2019版高考数学(理科,课标A版)一轮复习讲义:§45解三角形.docx.pdf
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1、 4.5解三角形 考纲解读 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 1 ?正弦定理 和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能 解决一些简单的三角形度昴问题 掌握 2017 山东,9;2017 浙江,14; 2017 天津,15;2017 北京,15; 2016课标 全国II ,13; 2016 天津,3;2015 天津,13 题 填空题 2 ?正、余弦 定理的应用 能够运用正弦定理、余弦定理等 知识和方法解决一些与测昴和几 何计算有关的实际问题 掌握 2017课标全国II ,17; 2017课标全国皿,17;2017江苏,18; 2016课标全国皿,8; 2016 山东,16;2016 浙江
2、,16; 2015 湖北,13 解答题 分析解读1. 利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题. 需要综合应用两个定理及三角形有关知 识.2 ?正弦定理和余弦定理的应用比较广泛. 也比较灵活 . 在高考中常与面积或取值范围结合进行考查? 3.会利用数学建模思 想. 结 合三角形的知识 . 解决生产实践中的相关问题? 五年高考 考点一正弦定理和余弦定理 1. (2017山东,9,5分)ffiAABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若AABC为说角三角形,且满足sin B(l+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是 () A
3、.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 答案A 2. (2016天津,3,5 分) 在ABC 中,若AB=,BC=3, ZC= 120,则AO( ) A.l B.2 C.3 D.4 答案A 3. (2017浙江,14,5分)已知 ABC, AB=AC二4, BC二2 . 点D为AB延长线上一点 ,BD=2,连接CD,则BDC的面积 是_ , cos ZBDC二 _ . 答 4. (2016课标全国11,13,5分)/XABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A二,cos C二,狂1,则b二 _ . 答案 5. (2017 天津,15,13 分)在AABC 中,内角
4、A,B,C所对的边分别为ab,a=5,c=6,sin B=. (1)求b和sin A的值; 求sin的值. 解析(1)在AABC中,因为所以由s】n ,可得cos班. 由已知及余弦定理,有by+c2accos B=13,所以b=. 由正弦定理二,得sin A=. 所以,b的值为 ,sin A的值为 . (2)由及ab J!|ZB= () A. B. C. D. 答案A 8.(2013 天津,6,5分)在厶叔中,ZABC二,AB=,BC二3,则sinZBAC=() A. B. C. D. 答案C 9.(2013湖南,3,5分)在锐角AABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2dsin B=b
5、,则角A等于() A. B. C. D. 答案D 10. (2015天津,13,5分)在AABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知AABC的面积为3,b-c=2,cos A,则a的值 为 _ ? 答案8 11. _ (2015 重庆3,5 分)在AABC 中,B=120 ,AB=,A 的角平分线AD=,则AC= _ . 答案 12. (2015广东,11,5分)设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若*,sin B=,C=,则b二_ . 答案1 13. (2015福建,12,4分)若锐角AABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于 _ . 答案7 14. (
6、2014广东,12,5分)在AABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则二 _ . 答案2 15. (2014天津,12,5分)在AABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b? m,2sin B=3sin C,则cos A的值为 _ 答案- 16. (2014 福建,12,4 分)在AABC 中,A=60 ,AC=4,BC=2,则AABC 的面积等于 _ . 答案2 17. (2013安徽,12,5分)设AABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c二2a,3sin A=5sin B,则角O _ . 答案兀 18. (2
7、013 浙江,16,4 分)在AABC 中,ZC=90“,M 是BC 的中点?若sinZBA归,则sinZBAO _ ? 答案 19. (2014辽宁,17,12分)在AABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac. 已知? =2,cos B=,b=3. 求: (1)a和c的值; (2)cos(B-C)的值. 解析(1)由?二2得c ? acos B=2, 又cos B=,所以ac=6. 由余弦?S,Wa 2+c=b2+2accos B. 又b二3,所以a 2+c =9+2x2= 13. 解得a=2, c 二3 或a 二3, c=2. 因ac,所以a=3 ,c=2. (2)ffiAA
8、BC 中,sin B=, 由正弦定理,得sin C=sin B=x=. 因a=bc,所以C为锐角, 因此cos C=. 于是cos(B? C)二cos Bcos C+sin Bsin C =x+x=. 20.(2013111东,17,12 分)设AABC 的内角A,B,C所对的边分别为a,b心且a+c二6,b=2,cos (1)求4工的值; (2)求sin(A-B)的值. 解析(1)由余弦定理b 2=a2+c2-2accos B 得b=(a+c)-2ac( 1+cos B), 又b=2,a+c=6,cos 3=,所以de二9,解得a二3,c二3. (2)在点中,sin B=, 由正弦定理得s
9、i n A=. 因为妇c,所以A为锐角,所以cos A=. 因此sin(A-B)=sin Ac os B-cos Asin B=. 21.(2013 重庆,20,12 分)在 ABC 中,内角A, B, C 的对边分别是a, b, c,且a 2+b2+ab=c2. (1)求C; (2)设cos Acos B=,二, 求tnn a的值. 解析(1)因为a 2+b2 +ab=c 2, 由余弦定理有cos C=-, 故C二. (2)由题意得 =, 因此(tan asin A-cos A)( tan asin B-cos B)=, tan 2a sin Asin B-tan a (sin Acos B
10、fcos Asin B)+cos Acos B= t tan 2cr sin Asin B-tan a sin(A+B)+cos Acos B= ? 因为C二,A+B二,所以sin(A+B)二, 因为cos(A+B)二cos Acos B-sin Asin B,BP-sin Asin B=,解得sin Asin B=-=. 由得taa? 5tan a +4=0, 解得tan 。二1 或tan a二4. 考点二正、余弦定理的应用 1. (2016课标全国111,8,5分)在8玩中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=( ) A. B. C.- D.- 答案C 2. (2017课标全国11,
11、17,12分)AABC的内角A,B,C的对边分别为sin(A+C)=8sin 2 . (1)求cos B; (2)若a+c=6,AABC的面积为2,求b. 解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用. (1)由题设及A+班C二兀得sin B=8si, 故sin B=4(l-cos B). 上式两边平方,整理得17cosB ? 32cos B+15二0, 解得cos B=l(舍去),cos B=. (2)由cos B=W s in B=,故S人収=acsin B=ac. 又Sgbc=2,则ac=. 由余弦定理及a+c=6 得bJT+c-2accos B=(a+c) 2-2ac(1+cos B)
12、=36-2xx=4. 所以b二2. 3. (2016浙江,16,14分) 在AABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c二2acos B. (1)?B:A=2B; (2)若ZXABC的面积S=,求角A的大小 . 解析(1)由正弦定理得sin B+sin C二2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin Bi-sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B). 又A,BW(0,;r),故08 B.ab(a+b)16 C.6W “bcW12 D.12WabcW24 答案A 7. (2015湖北,13,5分)
13、 如图, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上 , 行驶600 m后到达B处, 测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD= _ m . 答案100 8. _ (2013福 建,13,4分)如图,在AABC中,已知点D在BC边上,AD丄AC,sinZBAC二,AB=3,A13,则BD的长为 _ 答案 9. (2017江苏,18,16分) 如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱台形玻璃容器II的高均为32 cm,容器I的底面对角线 AC的长为10 cm,容器II的两底面对角线EG,EG的长分别为14 cm和62 cm.
14、分别在容器I和容器II中注入水,水深均为12 cm.现 有一根玻璃棒1,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计) 将1放在容器I中J的一端置于点A处,另一端置于侧棱X上,求1没入水中部分的长度 ; (2)将1放在容器U中J的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG上,求1没入水中部分的长度? D 、 容器 U :d 1 1 / / / ? / 心 容器1 解析(1)由正棱柱的定义 ,CC1丄平面ABCD,所以平面Al ACCil平面ABCD, CG丄AC. 记玻璃棒的另一端落 在CO上点M处. 因为AC=10,AM=40, 所以MC=30,从而s 1 n ZMAC二. 记AM与水面的交
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