2019版一轮复习理数通用版:第四单元导数及其应用.docx.pdf
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1、第四单元导数及其应用 知识点一 1.基本初等函数的导数公式 原函数导函数 /U)=c(c为常数)f (x)=0 f (X)= 71X n_1 f f ( 兀)=COS X f(x)=cosxf (x)= sin x f(x)=a x f (x)=a xln_fl f(x)=e x f W=e x fix) =logoX(a0,且a H1)f (x)_ xln a J(x)=nx f ( 心 2.导数的运算法则 (l) f(x)士g(x) =f (x)g (x); (2)f(x)?g(x) =f ( 兀)g( 兀)+/U)g (x); (g(x)HO)? 3.复合函数的导数 复合函数y=Ag(兀
2、)的导数和函数y=Ju)t u=g(x)的导数间的关系为X =儿, 即y对x的导数等于y对“ 的导数与“对兀的导数的乘积. 小题速通 /sin xt 故选B? 2.函数f(x)=(x+2a)(xa) 2 的导数为 () A. 2(x 2-a) B. 2(x 2+a) 过双 基 1.下列求导运算正确的是 (A(T =1+? C? (3“ ) =3 xlogje ) B?(10耐=盒 D?(x 2cosx) 1 =2sinx p; (log2x) 7 工山2 ;(3“) =3 xln 3; (x2cos x) =2xcos x 教材复习课 导数的基本运算 f (x)gd) 一心0 ( 兀) gd)
3、F 解析:选B C? 3(x 2-?2) D?3(X 2+?2) 解析:选C 9f(x)=(x+2a)(x a) 2=x33a2x+l(i , : ?f (x)=3(x 2a2). 3.函数f(x)=ax 3+3x2+2 f若f (-1)=4,则a 的值是 () r 10 DT 解析:选D因为f (x)=3ax 2+6x, 所以f ( 一1)=3。一6=4, 4- (2016?天澤离考 ) 已知函数f(x)=(2x+l)e x 9 / (兀) 为伦) 的导函数,则f (0)的值为 解析:因为f(x)=(2x+l)e x f 所以f(X)=2e x+(2x +1 )e x=(2x+3)ex ,
4、所以f (0)=3e=3? 答案:3 2x(2x+ l)ln(2x+1) = (2x+ l)x 2 2工一(2x+ )ln(2x+1) (2x+l)x 2 清易错 1?利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如xy 中死H0且舁 WQ ”,(cosx) =sinx. 2.注意公式不要用混,如(a) =a xna f而不是(a) =xa x 1.已知函数/(x)=sinx cosx,若f ( 兀)=新兀) ,则tan兀的值为 ( ) A.1 C?一1 解析:选B ?:f (x)=(sin x cos x) 1 =cosx+sinx, 所以a= 10 T 函数 ln(2x+l) x 的导数
5、为 ln(2x+l)“ x ln(2x+l) 工一丘1心+1) _ x (2工+卯 2x+l ?xln(2x+l) 需-1心+1) X 2 答案:y= Be 3 D. 2 又f ( 兀)=尹), :.tan x= 3. 2.若函数f(x)=2 x+nx 且f (a)=0, 则2 an 2fl =( ) A.-1 B. 1 C. In 2 解析:选A f (x)=2 xln2+, 由f (a)=2“ln2+=0,得2“ln2=-则a-2 a n2 = -l,即2“In2“=-l? 导数的几何意义 过双基 函数ZU)在点心处的导数 /(心) 的几何意义是在曲线丿=/(x)上点P(xg,沟) 处的切
6、线的魁率 ( 瞬时速度就是位移函数$(f)对时间r的导数 ). 相应地,切线方程为卩一也=厂(也)?( 兀一 4.函数y=f(x)的图象在点M(l, /U)处的切线方程是j=3x-2,则/(!)+/ (1)= 解析:因为函数y=f(x)的图象在点/W(l, f(l)处的切线方程是y=3工一2,所以f (1) =3,且/U)=3X1-2=1,所以f(l)+f (1)=1+3=4? 答案:4 清易错 D? In 2 知识点二 小题速通 1.(2018-郑州质检 ) 已知y=f(x)令f (x)0), 因为函数Jx)=x 2ax+n x 有极值, 令g( 兀)=0, 答案:(2, +8) 5.设X1
7、,兀2是函数/(X)= X 32ax2+a 2x 的两个极值点,若xi2f a2vav6? 評, 答案:(2,6) 清易错 1. f ( 心)=0是兀 0为心 )的极值点的既不充分也不必要条件. 例如, f (0) =0,但兀=0不是极值点;又如/(x)=|x|, x=0是它的极小值点,但f (0)不存在 . 2.求函数最值时,易误认为极值点就是最值点,不通过比较就下结论. 1? (2017?岳阳一棋 ) 下列函数中,既是奇函数又存在极值的是(j A. y=x 3 B. y=ln( x) _ 2 C. y=xe x D. y=x+ 解析:选D 因为A、B为单调函数,所以不存在极值,C不是奇函数
8、,故选D. 2. 设函数f(x)=x 33x+l,x 2,2的最大值为M,最小值为加,则M+m= _ ? 解得a2. 解析:f (x)=3x 23, 由f (x)0 可得xl 或x0, i?若心)=、+仁3/曲,兀wo, /(/u)=i,则a的值为 ( B.2 C.-1 解析:选A 所以a=l. 知识点去 为了方便,常把F(b)-F(a)记作F(x) b , 即jyx)dx=F(x) I) = F(b) F(a) ? =a 3, 所以由f(f(l)=1 得a 3=l 9 D. -2 因为/U)=lgl=O, f(0)= 3? (2015?天漳离考)曲线j=x 2 与直线所围成的封闭图形的面积为
9、解析:如图,阴影部 分的面积即为所求 . 2 得A(l,l). 清易错 定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负. 1 y A / 4 O 1 X 由曲线J=x 2 和直线x=0, x=l, y=扌所围成的图形(如图所示)的面积为() B? 3 C 2 解析:选D由题意及图形可得阴影部分的面积 S= j :卜x2)dx+ J 1 (xT) 心 =6_丸) 2 +_*) ! =i o 2 n双基过关检测 、选择题 1?已知函数/(x)=log? x(a0 且aHl),若f (1)= 1,则a=() y=x y=x 故所求面积为S=J xx 2)dx= + 0)
10、=? *? 解析:选B因为f ( 兀)=诘孑所以f(1)=金=一1,所以加a= l,所以a=|. 2.直线y=kx+A与曲线y=x 2+ax+b 相切于点A(l,3),则2a+b的值为 ( ) A.-1B. 1 D.-2 解析:选C 由曲线y=x 2+ax+b f得=2x+af k+l=3, 由题意可得k=2+a, l+a+b=3, 所以2a+b=2. 3.函数y=2x 3-3x2 的极值情况为 () A.在x=0处取得极大值0,但无极小值 B.在x=l处取得极小值一1,但无极大值 C.在x=0处取得极大值0,在x=l处取得极小值一1 D.以上都不对 解析:选C y =6x 26x, 由y 1
11、 =6x26x0, 可得xl 或xl,所以/ W1? 5?函数/(x)=(x-3)e x 的单调递增区间是 () A.( 一8, 2) B. (0,3) C.(1,4) D?(2, +8) 解析: 选D 依题意得f (x)=(兀一3) e x+(x3)(ex)z =(x2)ex,令 f (x)0,解得 x2, :.f(x)的单调递增区间是(2, +8).故选 D? C. 2 k=2, 解得5a=0, 、b=2, 4?1, + ) C. ( 一 8, 1 6.已知函数f(x)=x(x-m) 2 在工=1处取得极小值,则实数m=( ) A. 0 B. 1 C. 2D. 3 解析:选B f(x)=x
12、(x 2-2mx+m2)=x3-2mx2+m2x,所以 (x)=3x 2-4mx+m2= (xm)(3xm) ? 由f z (1)=0 可得 m=1 或m=3?当m=3 时,f (x)=3(x 1 )(x3),当lvxv3时,f (x)3时,F (x)0,此时在x=l处取得极大值,不合题意,/.m=l,此时f (x)=(xl)(3x1), 当fvxvl 时,f (x)0, 此时在x=l处取得极小值 . 选B? 7.由曲线y=*2 1,直线x=0, x=2和x轴所围成的封闭图形的面积是() A. f 2(x2l)dx D? ji (x 2 -1 )dx+f ( 1 - ”2)dx 解析:选B作出
13、封闭图形的示意图如图所示, / 2 第 易得所围成的封闭图形的面积是 8.若函数的值域为0, +8),则实数a的取值范围是 () x 3x+af x0 A?2,3 B. (2,3 C. (一8, 2 D?( 一8, 2) 解析:选A 当兀W0时,0W/仗)=1一2*0 时,f(x)=x 33x+d, f (x)=3x 23, 当xG(O,l)Ht, f (x)0, ZU)单调递增 , 所以当工 =1时,函数ZU)取得最小值f(l)=l-3+a=a-2.由题意得0Wa-2W1,解 得 2WaW3,选A? 二、填空题 9.若函数f(x)=x+anx不是单调函数,则实数a的取值范围是 _ -l)dx
14、=J 2|x2-l|dx. 解析:由题意知/U)的定义域为(0,+ ), f (x)=l+,要使函数f(x)=x+an工不 是单调函 数,则需方程1+=0在(0, +8)上有解,即x=-at?av0? 答案: ( 一8, 0) 10.已知函数,Ax)=In x-f ( 一1)/+3工一4,则f (1)= _ ? 解析:Tf (x)=-2f (-l)x+3, :?f ( 一1)=一1 + 纽(-D+3, ?f ( 一1)=一2,?f (1)=1 + 4+3= (2)讨论函数/U)的单调性; lg(Xo)成立,则实数加的取值范 ?g(x)=e*_ x+2x“ ,g (x)=e x-l+x, (3)
15、若对于任意的2不等式心)W10在廿,1上恒成立,求实数方的取值范围. 解: (M(x)=iA(xo), 由已知及导数的几何意义得f (2)=3,则。=一 由(x)0,得x1+,所以函数 -1, 一1+ )上单调递 1+, +8丿上单调递增 . 当加0时,函数F( 兀) 在( 一1, 一1+ )上单调递减,在 ( 一1+,+8)上单调递增 . (2)函数f(x)=mn(x+l)在点(a, mln(a+l)处的切线方程为ymn(a+l)=(x a)t “加, ? / , 八ma 即尸寸 +加咖+1)一吊? 函数g(x)=#j在点卄斤 ) 处的切线方程为y_=(b;i)2(x_b), ”1 丄一 一
16、 即 J=( i+lp t+( i+i) 1, 因为丿 =A x) 与丿=g(x)的图象有且仅有一条公切线,即 a+l ( 方+1户 ? ,八ma b 2 金 加吨+1)一匸五 =丙戶 所以有唯一数对(a, b),满足这个方程组, 2 由得a+l = m(b+ 1)2,代入消去a 整理得:221n(b+l)+jf+/“ln/“2l=O, 关于b(b-l)的方程有唯一的解 , 22m(b+l)l (b+1)尸3+1)2 方程组有解时,m09所以方 ( 方) 在( 一1, 一1+勻上单调递减,在 (一1+土,+8)上单 调递增 , 所以M0min = ( 1+ z/iln m 1, 因为bf +
17、00, h(b)f + 00, bf 1, h(b)f + 00 , 所以只需tnmln /?1=0. 令p(in)=m mn ml9则伽)=In加在加0时为单调递减函数,且加=1时, p( 加)=0? 所以卩伽 )nwc =“(1) = 0, 此时a=“=0,公切线为y=x. 方法技巧 利用导数解决切线问题的方法 2 令h(b)=2mn(b+l)+ +mln mm 则h (b)= Im T+l 所以m=l时,关于b(b-l)的方程2加ln(方+1)+匸肓+mln in“2 1=0有唯一解 , 已知切点A(x(h ./Uu)求斜率R,即求该点处的导数值:k=f ( 心)? (2)已知斜率求切点
18、A(xlf /Ui),即解方程f (x)=k. (3)已知过某点M(xx, /Ui)( 不是切点 ) 的切线斜率为R时,常需设出切点A(x0, B#+3 D?+3 设a0,若曲线y=yfx与直线x=af j=0所围成封闭图形的面积为a 2 f则a= C 2 (x2-l)Jx=x 3-x=|, 丿1 jr A 所以f(x)dx=2 +亍 利用“豊 求解. SI三 定积分及应用 典例(2018?东营棋拟 ) 设 x 2,兀曰 0, 1, Lr,送(1, 2,则j严磁等于 () A 4 B4 C6 D.不存在 设/U)= f/l-x 2, xG-l, lx 2-l, xGl, 2, 1), 则 f(
19、x)dx的值为 ( 如图, J 2fix)dx = f x2dx + 2(2 x)dx = 因为 表示圆心在原点,半径为1的上半圆的面积,则 解 1) 必, 方法技巧 求定积分的2种方法及注意事吹 (1)定理法 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点: 对被积函数要先化简,再求积分; 求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求 和; 对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号再求积分; 注意用(x)=/U) ”检验积分的对错 . (2)面积法 根据定积分的几何意义可利用面积求定积分. 即时演练 解析:选C J 1(2x+ex)Jx=(x2+ex)A=l+
20、?-l=e. 故选C? 2.直线y=2x+3与抛物线j=x 2 所围成封闭图形的面积为. 解析: |y=2x+3, 如图,由方程组 _ 2 可得X1 = 1, X2 = 3,故所求图形面积为S=(2x + 封闭图形如图所示 , 答案(1)C (2)A (3)| C. e 答案:y 解析:由图知长方形OABC的面积为0; 函数过点、(1, e),则a=e,所以曲线的方程为y=e x, A, D 在直线丿=1兀上 , 所以阴影部分的面积s= r(Q+x1)必=(以+$2 丿0 1 所以在长方形OABC内任取一点P,则点P落在阴影部分的概率 3 答案:1-士 课堂真题集中演练二二 把脉命题规律和趋势
21、 1.(2014-全国卷II)设曲线y=ax-n(x+l)在点(0,0)处的切线方程为丿 =2兀,则a=( ) A. 0 B. 1 D.3 由题意得y x=0=2,即a-l=2,所以a=3. 2. (2017?全国卷I ) 曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为 _ A 解析:因为 h =2x-p,所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为|x_1 = 2Xl-p=l, 所以切线方程为y- 2=x-l,即x-y+l=0. 答案:x-j+l=0 3? (2016?全国卷II诺直线y=kx+b是曲线j=ln兀+2的切线,也是曲线y=ln(x+l) 的切 线,则 = _ ? 解析:j=ln x+2的
22、切线方程为: j=T-x+lnXj + 1(设切点横坐标为Xi), 兀1 j=ln(x+l)的切线方程为 : 32 C. 2 解析:选D 3.如图, 丁ln(*2+1)- 工( 设切点的横坐标为X2), 1_ 1 xi x2+r In xi + l = ln(兀2+1) 解得X=2,“2= 2 f ? ?方=ln 兀i + l = l In 2? 答案:l-ln2 4. (2015?全国卷I)己知函数fix)=ax 3+x+1 的图象在点(1, /)处的切线过点(2,7), 贝!j a= . 解析:?/ (X)=3OX 2+1, ?f (l)=3a+l ?又人l)=a+2, 切线方程为y(?+
23、2) = (3a+1 )(x 1)? ? ?切线过点(2,7), ?7-(d+2)=3a+l,解得a=l. 答案:1 5? (2015?全国卷II)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+l 相切, 则a_ ? 解析:y=x+ln xf ?=1+ ,h x=i=2. /. 曲线y=x+In x在点(1,1)处的切线方程为 j-l = 2(x-l),即y=2x-l. Vj=2x-1 与曲线y=ax 2+(a+2)x+l 相切, .?aH0(当a=0时曲线变为y=2x+l与已知直线平行 ). (y=2xlf, 由b=+(? +2)x+l,消去儿 得ax 2+
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