2019版一轮复习理数通用版:第三单元基本初等函数Ⅰ及应用.docx.pdf
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1、第三单元基本初等函数(I)及应用 过双基 一、根式与幕的运算 1.根式的性质 ( 脈”=仏 (2)当“为奇数时,娠 =么 nta (a MO), (3)当为偶数时,娠 = |a|= /小 a (a0, m, wN*,且n 1). 负分数指数幕:a号=宅=(a0, mf且n 1). 0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义. (2)有理数指数幕的运算性质. ?a-a s=a.(aQ f r, sEQ). 丁=犷(00, r, 5EQ). ?(ab) r =a r b r (af 0, rQ). 二、对数及对数运算 1.对数的定义 一般地,如果a x=N(a0, 且aHl),那么数兀叫作以
2、a为底N的对数,记作x=loM 其中a叫 作对数的底数,N叫作真数 . 2.对数的性质 (1) log?l=0, Iog? a=l. (2) aogaN= N, log jV =M (3)负数和零没有对数 . 教材复习课“基本初等函数 (I) ”相关基础知识一课过 知识点一 指数与对数的基本运算 3.对数的运算性质 如果a0,且aHl, M0, N0,那么 (l) lo 色(M =lo 珈M+lo 坯N? M (2 )10爲亓=log/ lo N. (3)lodM“= lo 珈MG W R)? 换底公式log?=;:?“:( “0且“Hl,方U,加0,且加Hl)? 小题速通 2 1 (a ?方
3、 T) 2 *a 2 *b 、 1.化简一- 0,方0)的结果是 () A.aB. ab C. (TbD.- a n b 丄 a 2 b 一丄一丄一丄1 解析:选D原式=“ t =a 3 2 6?方2 3 6 =1 2.若兀=log43,则(2 “一2 *)2=() c ?罟 解析:选D 由x=log43,得4“=3,即4“ x=|, (2X -2 _X)2=4X -2+4“ X =3-2+|=| 3.yj (log23) 241og23+4+log 2|=( ) A.2 B? 2-21ogz3 C?一2 D. 21og23-2 解析:选B yj (log23)241og23+4+log2=/
4、 (Iog232)2Iog23=2log23log23=2 21og23 ? 4.已知f(x)=2 x+2x f若f(a)=3f则 f(2a)=( ) A.H B. 9 C?7 D?5 解析:选C 由题意可得fia)=2 a+2a=3 f则介2 )=2加+2=(2“+2一“)22=7? 清易错 1.在进行指数幕的运算时,一般用分数指数幕的形式表示,并且结果不能同时含有根号和 分数指数幕,也不能既有分母又含有负指数. 易忽视字母的符号 . 2.在对数运算时,易忽视真数大于零. 1.化简年丘的结果是 () A. C. yx D.yj x 解析:选A 依题意知xvO,故“f =yx. 2.若lg x
5、+lg=21g(x 2y), 贝!) ;的值为 _ ? 解析:Vlgx+lgj=21g(x 2j), .xy=(x 2y) 2, 即x 25+42=0, 即(xj)(x 4j)=0,解得x=y 或x=4y?又x0, j0, x 2y0, 故x=y不符合题意,舍去 . 所以x=4yf即;=4. 答案:4 二次函数 过双基 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:幷兀 )=处2+方工+c(dHO). 顶点式:f(x)=a(x m) 2+n(aQ). 零点式: f(x)=a(x Xi)(x X2)(a0). 2.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax 2+bx+c(a 0) fix)=ax
6、 2+bx+c(a 0, 解析:由已知得0, ac=4 幕函数 过双基 1.幕函数的定义 a0, ac4=0. 知识点三 一般地,形如v=x a 的函数称为幕函数,其中工是自变量,么为常数. 2.常见的5种幕函数的图象 3.常见的5种扇函数的性质 函数 特征 性质 y“1 y=xi 定义域RRR ro, +8) xlxER,且xHO 值域R0, +8)R0, +8) IvIveR,且yO 奇偶性奇 偶 奇非奇非偶奇 单调性增 ( 一8, 0减, 0, +8)增 增增 ( 一8, 0)减,(0, + 8) 减 定点(0,0),(1,1) (1,1) 小题速通 1 .幕 函 数y = f i x
7、)的 图 象 过 点( 4 , 2 ) ,则 幕 函 数y = f i x )的 图 象 是 ( ) 解析:选C令则4“=2, 2. (2018?贵阳监测 ) 已知幕函数y=f(x)的图象经过点 当 Osvl时,y=a x 在R上单调递减,y=oga(x)在( 一8, 0)上单调递增;当al 知识点五 对数函数 时,y=a x 在R上单调递增,y=lo跖( 一兀) 在( 一8, 0)上单调递减,结合B、D图象知,B正 确. 3.函数j=log2|x+l的单调递减区间为_ , 单调递增区间为 解析:作出函数j=log2x的图象,将其关于y轴对称得到函数丿 = log2|x| 的图象,再将图象向左
8、平移1个单位长度就得到函数j=log2|x+l| 的图象 ( 如图 所示 ). 由图知,函数J = log2|x+l|的单调递减区间为 ( 一 8, -1),单调递增区间 为( 一1, +8). 答案: ( 一8, -1) (-1, +8) 4._ 函数/U)=logXv2 2x 3)(d0, dHl)的定义域为 _ ? 解析:由题意可得X 22x30,解得 x3或x3或xv 一 1? 答案:x|x3或兀v1 清易错 解决与对数函数有关的问题时易漏两点: (1)函数的定义域 . (2)对数底数的取值范围 . 1. (2018-M昌调研届数j=log|(2x-l)的定义域是 () A. 1,2B
9、. 1,2) 甫,1D?g, 1 解析:选D要使函数有意义,则环力一1) 、2兀一10, 解得舟0,且aHT)在2,4上的最大值与最小值的差是1,则a的值为 解析:当al时,函数j=logf/x在2,4上是增函数,所以10410眇2=1,即lo劭2=1, 所以a=2. 当Ovavl时,函数丿 =10场尤在2,4上是减函数,所以logfl2log?4=l,即log? *=1, 所以a=j. 故a=2或a=2- 答案:2或+ 双基过关检测. 一、选择题 2 X-1, xWO, 1?函数f (x) 1 满足血0=1的x的值为() p x0, 解析:选B 令x=l, x-l = O,显然f (x)无意
10、义,故排除A;由| 兀一1|0可 + ),故排除D;由复合函数的单调性可知/U)在(1, + 8)上是增函数,故排除C,选B. 解析:选D 结合二次函数y=ax 2+bx+c(a0)的图象知 : JL 当avO,且血c0时,若一茲v0,则方v0, c0,故排除A, 若一z-0,则方0, cvO,故排除B. 当40,且血c0时,若一vo,则方0, c0,故排除C, I. 若一茲0,则方v0, cvO,故选项D符合. 4.设a=0?32, =2心,c=log25, d=log2()?3,则a, b, c, d 的大小关系是() 解得x= 1或L 得函数的定义域为(一 8, 1)U(1, 3? (2
11、018?坤州棋拟)设abc0,二次函数f (x)=ax+bx+c的图象可能是( A. 1 CD A B CI) C. b2, J=log20.30). ? ?函数y=(t+l) 2 在(0, +8)上递增, :.yl. ?所求值域为(1, +?).故选B. (x, xyOt 6. (2017-大连二棋 ) 定义运算:例如:=3, (=4,则函 js xy2或xvo时,y(x)e(-oo, 0).综上可得函数/U)的最大值为4,故选D. 7.已知函数./U)=lg乍匚+?是奇函数,且在兀=0处有意义,则该函数为() A?(一8, +8)上的减函数 B? (一8, +8)上的增函数 C?(一1,1
12、)上的减函数 D. (-1,1)的增函数 解析:选D由题意知,/(0) = lg(2+a)=0, ?a= 1,?几¥)=临6一1)=1佥 2, 兀- 2 2 令_ 兀0,则一1W1,排除A、B,又丿=_* 1 = 1+兀_ 在(一1,1)上是增函数,/./(X)在 (-1,1)上是增函数 . 选D. 8?(2018-湖北贅点亦中协作校联考)设函数f (x)=l yx+i, g(x)=ln(ax23x+l), 若 对任意帀丘 0, +8),都存在X2eR,使得/(X!)=g(x2),则实数a的最大值为() 9 A? 当a+2Wl,即aW-1 时,/(x)mi,=/(a+2)=(a+l) 2=4,
13、 a=l( 舍去) 或a=-3; 当avlva+2,即一lsvl 时,血 ;) 丽=/(1)=0工4? 故a的取值集合为 一3,3?故选C? 3?如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分,图象过点4(-3,0),对称轴为x=L 给出下面四个结论: 沪4ac;a-b+c=0;5av?其中正确的结论是 ( ) A.B. C.D. 解析:选B ? ?二次函数的图象与兀轴交于两点,? ?沪一4必0,即b 24ac 9正确;对称轴 为x= 1,即一茲 =1,2a=0,错误;结合图象知,当兀=1时,j0,即ab +c0,错 误;由对称轴为兀 =一1知,b=2af又函数图象开口向下,?dv0, :
14、.5ao, 意1,1恒成立,所以 | 2 . 解得xvl或兀3? /(_1)=工_5工+60, 5.若函数fix)=mx 2-2x+3 在 一1, +8)上递减,则实数加的取值范围为() A. ( 一1,0) B. 一1,0) C. ( 一 8, -1 D. -1,0 解析:选D 当加=0时,f(x)=-2x+3在R上递减,符合题意; 当加H0时,函数 ./( 兀)=/nx 22x+3 在 1, +8)上递减,只需对称轴x= 1,且/nAl)的解集是 () x+6, x) C?( 一1,1)U(3, +8)D?( 一 8, -3)U( 1,3) 解析:选A?V=3,?不等式fix)f(l)f即
15、,flx)3. x3 或一 3dab 解析:选D f(x) = 2 017 (x a)(x b)=x 2+(a+b)xab+2 017,又 fia)= f(b)=2 17f cf为函数几r) 的零点,且a”,cd,所以 可在平面直角坐标系中作出函数/U)的大致图 象,如图所示,由图可知cabd,故选D. 8. (2017?浙江髙考 ) 若函数fix)=x 2+ax+b 在区间0,1上的最大值是M,最小值是加 , 则 Mm( ) A.与a有关,且与方有关 C.与a无关,且与方无关解析:选B f1时,问在0,1单调递减, 与a 有关,与无关 . 综上所述,M m与a有关,但与无关 . 二、填空题
16、9.已知幕函数心 )=兀一 /+2加+3(加日) 在(0, +8)上为增函数,且在其定义域内是 偶函数,则加的值为_ ? 解析:? ?幕函数/U)在(0, +8)上为增函数, :./n 2+2/n+30, 即加 一2m 3abd B.与a有关,但与 b 无关 D.与a无关,但与 b 有关 l+a+j与a有关, m 1 要使 得函数在区间 ( 一 8, 1)上是减函数,在区间1, +8)上是增函数,则工 =一3 =1, 解得771=2. 答案:-2 11. (2018?南通一调 ) 若函数f(x)=ax 2+20x+14(a0)对任意实数 f,在闭区间tlf t+ X上总存在两实数m兀2,使得I
17、/U1) /U2)|M8成立,则实数a的最小值为 _ ? 解析:由题意可得,当t+1时,f(X)max-?X)min min8,当tl9 t+1 关 于对称轴对称时,f(x)nvdX-f(x)min取得最小值,即几+l)-/W=2m+d+20M8, fit-D-fit) =一2加 +。一20M8,两式相加,得所以实数a的最小值为8? 答案:8 x 3, xWa, 12.设函数人兀 )=, 若存在实数人使得函数y=Ax)-bx恰有2个零点,则 x xa9 实数a的取值范围为_ ? 解析:显然兀=0是y=f(x) bx的一个零点; 当xHO 时,令y=f(x) bx=0 得方 心)(X 2, xW
18、a, 令g(x)= v =则b=g(x)存在唯 - 个解. x x, xaf 当avO时,作出函数gtr)的图象,如图所示, 显然当a()时,作出函数g(x) 的图象,如图所示, 若要使b=g(x)存在唯 - 个解,则aaf即Ovavl, 同理,当a=0时,显然b=g(x)有零解或两解,不符合题意. 综上, a的取值范围是 (一8, 0)U(0,l)? 答案: ( 一 8, 0)U(0,l) 三、解答题 13. (2018-杭州棋拟 ) 已知值域为一1, +8)的二次函数人兀 ) 满足f(-l+x)=f(-l-x), 且方程/U)=0的两个实根工1,兀2满足|x(X2|=2. (1)求心) 的
19、表达式; (2)函数g(x)=f(x)-kx在区间1,2的最大值为爪2),最小值为几一1),求实数k的 取值范 围. 解:(1)由f(-l+x)=f(-l-x)t可得/U)的图象关于直线兀 =一1对称, 设f(x) =a(x+1 ) 2+/i=ax2+2ax+a +力(aH 0), 由函数几r)的值域为1, + ),可得h = l, 根据根与系数的关系可得xi+x2=2, xix2=l +彳, A xi x2=yl(x l+x2)24xix2 =寸一乎=2, 解得a = 1, .f(x)=x 2+2x ? (2)由题意得函数g(Q在区间-1,2上单调递增, 又(-v) = fix) kx=x
20、2(k 2)x. 2 /.g(x)的对称轴方程为x= 2 2 则一W 1,即RWO,故A:的取值范围为 ( , 0. 14. (2018*成都诊断 ) 已知函数f(x)=x 2+ax+3a f若2,2, f(x) 0 恒成立,求a的取值 范围. 解:f(x)=(x+ 2a+3 f令心) 在2,2上的最小值为g(a)? (1)当一号v-2,即a4 时,g(a)=/(2)=73。鼻0, 又a4, :.a不存在? (2)当一2W号W2,即一4WaW4 时, g(a)=d)= _a+3M0, :.6WaW2?又一4WaW4, :.4WaW2? (3)当一号2,即abc)的图象经过点和点B( 加2, /
21、(/n2) /U) =0?若a + f(ni)+f(m2)-a+fiin=0,贝U( ) A?鼻0 B?bbcf得a+b+c0, 若cMO,则有0, ?0,此时a+b+cOf这与a+b+c= 0矛盾; 所以cvO 成立,因为a 2 + f(mi)+f(m2)- a +f(ini)-f(in2) = 0,所以(a +f(tni)(a +f(m2) =0, 所以“,牝是方程Jx)= a的两个根, A=b 24a(a+c)=b(b+4a)=b(3a c)0 f而a0, cvO,所以3dc0,所以bMQ. 2.设函数fix)=2ax 2+2bx, 若存在实数xoe(O, f),使得对任意不为零的实数a
22、, b,均 有/Uo)=a+方成立,则t的取值范围是_ ? 解析:因为存在实数xoG(0, f),使得对任意不为零的实数a, b,均有f(Xi)=a+b成立, 所以 2ax 2+2bx=a+b 等价于(2xV)b=(l 2x 2)a ? 当兀=时,左边=0,右边H0,即等式不成立,故详舟; I _ 2*2 当xH二时,(2工一1)方=(l-2/)a等价于 -=2_1 , k+1 设2xl=kf因为xH二,所以RHO,则x=9 则函数g(Q 若/XABC为钝角三角形,则存在xG(l,2),使/(x)=O. A. 3 D. 0 c“?一- 0,故正确; 令a=2f b=3, c=4,则 a, bf
23、 c可以构成三角形,但a2=4,沪=9, c2=16却不能 构成三角形, 所以正确; 已知ca0, c方0,若ZkABC为钝角三角形,则a 2+b2c2Qf f(2)=a 2+b2-c2|, 即al+ 故实数4的取值范围是(1+2,e|,故选C? c Q 关于x的方程./1 +务显然方程无解 , 所以1aWO,即aMl, 因为/1一伽 =严+务 所以f(x)=laf即fix)=a lf 所以方程/(x)=a1有三解, 当xWO时,心 ) 在( 一 8, 0)上单调递增,且当 l 8 时,几r)-号, 当x0 时,f (x)=e A_, +ax-a-l, 所以f (x)是增函数,且f (1)=0
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