2019版高考数学大一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第2节排列与组合.docx.pdf
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1、第2节排列与组合 最新考纲1. 理解排列、组合的概念;2. 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式;3. 能解决简单的实际问题 . 1?排列与组合的概念 名称定义 排列 从/? 个不同元素屮取出 II 心 Wri)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合合成一组 2.排列数与组合数 (1)从”个不同元素屮取出ngri )个元素的所有排列的个数,叫做从刀个不同元素中取出加 个元素的排列数 . (2)从个不同元素中取出刃SW/7)个元素的所有组合的个数,叫做从“个不同元素中取出 刃 个元素的组合数 . 3.排列数、组合数的公式及性质 公式 (1) An/?(/? 1) (/? 2) (刀 刃+1
2、)( . _ A: n (?1 ) ( 772) ?(刀加 +1) ) CnA.w? A.wml 刀! .z 、 S 刃GN ” J=L/W/?)?特别地G1 nm) ! 性质 (1)0! =1; An=n!. IZ丿; L/?+l Vn 1 常用结论与微点提醒 1?解受条件限制的排列、组合题,通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)?分类时标 准 应统一,避免出现重复或遗漏. 2.对于分配问题,一般先分组,再分配,注意平均分组与不平均分组的区别,避免重复或遗漏. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“ 丁”或“ X ” ) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.() 基础诊断 知识梳理
3、 回归教材,夯实基础 (2)个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.() (3)若组合式C=C“,则x=m成立.() ACU.() 解析(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列,故(1)错;(2) 个组合屮的元素不讲 究顺序 , 元素相同即为同一组合 , 故错;(3)若C :=U,则x=m或刀一 / ,故错 . 答案(l)X (2)X (3)X (4) V 2.从4本不同的课外读物屮,买3本送给3名同学,每人各1本,则不同的送法种数是() A. 12 B. 24 C. 64 D. 81 解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学,每人一本,则不同的分配方法为A:=24. 答案B 3.(一题多解)
4、(教材练习改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女 生都有的选法种数是() A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 解析 法一 选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C叙=18种, 选出的3人屮有1名男 同学2名女同学的方法有C恁=12种,故3名学生中男女生都有的选法有C暢+C: 若甲、乙两人都参加 , 有 曲皿= 240种方 法,则共有480+240 = 720种方法 . 答案(1)C (2)C 考点二组合问题 【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查,己知其中有15种假货 . 现从35种商品中选取3 种. (1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?
5、 (2)其屮某一种假货不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种? (4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种? (5)至多有2种假货在内,不同的収法有多少种? 解( 1)从余下的34种商品中,选取2种有U = 561(种) ,?某一种假货必须在内的不同取法有 561种. (2)从34种可选商品中 , 选取3种, 有酪种或者d=C=5 984(种). ?某一种假货不能在内的不同取法有5 984种. (3)从20种真货屮选取1件, 从15种假货中选取2件有CLC?5 = 2 100(种). ?恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种. (4)选取2种假货有C;
6、 C种, 选取3种假货有Cl种, 共有选取方式 C;OC+C:5=2 100 + 455 =2 555(种). ?至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种. (5)选取3种的总数为酪,选取3种假货有酪种,因此共有选取方式 CL-C?5=6 545-455 = 6 090(种). ?至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种. 规律方法组合问题常有以下两类题型变化: “含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补 足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. “至少”或“至多”含有儿个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这
7、 两个关键词的含义,谨防重复与漏解?用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂 时,考虑逆向思维,用间接法处理. 【训练2】(1)在爸爸去哪儿第二季第四期中,村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物 的任务 . 已知:食物投掷地点有远、 近两处;由于Grace年纪尚小, 所以要么不参与该项任务, 但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;所有参与搜寻任务的小孩 须被均分成两组,一组去远处,一组去近处,那么不同的搜寻方案有() A. 80 种B. 70 种C.40 种D. 10 种 (2) (2018 ?咸阳二模)若从1, 2, 3,9这9个整数中同时取4个不同的数 ,
8、其和为偶数 , 则不 同的取法共有() A. 60 种B. 63 种C. 65 种D. 66 种 解析(l)Grace不参与该项任务,则有C=30种;Grace参与该项任务,则有d=10种, 故共有 30+10=40种,故选C. (2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数,要使和为偶数,则4个数全为奇数,或全为偶数, 或2个奇数和2个偶数, .? 共有不同的取法有C:+C;+C农= 66(种). 答案(1)C (2)D 考点三排列与组合的综合应用(多维探究) 命题角度1简单的排列与组合应用问题 【例31】(1)(2017 - 全国II卷)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每 项工作由
9、1人完成,则不同的安排方式共有() A.12 种B. 18 种C. 24 种D.36 种 (2)从0, 2中选一个数字,从1, 3, 5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个 数为() A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 解析(1)由题意可得其中1人必须完成2项工作,其他2人各完成1项工作,可得安排方 式为C;C:M=36(种). (2)从0, 2中选一个数字0,则0只能排在十位,从1, 3, 5中选两个数字排在个位与百位, 共有皿 =6种;从0, 2中选一个数字2,则2排在十位(或百位),从1, 3, 5中选两个数字排在百位(或十 位)、个位,共有A;? Al=12种,
10、故共有Aa+A2A3=18种. 答案仃)D (2)B 命题角度2分组、分配问题 【例3 2】(1)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流,每所中学至 少派一名教师,则不同的分配方法有() (2)国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕 业后耍分到相应的地区任教,现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校 解析(1)有两类情况:其屮一所学校3名教师,另两所学校各一名教师的分法有ci= 60种;其中一所学校1名教师,另两所学校各两名教师的分法有 (2)先把6个毕业生平均分成3组,有窖种方法,再将3组毕业生分到3所学校,有A?= A3
11、6种方法,故6个毕业生平均分到3所学校,共有牛?朋=90种分派方法 . 答案(1)D (2)90 规律方法(1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再 考虑其他元素(或位置). 对于排列组合的综合题目,一般是将符合耍求的元素取出或进行分 组,再对取出的元素或分好的组进行排列. (2)不同元素的分配问题,往往是先分组再分配. 在分组时,通常有三种类型不均匀分组; 均匀分组;部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的差异?其次对于相同元 素的“分配”问题,常用的方法是采用“隔板法”? 【训练3】(1)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社
12、会实践 活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有() A. 12 种B. 10 种C. 9 种D. 8 种 (2) (2018 ?合肥联考)若无重复数字的三位数满足条件: 个位数字与十位数字之和为奇 数, 所有数位上的数字和为偶数,则这样的三位数的个数是() A. 80 种B. 90 种C. 120 种D. 150 种 去任教,有种不同的分派方法 . C滋=90种, .? 共有150种,故选D. A2 解析(1)将4名学生均分为2个小组共有肯=3(种)分法;将2个小组的同学分给2名教 师 共有A;=2(种)分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有疋=2(种)分法 . 故不
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