2019版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第七章推理与证明学案.doc.pdf
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1、第七章推理与证明 第1课时合情推理与演绎 推理 _ _ ? 考情分析考点新知? 車.奉串串傘樂傘傘串串傘奉串傘串傘A奉奉砌牵傘傘率傘傘車傘奉車樂傘傘率串車串. 傘傘串串傘壽. 傘傘傘串卓 . 車串 能用归纳和类比等方法进行简单的推理,了解 合情推理在数学发现中的作用;掌握演绎推理 的基本方法,并能运用它们进行一些简单的推 理;了解合情推理和演绛推理的联系和区别 . 了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等 进行简单的推理,了解合情推理在数学发现巾 的作川 . 了解演绎推理的重要性,掌握演绎 推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单 推理. 了解合情推理和演绎推理之间的联系 和差异 . 1 27
2、正四而体的内切球与外接球的半径之比为1 : 3, 3.设等差数列a,J的前n项和为Sn.若存在正整数m, n (m 1归纳推理 ) 1- 丄 2 = 29 答案: 243 解析:前15行共有 h)X = 120(个)数= 所求为ai22 = 1 2X122-1 1 243 * 切圆半径类比为內切球半径=二维图形屮的 | 类比为三维图形屮的 |=得出结论 . 运用分割法思想 , 设四面体ABCD的内切球的球心为0,连结0D, 0A,0B,0C,将四面 体分成四个三棱锥 ,贝|J VABCD = VoABC + Vo ABD + VoBCD + VaACD=Sir+|s2r+|s3r+|s4r=|
3、(Sl + S2 + S3 + Si) r. 备选变式 ( 教师专亨 ) 设a, b, C是直角三角形的三边长,斜边上的高为h,(: 力斜边长,则给出叫个命题: a+bc+h; a 1+b2c3+h3; ? a 4+bc4+h:. 其中真命题是 _ ( 填序号 ) ,进一步类比得到的一般结论是 答案: a n+bcn+hn(neN*) 解 析 : 在 直 角 三 角 形ABC 中 ,a=csin A, b=ccos A, ab=ch,所 以h=csin Acos A.于是 a n+bn=cn(sinnA+cosnA),cn+hn=cn(l + sinnAcosnA). a n + b“ cnh
4、“ = c“(sin“A + cos“A 一1 一sin“Acos“A) =c n(sin“A 1) (1 cosrA) ab4=bmax=6. Cmin=3, 6ab3=a=5,b=4=a+b+c=12. 4.已知an = (把数列UJ的各项排成如下的三角形: a? a 3 ai Ho 36 37 3s 39 记A(s,t)表示第s行的第t个数,则A(ll,12)= m112 答案: 解析:该三角形数阵每行所对应元素的个数为1, 3, 5,,那么第10行的最后一个m112 数为a1D。,第11行的第12个数为au2,即A(ll,12)=-J . 5.某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点
5、出发的三条线段,长度相等,两两 夹角为120;二级分形图是从一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来| 的 线段,且这两 条线段与原线段两两夹角为120 ,,依此规律得到n级分形图 . n级分形图屮共有条线段 . 答案:(3X2 n-3) (nEN*) 解析:从分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图中有3 = (3X2 3) 条线段,二级分形图中有9=(3X2 13)条线段,三级分形图中有 21 = (3X2 3 一3)条线段,按此规律,n 级分形图中的线段条数为(3X2“ 3) (nefO. 教师!享 ) 1.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,有今
6、=*+金,去 =去+ ,则运用归纳推理得到第11行第2个数( 从左往右数 ) 为_ 1 1 1 T T 丄_L 了T 了 liii ?* 4 12 12 4 J_ 丄丄丄? 20 30 20 解析:由“莱布尼茨凋和三角形”中数的排列规律,我们可以推断:第10行的第一个 数为笫11行的第一个数力则第11行的笫二个数为 - 1Q u 110 . 2.有一个游戏,将标有数字1, 2, 3, 4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4 个人,每人一张, 并请这4人在看自己的卡片之前进行预测:甲说:乙或丙拿到标有3的卡 片;乙说:甲或丙拿到标有2 的卡片;丙说:标有1的卡片在甲手中; 丁说:甲拿到标有3
7、的卡片 . 结果显示: 这4人的预测都不正确, 那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为 , , , . 答案:4 2 13 解析:由于4个人预测不正确,其各自的对立事件正确,即甲 :乙、丙没拿到3;乙:甲、丙没拿到 2;丙:甲没拿到1; 丁:甲没拿到3. 综上,甲没拿到1,2, 3,故甲拿到了4, 丁拿到了3,丙拿到了1,乙拿 到了2. 3.观察下列等式: 13=12, 13+23=32, 13+23+33=62, 1 3+23+33+43=102, 根据上述规律,则第n 个等式为 . 解析: 因为13=12, 1 3+23= (1+2)2, 13+23+33=(1+2+3)2, 1
8、3+23+33+43=(1+2 + 3 + 4)2,,由此可以看出 左边是连续的自然数的立方和,右边是左边的连续的自然数的和的平方,照此规律,第n个等式为13 + 23 + 33 + 4 3+ r?=(l+2 + 3 + + n)2 = n (n+1) 1 4.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上通过画点或用小石子来表示 答案:12+23+33+4 3+ n3 = 精品题良1 答案: 110 n (n + 1) 2 数. 他们研宄过如阁所示的三角形数. ? 1 3 6 10 将三角形数1,3, 6, 10,记为数列an,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组 成一个新数列b,,可以推
9、测: (1)b2 018是数列an的第 _ 项; (2) _ b2k-i?(用k 表示) 解析:( 1) a,= l+2 + . + n = n (I 才 B 答案?( 1) 5 045 5k (5k-l) 2 4X5 5X6 9X (2X5) (2X5) Xll “ =a!o, 14X (3X5) , (3X5) X16 D6 =o = a!5, “2 018 V2 018 F X5 丁 X5+1 5. _ 某市为Y缓解交 通压力,实行机动车辆限行政策,每辆机动车每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日) 不限行 . 某公司有A,B, C, D, E五辆车,保证每天至少有四辆车可以上路行驶
10、 . 已知E车周四 限行,B车昨天限行,从今天算起,A, C两车连续四天都能上路行驶,E车明天可以上路,由 此可知下列推测一定正确的是_ . (填序号) 今天是周六;今天是周叫; A车周三限行;C车周五限行 . 答案: 解析:因为每天至少有四辆车可以上路行驶,E车明天可以上路,E车周四限行,所以今 天不是周三;因为B车昨天限行,所以今天不是周一,也不是周日;因力A, C两车连续四天 都能上路行驶,所以今天不是周五,周二和周六,所以今天是周四,所以错误,正确. 因为 B车昨天限行,即B车周三限行,所以错误. 因为从今天算起,A、C两车连续 四天都能上路 行驶,所以错误 . 1.合怡推理主要包拈归
11、纳推理和类比推理. 数学研究中,在得到一个新的结论前,合情推 理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路和方法 . 2.合情推理的过程概括为:从具体W题出发一观察、分析、比较、联想一归纳、类比 提山猜想 . 3.演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特殊情况的结论的推理方法,是由一般到特 殊的推理,常用的一般模式是三段论,数学问题的证明主要通过演绎推理来进行. 4.合情推理仅是符合情理的推理,得到的结论不一定正确,而演绎推理得到的结论一定 正确(在前提和推理形式都正确的前提下). 备课札记 考情分析考点新知? 車 .奉串串傘樂傘傘串串傘奉串傘串傘A奉奉砌牵傘傘率
12、傘傘車傘奉車樂傘傘率串車串. 傘傘串串傘壽. 傘傘傘串卓 . 車串 0183.5 045. 由(1)知b、 - 5k (5k 1) 11 丨回归教材j? 1.己知向量/?=(1,1)与向量/2=(X,2 2X)垂直,则X= _ . 答案:2 解析:m ? n=x+(2 2x) =2 x. V iLn,m? 77=0,即x = 2. 2.用反证法证明命题“如果ab,那么时,假设的内容应为_ 答案:/a=/bnK/ay5-yf7 解析:由分析法可得,要证+-2 必-+, 只需证?+ + 2 必,即证13 + 2/d213 + 4*7Tb, 即?V石2+5.因为4240,所以#成立. 4.定义集合运
13、算:A ? B= Z|Z = xy, xEA, yB,设集合A= 1,0,1 ,B= sin a , cos a ,则集合A ? B的所有元素之和为 _ . 答案:0 解析:依题意知a n + keZ. 0, a =2k 或a =2k n +(k EZ)时,B= 0 ,1,A ? B= 0, 1, 1; JT a =2k JI + JI或a =2k Ji 一(kEZ)时,B= 0, 1,A ? B= 0,1,一1; a - 且a 矣k Ji 十 2(kEZ) 时,B= sin a , cos a , A ? B= 0, sin a , cos a , sin a , cos a . 综上可知,
14、A ? B中的所有元素之和为0. 5.设a, b为两个正数,且a + b = l,则使得成立的U的取值范围是a b 答案:4 a =k冗十 2(kEZ) 时, 1 ( k a 解析:? a+b = l,且a,b为两个正数, ? -+r= (a+b) -+r =2+-+72+2- a b a by a b =4. 要使得丄 +士彡P恒成立,只要u彡4. a b 知识凊单 In i.直接证明 (1)定义:直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法. (2)一般形式 本题条件1 已知定义 匕知公理匕知 定理 (3)综合法 定义:从已知条件出发 , 以已知的定义、公理、定理为依据,逐步上進,直到推出
15、要证 明的结论为止 . 这种证明方法称为综合法. 推证过程 已知条件 = ?= ?=错论 (4)分析法 定义:从问题的结论出发 , 追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条 件和已知条件吻合为止 . 这种证明方法称为分析法. 推证过程 结论h.?仁. ?仁已知条件 2.间接证明 (1)常用的间接证明方法有反证法、止难则反等. (2)反证法的基本步骤 0 一一假设命题的结论不成立,即假定原结论的反面为真. 迫里一一从反设和己知条件出发 , 经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果. SK一一由矛盾结果 , 断定反设不真 , 从而肯定原结论成 B C=1本题结论 . 1直接证明 f( X
16、1 + X2) f (xi) f( X2) =(X1 + X2) 2xX2 = 2XI X20, B|J f(X1+X2) (xi) +f ( X2). ? f (x) =x 2 (xe 0, 1)是理想函数 . 对于f(x)=+(xeo, 1) ,显然满足条件. 对任意的Xi,x2E0,1,xi + x2l),所以数列an是等比数列 . (a+mb)2 0,所以l+m0,所以要证原不等式成立, 只需证明(a+mb)2 (1+m) (a 2+mbJ ),即证m(a22ab+b 2) 0, 即证 (ab)20,而(ab) 20 显 然成立, 故原不等式得证 . O变式训练 己知函数f(x)=3
17、x-2x,试求证:对于任意的 x,,x.eR,均有 f ( Xl ) (X2) “Xi 土X2、 “2 证明:要证明 fU) : f ( 心)宁), 只要证明 (3x 2x” (3x 厂2X2)初宁_2 Xl+X2 (X1 + X2) 3 2 (X1 + X2) , Q丄0 X1 + X2 即证明 由于xi, x2ER 时,3xi0, 3X20, 由基本不等式知 3Xl t34V3xi ? 3x 2显然成立 , 故原结论成立 . 题型,2间接证明 ( 反证法 ) 例O, 3)设U是公比为q的等比数列 . (1)推导的前n项和公式; (2)设q矣1,求证 : 数列a,+l 不是等比数列 . (1
18、)解: 设a.J 的前n 项和为Sn,则Sn=ai+a2H - Han, 因为仏。是公比为q的等比数列,所以当q=l时,Sn=ai+aH - Fai=nai.当 Q#=1 时, S, = ai + aiq4-aiq2H - haiq _1, 2)己知m0,a,bER,求证 : Xi + X 2 2 : 因此只要证明 3xl t3x: 因此只要证明 3xi + 3x -2 qSn=aiq + aiCi2H - Haicf, 得,( 1 一q)Sn=ai ai( f, nai,q = 1, 所以Sr = a : (/_ q ),所以 S,=U (l-q n) 卜q : - - , ql. 1-q
19、(2)证明假设an+l是等比数列,则对任意的keiT, (ak+i +1) 2= (au+1) (ak +2+1), ak+i+2ak+i+1 =akak+2+ak+ak+2 +1, aiq2k+2aiqk=aiqk_1 ? aiq卜 1+aiQk_1+aiq 卜 因为a#0,所以+ 因为q乒0,所以q2_2q+l=0, 所以q=l,这与已知矛盾 . 所以假设不成立,故an+l不是等比数列 . O变式训练 己知数列a,的前n项和为Sn,且满足a,+S,=2. (1)求数列aj的通项公式; (2)求证:数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列. (1)解:当n = l 时,ai+Si =2a 】
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