 解析:选D 法一:=(X+2)(X+3)+(X+1)(X+3)+(X+1)(X+2)=3X 2+12X +11.法二: VJ=(X 2+3X +2)(X+3
19、)=X 3+6X2+11X +6, ? ? / =3X 2+12X +11 ? 2.已知函数f(x)=xnx 9若f (x0)=2,则卫)= _ ? 解析:f (x)=lnx+l,由f (x0)=2, 即In xo+l=2,解得x()=e. 答案:e 多般护导数的几何意义 导数的几何意义为高考热点内容,考查题型多为选择、填空题,也常出现在解答题的第 问中,难度较低,属中、低档题. 常见的命题角度有: (1)求切线方程; (2)确定切点坐标; (3)已知切线求参数值或范围; (4)切线的综合应用 . 角度一:求切线方程 1.已知函数f(x) = n(l+x)-x+x 2 9则曲线y=f(x)在点
20、(1, /(!)处的切线方程是 4 3 解析:V/ ( 工)=匸匚一1+2兀,?f (1)=2, /(l)=ln 2,?曲线丿 =心) 在点(1,川) 3 处的切线方程为jIn 2=空(兀一1),即3兀一2y+2ln 23=0. 答案:3x-2j+21n 2-3=0 角度二:确定切点坐标 2. (2018-沈阳棋拟)在平面直角坐标系“y中,点M在曲线C: j=x 3-xl ,且在 第三象限内,已知曲线C在点M处的切线的斜率为2,则点M的坐标为 _ ? 解析:=3X 2-1,曲线 C在点M处的切线的斜率为2,?3兀21 = 2, x=l, 又? ?点M在第三象限, ?兀=一1,?丿=(一1)3
21、(一1)一1 = 一1, ? ?点M的坐标为(一1, 一1)? 答案:(-1, -1) 角度三:已知切线求参数值或范围 3. (2017*武汉一棋)己知a为常数,若曲线j=ar 2+3xIn x _h 存在与直线x+j 1=0 垂直的切线,则实数a的取值范围是 _ ? 解析:由题意知曲线上存在某点的导数值为1, 所以=2ax+3 =1有正根, 即2?x2+2x1=0有正根 . 当aMO时,显然满足题意; 当aVO时,需满足/M0,解得一舟WaVO. 综上,舟? 答案:一务 +) 4.若两曲线y=x 2-l 与y=alnx l存在公切线,则正实数a的取值范围是 _ ? 解析:设y=anx1的切点
22、为(心,j0),求导=f, 则切线的斜率为2, 所以公切线方程为j(alnx0l)=y(xxo), 联立方程y=x 2l 可得x 2x+aan x o=O, x() 则a=4x?(lIn xo ). 由题意,可得 /= 4(aaln x()=0, 令f(x) =4/( 1 一in x)(x0),则f (x)=4x(1-21n x), 易知,函数,/(x)=4x 2(lInx) 在(0, 当a2时, 令g (x)=0, 得Xi=a1 /(?l) 21, x2=al +/(? l)21. 由X21和XiX2=l得Xi x4j+2=0 C. 4x+2j-l = 0 D. 4x2j1=0 切线方程为
23、=不三(兀 1), 解析:*f(x)=xnx, :.f (x)=ln x+1, 由题意得f (x0)*( 1)= 1, 即f g)=loin x()+1 = loin 兀0=()0工0= 1, ?/Uo)=l?lnl=O, ?P(1,O)? 答案:(1,0) 10.设过曲线f(x)=-e x-x(e 为自然对数的底数 ) 上的任意一点的切线为h,总存在过曲线 g(x)=/?zx3sin x上的一点处的切线12使h丄切 则m的取值范围是 _ ? 解析:设曲线/U)上任意一点A(xi, ji),曲线g(x)上存在一点 B(X2,力) ,f (x)=e x 1, g r (x)=/?z3cos x?
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